Το επόμενο θέμα είναι πώς να αφαιρέσετε τα κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές βρίσκοντας ένα κοινό πολλαπλάσιο. Κανόνας πρόσθεσης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.
Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε τις σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει με επιβράδυνση του χρόνου μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημείαχώρο σε μια χρονική στιγμή, αλλά είναι αδύνατο να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζονται ακόμα πρόσθετα δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Σε τι θέλω να εστιάσω Ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Πολύ καλά, οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται στη Wikipedia. Εμείς κοιτάμε.
Όπως μπορείτε να δείτε, «το σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο πανομοιότυπα στοιχεία», αλλά αν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία στο σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται «πολυσύνολο». Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ τέτοια λογική του παραλογισμού. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, στα οποία το μυαλό απουσιάζει από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί ενεργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.
Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα κατά τη διάρκεια των δοκιμών της γέφυρας. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός έχτισε άλλες γέφυρες.
Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «μυαλό μου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τους συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Εφαρμόσιμος μαθηματική θεωρίασετ στους ίδιους τους μαθηματικούς.
Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και πληρώνουμε μισθούς. Εδώ μας έρχεται ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο μισθών» του. Εξηγούμε τα μαθηματικά ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι το σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με το σύνολο με τα ίδια στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.
Καταρχήν θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: «μπορείς να την εφαρμόσεις σε άλλους, σε μένα όχι!». Επιπλέον, θα ξεκινήσουν οι διαβεβαιώσεις ότι υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί τραπεζογραμματίων σε τραπεζογραμμάτια της ίδιας ονομαστικής αξίας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα στοιχεία. Λοιπόν, μετράμε τον μισθό σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται σπασμωδικά τη φυσική: σε διαφορετικά νομίσματα υπάρχει διαφορετικό ποσόβρωμιά, κρυσταλλική δομή και ατομική διάταξη κάθε νομίσματος είναι μοναδική...
Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρον Ρωτήστε: πού είναι το όριο πέρα από το οποίο τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και αντίστροφα; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη εδώ δεν είναι καν κοντά.
Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Η περιοχή των πεδίων είναι η ίδια, που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν αναλογιστούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι ταυτόχρονα σύνολο και πολυσύνολο. Πόσο σωστά; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-σαμάνος βγαίνει από το μανίκι του άσος Τραμπκαι αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.
Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».
Κυριακή 18 Μαρτίου 2018
Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά είναι σαμάνοι γι' αυτό, για να διδάξουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.
Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά με τον οποίο μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Άλλωστε οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα, με τη βοήθεια του οποίου γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν στοιχειωδώς.
Ας δούμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και έτσι, ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.
1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε γραφικό σύμβολο αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
2. Κόψαμε μια λαμβανόμενη εικόνα σε πολλές εικόνες που περιέχουν ξεχωριστούς αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.
3. Μετατρέψτε μεμονωμένους γραφικούς χαρακτήρες σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα είναι μαθηματικά.
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.
Από τη σκοπιά των μαθηματικών, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε τον αριθμό. Έτσι, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. Με έναν μεγάλο αριθμό 12345, δεν θέλω να ξεγελάω το κεφάλι μου, σκεφτείτε τον αριθμό 26 από το άρθρο σχετικά. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα στο μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.
Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι σαν να βρίσκεις το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά θα σου έδινε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα.
Το μηδέν σε όλα τα αριθμητικά συστήματα φαίνεται το ίδιο και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι . Μια ερώτηση για τους μαθηματικούς: πώς δηλώνεται στα μαθηματικά αυτό που δεν είναι αριθμός; Τι, για τους μαθηματικούς, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς; Για τους σαμάνους, μπορώ να το επιτρέψω αυτό, αλλά για τους επιστήμονες, όχι. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.
Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα συστήματα αριθμών είναι μονάδες μέτρησης αριθμών. Γιατί δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδεςΜετρήσεις. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματααφού τα συγκρίνουμε, τότε δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.
Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής ενέργειας δεν εξαρτάται από την τιμή του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.
Ωχ! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της αόριστης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψη στον ουρανό! Nimbus στην κορυφή και βέλος επάνω. Τι άλλη τουαλέτα;
Θηλυκό... Ένα φωτοστέφανο από πάνω και ένα βέλος κάτω είναι αρσενικό.
Εάν έχετε ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού να αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,
Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:
Προσωπικά, κάνω μια προσπάθεια με τον εαυτό μου να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός μοιρών). Και αυτό το κορίτσι δεν το θεωρώ ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα τόξο στερεότυπο της αντίληψης των γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.
Το 1Α δεν είναι "μείον τέσσερις μοίρες" ή "ένα α". Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα τον αριθμό και το γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.
Στο αυτό το μάθημαθα ληφθούν υπόψη η πρόσθεση και η αφαίρεση αλγεβρικά κλάσματαΜε διαφορετικούς παρονομαστές. Ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κοινά κλάσματαμε διαφορετικούς παρονομαστές. Για να γίνει αυτό, τα κλάσματα πρέπει να μειωθούν σε κοινό παρονομαστή. Αποδεικνύεται ότι τα αλγεβρικά κλάσματα ακολουθούν τους ίδιους κανόνες. Ταυτόχρονα, γνωρίζουμε ήδη πώς να ανάγουμε τα αλγεβρικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές είναι ένα από τα πιο σημαντικά και δύσκολα θέματα του μαθήματος της 8ης τάξης. Επιπλέον, αυτό το θέμα θα βρεθεί σε πολλά θέματα του μαθήματος της άλγεβρας, τα οποία θα μελετήσετε στο μέλλον. Στο πλαίσιο του μαθήματος, θα μελετήσουμε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, καθώς και θα αναλύσουμε μια σειρά από χαρακτηριστικά παραδείγματα.
Εξετάστε το απλούστερο παράδειγμα για συνηθισμένα κλάσματα.
Παράδειγμα 1Προσθέστε κλάσματα: .
Λύση:
Θυμηθείτε τον κανόνα για την πρόσθεση κλασμάτων. Αρχικά, τα κλάσματα πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Ο κοινός παρονομαστής για τα συνηθισμένα κλάσματα είναι ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο(LCM) των αρχικών παρονομαστών.
Ορισμός
Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται και με τους αριθμούς και με .
Για να βρείτε το LCM, είναι απαραίτητο να επεκτείνετε τους παρονομαστές σε πρωταρχικούς παράγοντες, και μετά επιλέξτε όλους τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση και των δύο παρονομαστών.
; . Τότε το LCM των αριθμών πρέπει να περιλαμβάνει δύο 2 και δύο 3: .
Μετά την εύρεση του κοινού παρονομαστή, είναι απαραίτητο για καθένα από τα κλάσματα να βρει έναν επιπλέον παράγοντα (στην πραγματικότητα, διαιρέστε τον κοινό παρονομαστή με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος).
Στη συνέχεια, κάθε κλάσμα πολλαπλασιάζεται με τον προκύπτον πρόσθετο παράγοντα. Τα κλάσματα λαμβάνονται από ίδιοι παρονομαστές, προσθέτουμε και αφαιρούμε που μάθαμε σε προηγούμενα μαθήματα.
Παίρνουμε: 
.
Απάντηση:.
Ας εξετάσουμε τώρα την προσθήκη αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Αρχικά εξετάστε τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι αριθμοί.
Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα: .
Λύση:
Ο αλγόριθμος λύσης είναι απολύτως παρόμοιος με το προηγούμενο παράδειγμα. Είναι εύκολο να βρεθεί ένας κοινός παρονομαστής για αυτά τα κλάσματα: και πρόσθετοι παράγοντες για καθένα από αυτά.
.
Απάντηση:.
Ας διατυπώσουμε λοιπόν αλγόριθμος για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές:
1. Να βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων.
2. Βρείτε πρόσθετους παράγοντες για κάθε ένα από τα κλάσματα (διαιρώντας τον κοινό παρονομαστή με τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος).
3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές με τους κατάλληλους πρόσθετους συντελεστές.
4. Προσθέστε ή αφαιρέστε κλάσματα χρησιμοποιώντας τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
Εξετάστε τώρα ένα παράδειγμα με κλάσματα στον παρονομαστή των οποίων υπάρχουν κυριολεκτικές εκφράσεις.
Παράδειγμα 3Προσθέστε κλάσματα: .
Λύση:
Δεδομένου ότι οι κυριολεκτικές εκφράσεις και στους δύο παρονομαστές είναι ίδιες, θα πρέπει να βρείτε έναν κοινό παρονομαστή για τους αριθμούς. Ο τελικός κοινός παρονομαστής θα μοιάζει με: . Η λύση λοιπόν σε αυτό το παράδειγμα είναι:
Απάντηση:.
Παράδειγμα 4Αφαιρέστε τα κλάσματα: .
Λύση:
Εάν δεν μπορείτε να "εξαπατήσετε" όταν επιλέγετε έναν κοινό παρονομαστή (δεν μπορείτε να τον συνυπολογίσετε ή να χρησιμοποιήσετε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού), τότε πρέπει να πάρετε το γινόμενο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων ως κοινό παρονομαστή.
Απάντηση:.
Γενικά, κατά την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, το πιο δύσκολο έργο είναι να βρεθεί ένας κοινός παρονομαστής.
Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.
Παράδειγμα 5Απλοποίηση: .
Λύση:
Όταν βρίσκετε έναν κοινό παρονομαστή, πρέπει πρώτα να προσπαθήσετε να παραγοντοποιήσετε τους παρονομαστές των αρχικών κλασμάτων (για να απλοποιήσετε τον κοινό παρονομαστή).
Στη συγκεκριμένη περίπτωση:
Τότε είναι εύκολο να προσδιοριστεί ο κοινός παρονομαστής: 
.
Καθορίζουμε πρόσθετους παράγοντες και λύνουμε αυτό το παράδειγμα:
Απάντηση:.
Τώρα θα καθορίσουμε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Παράδειγμα 6Απλοποίηση: .
Λύση:
Απάντηση:.
Παράδειγμα 7Απλοποίηση: .
Λύση:
.
Απάντηση:.
Εξετάστε τώρα ένα παράδειγμα στο οποίο προστίθενται όχι δύο, αλλά τρία κλάσματα (εξάλλου, οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση για περισσότεροτα κλάσματα παραμένουν ίδια).
Παράδειγμα 8Απλοποίηση: .
Η επόμενη ενέργεια που μπορεί να γίνει με συνηθισμένα κλάσματα είναι η αφαίρεση. Ως μέρος αυτού του υλικού, θα εξετάσουμε πώς να υπολογίσουμε σωστά τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με ίδιους και διαφορετικούς παρονομαστές, πώς να αφαιρέσουμε ένα κλάσμα από έναν φυσικό αριθμό και αντίστροφα. Όλα τα παραδείγματα θα επεξηγηθούν με εργασίες. Διευκρινίζουμε εκ των προτέρων ότι θα αναλύσουμε μόνο περιπτώσεις όπου η διαφορά των κλασμάτων καταλήγει σε θετικό αριθμό.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Πώς να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα ενδεικτικό παράδειγμα: ας πούμε ότι έχουμε ένα μήλο που έχει χωριστεί σε οκτώ μέρη. Ας αφήσουμε πέντε μέρη στο πιάτο και πάρουμε δύο από αυτά. Αυτή η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Καταλήγουμε σε 3 όγδοα γιατί 5 − 2 = 3 . Αποδεικνύεται ότι 5 8 - 2 8 = 3 8 .
Εκ τούτου ένα απλό παράδειγμαΈχουμε δει ακριβώς πώς λειτουργεί ο κανόνας της αφαίρεσης για κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι. Ας το διατυπώσουμε.
Ορισμός 1
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του ενός από τον αριθμητή του άλλου και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί ως b - c b = a - c b .
Θα χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο στα παρακάτω.
Ας πάρουμε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Αφαιρέστε από το κλάσμα 24 15 το κοινό κλάσμα 17 15 .
Λύση
Βλέπουμε ότι αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Άρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αφαιρέσουμε το 17 από το 24. Παίρνουμε 7 και προσθέτουμε έναν παρονομαστή σε αυτό, παίρνουμε 7 15 .
Οι υπολογισμοί μας μπορούν να γραφτούν ως εξής: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να συντομεύσετε σύνθετο κλάσμαή επιλέξτε ολόκληρο το μέρος από το λάθος για να είναι πιο βολικό να μετράτε.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τη διαφορά 37 12 - 15 12 .
Λύση
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω και ας υπολογίσουμε: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Είναι εύκολο να δούμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορούν να διαιρεθούν με το 2 (το έχουμε ήδη μιλήσει νωρίτερα όταν αναλύσαμε τα σημάδια της διαιρετότητας). Μειώνοντας την απάντηση, παίρνουμε 11 6 . Αυτό είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, από το οποίο θα επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος: 11 6 \u003d 1 5 6.
Πώς να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Μια τέτοια μαθηματική πράξη μπορεί να περιοριστεί σε αυτό που ήδη περιγράψαμε παραπάνω. Για να το κάνετε αυτό, απλώς φέρτε τα επιθυμητά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Ας διατυπώσουμε τον ορισμό:
Ορισμός 2
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο παρονομαστή και να βρείτε τη διαφορά των αριθμητών.
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς γίνεται αυτό.
Παράδειγμα 3
Αφαιρέστε 1 15 από 2 9 .
Λύση
Οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί και πρέπει να τους μειώσετε στο μικρότερο ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ. Σε αυτήν την περίπτωση, το LCM είναι 45. Για το πρώτο κλάσμα απαιτείται επιπλέον συντελεστής 5 και για το δεύτερο - 3.
Ας υπολογίσουμε: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
Πήραμε δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά τους χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που περιγράφηκε προηγουμένως: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Μια σύντομη εγγραφή της λύσης μοιάζει με αυτό: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
Μην αμελείτε τη μείωση του αποτελέσματος ή την επιλογή ολόκληρου μέρους από αυτό, αν χρειαστεί. ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαδεν χρειάζεται να το κάνουμε αυτό.
Παράδειγμα 4
Βρείτε τη διαφορά 19 9 - 7 36 .
Λύση
Φέρνουμε τα κλάσματα που υποδεικνύονται στη συνθήκη στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή 36 και λαμβάνουμε 76 9 και 7 36 αντίστοιχα.
Θεωρούμε την απάντηση: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
Το αποτέλεσμα μπορεί να μειωθεί κατά 3 για να πάρει 23 12 . Ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, που σημαίνει ότι μπορούμε να εξαγάγουμε ολόκληρο το μέρος. Η τελική απάντηση είναι 1 11 12 .
Η περίληψη ολόκληρης της λύσης είναι 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .
Πώς να αφαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό από ένα κοινό κλάσμα
Μια τέτοια ενέργεια μπορεί επίσης εύκολα να μειωθεί σε μια απλή αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων. Αυτό μπορεί να γίνει αντιπροσωπεύοντας έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Βρείτε τη διαφορά 83 21 - 3 .
Λύση
Το 3 είναι ίδιο με το 3 1 . Στη συνέχεια, μπορείτε να υπολογίσετε ως εξής: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
Εάν στη συνθήκη είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε έναν ακέραιο από ένα ακατάλληλο κλάσμα, είναι πιο βολικό να εξαγάγετε πρώτα τον ακέραιο από αυτό, γράφοντάς τον ως μικτό αριθμό. Τότε το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να λυθεί διαφορετικά.
Από το κλάσμα 83 21, όταν επιλέγετε το ακέραιο μέρος, παίρνετε 83 21 \u003d 3 20 21.
Τώρα απλώς αφαιρέστε 3 από αυτό: 3 20 21 - 3 = 20 21 .
Πώς να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από έναν φυσικό αριθμό
Αυτή η ενέργεια γίνεται παρόμοια με την προηγούμενη: ξαναγράφουμε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα, φέρνουμε και τους δύο σε έναν κοινό παρονομαστή και βρίσκουμε τη διαφορά. Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 6
Βρείτε τη διαφορά: 7 - 5 3 .
Λύση
Ας κάνουμε το 7 κλάσμα 7 1 . Κάνουμε την αφαίρεση και μετασχηματίζουμε το τελικό αποτέλεσμα, εξάγοντας το ακέραιο μέρος από αυτό: 7 - 5 3 = 5 1 3 .
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να κάνετε υπολογισμούς. Έχει κάποια πλεονεκτήματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις όπου οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων στο πρόβλημα είναι μεγάλοι αριθμοί.
Ορισμός 3
Εάν το κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί είναι σωστό, τότε ο φυσικός αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε πρέπει να παριστάνεται ως άθροισμα δύο αριθμών, εκ των οποίων ο ένας είναι ίσος με 1. Μετά από αυτό, πρέπει να αφαιρέσετε το επιθυμητό κλάσμα από τη μονάδα και να λάβετε την απάντηση.
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε τη διαφορά 1 065 - 13 62 .
Λύση
Το κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί είναι σωστό, γιατί ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Επομένως, πρέπει να αφαιρέσουμε ένα από το 1065 και να αφαιρέσουμε το επιθυμητό κλάσμα από αυτό: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
Τώρα πρέπει να βρούμε την απάντηση. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αφαίρεσης, η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως 1064 + 1 - 13 62 . Ας υπολογίσουμε τη διαφορά σε αγκύλες. Για να γίνει αυτό, αντιπροσωπεύουμε τη μονάδα ως κλάσμα 1 1 .
Αποδεικνύεται ότι 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
Τώρα ας θυμηθούμε το 1064 και ας διατυπώσουμε την απάντηση: 1064 49 62 .
Χρησιμοποιούμε παλιό τρόπογια να αποδείξει ότι είναι λιγότερο βολικό. Εδώ είναι οι υπολογισμοί που θα λάβουμε:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064
Η απάντηση είναι η ίδια, αλλά οι υπολογισμοί είναι προφανώς πιο δυσκίνητοι.
Έχουμε εξετάσει την περίπτωση όταν πρέπει να αφαιρέσουμε κατάλληλο κλάσμα. Αν είναι λάθος, τον αντικαθιστούμε με μικτό αριθμό και αφαιρούμε σύμφωνα με τους γνωστούς κανόνες.
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε τη διαφορά 644 - 73 5 .
Λύση
Το δεύτερο κλάσμα είναι ακατάλληλο και ολόκληρο το τμήμα πρέπει να διαχωριστεί από αυτό.
Τώρα υπολογίζουμε παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Ιδιότητες αφαίρεσης κατά την εργασία με κλάσματα
Οι ιδιότητες που έχει η αφαίρεση φυσικούς αριθμούς, επεκτείνονται και στις περιπτώσεις αφαίρεσης συνηθισμένων κλασμάτων. Ας δούμε πώς να τα χρησιμοποιήσουμε κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα 9
Βρείτε τη διαφορά 24 4 - 3 2 - 5 6 .
Λύση
Έχουμε ήδη λύσει παρόμοια παραδείγματα όταν αναλύσαμε την αφαίρεση ενός αθροίσματος από έναν αριθμό, οπότε ενεργούμε ήδη γνωστός αλγόριθμος. Αρχικά, υπολογίζουμε τη διαφορά 25 4 - 3 2 και, στη συνέχεια, αφαιρούμε το τελευταίο κλάσμα από αυτήν:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Ας μετατρέψουμε την απάντηση εξάγοντας το ακέραιο μέρος από αυτήν. Το αποτέλεσμα είναι 3 11 12.
Σύντομη περίληψη της όλης λύσης:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Εάν η παράσταση περιέχει και κλάσματα και φυσικούς αριθμούς, συνιστάται η ομαδοποίηση τους κατά τύπο κατά τον υπολογισμό.
Παράδειγμα 10
Βρείτε τη διαφορά 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .
Λύση
Γνωρίζοντας τις βασικές ιδιότητες της αφαίρεσης και της πρόσθεσης, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς ως εξής: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Ας ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Σημείωση!Πριν γράψετε μια τελική απάντηση, δείτε αν μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα που λάβατε.
Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές παραδείγματα:
,
,
Αφαίρεση κατάλληλου κλάσματος από το ένα.
Εάν είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε από τη μονάδα ένα κλάσμα που είναι σωστό, η μονάδα μετατρέπεται σε μορφή ακατάλληλου κλάσματος, ο παρονομαστής του είναι ίσος με τον παρονομαστή του αφαιρούμενου κλάσματος.
Παράδειγμα αφαίρεσης σωστού κλάσματος από ένα:
Ο παρονομαστής του κλάσματος που πρέπει να αφαιρεθεί = 7 , δηλαδή, παριστάνουμε τη μονάδα ως ακατάλληλο κλάσμα 7/7 και αφαιρούμε σύμφωνα με τον κανόνα για την αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
Αφαίρεση σωστού κλάσματος από ακέραιο αριθμό.
Κανόνες αφαίρεσης κλασμάτων -σωστή από ακέραιο (φυσικός αριθμός):
- Μεταφράζουμε τα δοσμένα κλάσματα, που περιέχουν ένα ακέραιο μέρος, σε ακατάλληλα. Λαμβάνουμε κανονικούς όρους (δεν έχει σημασία αν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές), τους οποίους εξετάζουμε σύμφωνα με τους κανόνες που δίνονται παραπάνω.
- Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τη διαφορά των κλασμάτων που λάβαμε. Ως αποτέλεσμα, θα βρούμε σχεδόν την απάντηση.
- Εκτελούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλαδή, απαλλαγούμε από το ακατάλληλο κλάσμα - επιλέγουμε το ακέραιο μέρος στο κλάσμα.
Αφαιρέστε ένα σωστό κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό: αντιπροσωπεύουμε έναν φυσικό αριθμό ως μεικτό αριθμό. Εκείνοι. παίρνουμε μια μονάδα σε έναν φυσικό αριθμό και τη μεταφράζουμε σε μορφή ακατάλληλου κλάσματος, ο παρονομαστής είναι ίδιος με αυτόν του αφαιρούμενου κλάσματος.
Παράδειγμα αφαίρεσης κλάσματος:
Στο παράδειγμα, αντικαταστήσαμε τη μονάδα με ένα ακατάλληλο κλάσμα 7/7 και αντί για 3 γράψαμε μικτός αριθμόςκαι το κλάσμα αφαιρέθηκε από το κλασματικό μέρος.
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Ή, για να το θέσω αλλιώς, αφαίρεση διαφορετικών κλασμάτων.
Κανόνας αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.Για να αφαιρεθούν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, είναι απαραίτητο, πρώτα, να φέρουμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή (LCD) και μόνο μετά να αφαιρέσουμε όπως συμβαίνει με κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές.
Ο κοινός παρονομαστής πολλών κλασμάτων είναι LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο)φυσικοί αριθμοί που είναι οι παρονομαστές των δοσμένων κλασμάτων.
Προσοχή!Αν μέσα τελικό κλάσμαο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες, τότε το κλάσμα πρέπει να μειωθεί. Ένα ακατάλληλο κλάσμα αντιπροσωπεύεται καλύτερα ως μικτό κλάσμα. Το να αφήνουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης χωρίς να μειώσουμε το κλάσμα όπου είναι δυνατόν είναι μια ημιτελής λύση στο παράδειγμα!
Διαδικασία αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
- βρείτε το LCM για όλους τους παρονομαστές.
- Βάλτε επιπλέον πολλαπλασιαστές για όλα τα κλάσματα.
- πολλαπλασιάστε όλους τους αριθμητές με έναν πρόσθετο παράγοντα.
- γράφουμε τα προϊόντα που προκύπτουν στον αριθμητή, υπογράφοντας έναν κοινό παρονομαστή κάτω από όλα τα κλάσματα.
- αφαιρέστε τους αριθμητές των κλασμάτων, υπογράφοντας τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά.
Με τον ίδιο τρόπο, η πρόσθεση και η αφαίρεση των κλασμάτων πραγματοποιείται παρουσία γραμμάτων στον αριθμητή.
Αφαίρεση κλασμάτων, παραδείγματα:
Αφαίρεση μικτών κλασμάτων.
Στο αφαίρεση μικτά κλάσματα(αριθμοί)χωριστά, το ακέραιο μέρος αφαιρείται από το ακέραιο μέρος και το κλασματικό μέρος αφαιρείται από το κλασματικό μέρος.
Η πρώτη επιλογή είναι η αφαίρεση των μικτών κλασμάτων.
Αν τα κλασματικά μέρη το ίδιοπαρονομαστές και αριθμητής του κλασματικού μέρους του δευτερεύοντος (αφαιρούμε από αυτό) ≥ τον αριθμητή του κλασματικού μέρους του δευτερεύοντος (το αφαιρούμε).
Για παράδειγμα:
Η δεύτερη επιλογή είναι η αφαίρεση των μικτών κλασμάτων.
Όταν τα κλασματικά μέρη διάφοροςπαρονομαστές. Αρχικά, μειώνουμε τα κλασματικά μέρη σε έναν κοινό παρονομαστή και μετά αφαιρούμε το ακέραιο μέρος από τον ακέραιο και το κλασματικό από το κλασματικό.
Για παράδειγμα:
Η τρίτη επιλογή είναι η αφαίρεση των μικτών κλασμάτων.
Το κλασματικό μέρος του minuend είναι μικρότερο από το κλασματικό μέρος του subtrahend.
Παράδειγμα:
Επειδή Τα κλασματικά μέρη έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, πράγμα που σημαίνει ότι, όπως στη δεύτερη επιλογή, φέρνουμε πρώτα τα συνηθισμένα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Ο αριθμητής του κλασματικού μέρους του minuend είναι μικρότερος από τον αριθμητή του κλασματικού μέρους του subtrahend.3 < 14. Έτσι, παίρνουμε μια μονάδα από το ακέραιο μέρος και μειώνουμε αυτή τη μονάδα στη μορφή ενός ακατάλληλου κλάσματος με τον ίδιο παρονομαστή και αριθμητή = 18.
Στον αριθμητή από τη δεξιά πλευρά γράφουμε το άθροισμα των αριθμητών, μετά ανοίγουμε τις αγκύλες στον αριθμητή από τη δεξιά πλευρά, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα πάντα και δίνουμε όμοιους. Δεν ανοίγουμε αγκύλες στον παρονομαστή. Είναι σύνηθες να αφήνετε το προϊόν στους παρονομαστές. Παίρνουμε:
Τα κλάσματα είναι συνηθισμένους αριθμούς, μπορούν επίσης να προστεθούν και να αφαιρεθούν. Αλλά λόγω του γεγονότος ότι έχουν έναν παρονομαστή, απαιτούνται πιο περίπλοκοι κανόνες εδώ από ό,τι για τους ακέραιους αριθμούς.
Θεωρήστε την απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Επειτα:
Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, προσθέστε τους αριθμητές τους και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Για να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε ξανά τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Μέσα σε κάθε παράσταση, οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίσοι. Με τον ορισμό της πρόσθεσης και της αφαίρεσης των κλασμάτων, παίρνουμε:
Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο: απλώς προσθέστε ή αφαιρέστε τους αριθμητές - και αυτό είναι.
Αλλά και σε τέτοια απλές ενέργειεςοι άνθρωποι καταφέρνουν να κάνουν λάθη. Τις περισσότερες φορές ξεχνούν ότι ο παρονομαστής δεν αλλάζει. Για παράδειγμα, όταν τα προσθέτουν, αρχίζουν επίσης να αθροίζονται, και αυτό είναι βασικά λάθος.
Ξεφορτώνομαι κακή συνήθειαΗ προσθήκη των παρονομαστών είναι αρκετά εύκολη. Προσπαθήστε να κάνετε το ίδιο κατά την αφαίρεση. Ως αποτέλεσμα, ο παρονομαστής θα είναι μηδέν και το κλάσμα (ξαφνικά!) θα χάσει το νόημά του.
Επομένως, θυμηθείτε μια για πάντα: κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση, ο παρονομαστής δεν αλλάζει!
Επίσης, πολλοί άνθρωποι κάνουν λάθη όταν προσθέτουν πολλά αρνητικά κλάσματα. Υπάρχει σύγχυση με τα σημάδια: πού να βάλετε ένα μείον, και πού - ένα συν.
Αυτό το πρόβλημα είναι επίσης πολύ εύκολο να λυθεί. Αρκεί να θυμόμαστε ότι το μείον πριν από το πρόσημο του κλάσματος μπορεί πάντα να μεταφερθεί στον αριθμητή - και αντίστροφα. Και φυσικά, μην ξεχνάτε δύο απλούς κανόνες:
- Συν φορές το μείον δίνει μείον?
- Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.
Ας τα αναλύσουμε όλα αυτά με συγκεκριμένα παραδείγματα:
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:
Στην πρώτη περίπτωση, όλα είναι απλά, και στη δεύτερη, θα προσθέσουμε μείον στους αριθμητές των κλασμάτων:
Τι γίνεται αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί
Δεν μπορείτε να προσθέσετε απευθείας κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Τουλάχιστον, αυτή η μέθοδος είναι άγνωστη σε μένα. Ωστόσο, τα αρχικά κλάσματα μπορούν πάντα να ξαναγραφούν έτσι ώστε οι παρονομαστές να γίνονται οι ίδιοι.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι μετατροπής κλασμάτων. Τρία από αυτά συζητούνται στο μάθημα " Φέρνοντας τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή", επομένως δεν θα σταθούμε σε αυτά εδώ. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα:
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:
Στην πρώτη περίπτωση, φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "cross-wise". Στο δεύτερο, θα αναζητήσουμε το LCM. Σημειώστε ότι 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Οι τελευταίοι συντελεστές σε αυτές τις επεκτάσεις είναι ίσοι και οι πρώτοι είναι συμπρωτάρηδες. Επομένως, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.
Τι γίνεται αν το κλάσμα έχει ακέραιο μέρος
Μπορώ να σας ευχαριστήσω: διαφορετικοί παρονομαστές των κλασμάτων δεν είναι το μεγαλύτερο κακό. Πολύ περισσότερα σφάλματα συμβαίνουν όταν το ακέραιο μέρος επισημαίνεται με τους κλασματικούς όρους.
Φυσικά, για τέτοια κλάσματα υπάρχουν δικοί αλγόριθμοι πρόσθεσης και αφαίρεσης, αλλά είναι μάλλον περίπλοκοι και απαιτούν μακρά μελέτη. Καλύτερη χρήση ένα απλό κύκλωμαπαρακάτω:
- Μετατρέψτε όλα τα κλάσματα που περιέχουν ένα ακέραιο μέρος σε ακατάλληλα. Λαμβάνουμε κανονικούς όρους (ακόμα και με διαφορετικούς παρονομαστές), οι οποίοι υπολογίζονται σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω.
- Στην πραγματικότητα, υπολογίστε το άθροισμα ή τη διαφορά των κλασμάτων που προκύπτουν. Ως αποτέλεσμα, θα βρούμε πρακτικά την απάντηση.
- Εάν αυτό είναι το μόνο που απαιτείται στην εργασία, εκτελούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, δηλ. απαλλαγούμε από το ακατάλληλο κλάσμα, επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος σε αυτό.
Κανόνες μετάβασης σε ακατάλληλα κλάσματακαι η επιλογή του ακέραιου μέρους περιγράφονται αναλυτικά στο μάθημα «Τι είναι κλάσμα». Εάν δεν θυμάστε, φροντίστε να επαναλάβετε. Παραδείγματα:
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:
Όλα είναι απλά εδώ. Οι παρονομαστές μέσα σε κάθε έκφραση είναι ίσοι, επομένως μένει να μετατρέψουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και να μετρήσουμε. Εχουμε:
Για να απλοποιήσω τους υπολογισμούς, παρέλειψα ορισμένα προφανή βήματα στα τελευταία παραδείγματα.
Μια μικρή σημείωση στα δύο τελευταία παραδείγματα, όπου τα κλάσματα με τονισμένα ολόκληρο μέρος. Το μείον πριν από το δεύτερο κλάσμα σημαίνει ότι αφαιρείται ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο ολόκληρο το μέρος του.
Ξαναδιάβασε αυτή την πρόταση ξανά, δες τα παραδείγματα και σκέψου το. Εδώ το επιτρέπουν οι αρχάριοι μεγάλο ποσόΣφάλματα. Τους αρέσει να δίνουν τέτοια καθήκοντα εργασίες ελέγχου. Θα τους συναντήσετε επίσης επανειλημμένα στα τεστ για αυτό το μάθημα, που θα δημοσιευτούν σύντομα.
Περίληψη: General Scheme of Computing
Εν κατακλείδι, θα δώσω έναν γενικό αλγόριθμο που θα σας βοηθήσει να βρείτε το άθροισμα ή τη διαφορά δύο ή περισσότερων κλασμάτων:
- Εάν ένα ακέραιο μέρος επισημαίνεται σε ένα ή περισσότερα κλάσματα, μετατρέψτε αυτά τα κλάσματα σε ακατάλληλα.
- Φέρτε όλα τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή με κάθε τρόπο που σας βολεύει (εκτός, φυσικά, αν το έκαναν αυτό οι μεταγλωττιστές των προβλημάτων).
- Προσθέστε ή αφαιρέστε τους αριθμούς που προκύπτουν σύμφωνα με τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
- Μειώστε το αποτέλεσμα αν είναι δυνατόν. Εάν το κλάσμα αποδείχθηκε λανθασμένο, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα.
Θυμηθείτε ότι είναι καλύτερο να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος στο τέλος της εργασίας, λίγο πριν γράψετε την απάντηση.
