Ποιος έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία αριθμών. Θεωρία αριθμών

Το περιεχόμενο του άρθρου

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ,κλάδος των καθαρών μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των ακεραίων 0, ± 1, ± 2,... και των σχέσεων μεταξύ τους. Μερικές φορές η θεωρία αριθμών ονομάζεται ανώτερη αριθμητική. Οι ξεχωριστοί υπολογισμοί που γίνονται σε συγκεκριμένους αριθμούς, για παράδειγμα, 9 + 16 = 25, δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και συνήθως δεν περιλαμβάνονται στο αντικείμενο της θεωρίας αριθμών. Από την άλλη, η ισότητα που μόλις γράφτηκε γίνεται ασύγκριτα πιο ενδιαφέρουσα αν σημειώσουμε ότι είναι η απλούστερη λύση σε ακέραιους αριθμούς (εκτός από τις ασήμαντες λύσεις Χ = z, y= 0) οι Πυθαγόρειες εξισώσεις Χ 2 + y 2 = z 2. Από αυτή την άποψη, η τελευταία εξίσωση οδηγεί απευθείας σε ορισμένα γνήσια προβλήματα θεωρίας αριθμών, για παράδειγμα, η (1) κάνει Χ 2 + y 2 = z 2 απείρως πολλές ή μόνο πεπερασμένος αριθμός λύσεων σε ακέραιους αριθμούς και πώς μπορούν να βρεθούν; (2) Με ποιους ακέραιους αριθμούς μπορούν να αναπαρασταθούν Χ 2 + y 2, όπου ΧΚαι y- ολόκληροι αριθμοί? (3) Υπάρχουν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς της ανάλογης εξίσωσης x n + y n = z n, Οπου nείναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 2; Ένα από τα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά της θεωρίας αριθμών είναι ότι αυτά τα τρία ερωτήματα, που διατυπώνονται τόσο εύκολα και ξεκάθαρα, βρίσκονται στην πραγματικότητα σε εντελώς διαφορετικό επίπεδο. διάφορα επίπεδαδυσκολίες. Ο Πυθαγόρας και ο Πλάτωνας, και ίσως πολύ προγενέστεροι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί, γνώριζαν ότι η εξίσωση Χ 2 + y 2 = zΤο 2 έχει άπειρες λύσεις σε ακέραιους αριθμούς και ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος (περίπου 250 π.Χ.) γνώριζε ότι κάθε τέτοια λύση μπορεί να αναπαρασταθεί ως Χ = r 2 – μικρό 2 , y=2 rs, z = r 2 + μικρό 2 για κατάλληλους ακέραιους αριθμούς rΚαι μικρόκαι αυτό για δύο ακέραιους αριθμούς rΚαι μικρόαντίστοιχες τιμές Χ, yΚαι zσχηματίστε ένα διάλυμα. Όσον αφορά τη δεύτερη ερώτηση, η δομή του συνόλου των ακεραίων αριθμών που αναπαρίστανται ως άθροισμα δύο τετραγώνων περιγράφηκε από τον P. Fermat (1601–1665), τον ιδρυτή της θεωρίας αριθμών στο σύγχρονη μορφή. Ο Fermat έδειξε ότι ο ακέραιος αριθμός Μαναπαραστάσιμο ως το άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν το πηλίκο του αριθμού Μμε το μεγαλύτερο τετράγωνο που διαιρεί τον αριθμό Μ, δεν περιέχει πρώτο παράγοντα της μορφής 4 κ + 3 (κείναι ακέραιος). Αυτό το αποτέλεσμα είναι πολύ πιο λεπτό από το πρώτο και η απόδειξή του δεν είναι προφανής, αν και δεν είναι πολύ δύσκολο. Το τρίτο ερώτημα έμεινε αναπάντητο, παρά τις πιο επίμονες προσπάθειες των πιο λαμπρών μαθηματικών μυαλών, τους τελευταίους τρεις αιώνες. Ο Fermat έγραψε στο περιθώριο ενός από τα βιβλία του γύρω στο 1630 ότι η εξίσωση x n + y n = z nδεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς Χ, yΚαι z, διαφορετικό από το μηδέν, όταν nμεγαλύτερο από 2, αλλά δεν άφησε την ίδια την απόδειξη. Και μόνο το 1994 ο E. Wiles από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον κατάφερε να αποδείξει αυτό το θεώρημα, το οποίο για αρκετούς αιώνες ονομάζεται Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Εκτός από τα ίδια τα μαθηματικά, η θεωρία αριθμών έχει αρκετές εφαρμογές και δεν αναπτύχθηκε για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων, αλλά ως τέχνη για χάρη της τέχνης, με τη δική της εσωτερική ομορφιά, λεπτότητα και δυσκολία. Ωστόσο, η θεωρία αριθμών έχει μεγάλη επιρροήστη μαθηματική επιστήμη, καθώς ορισμένοι κλάδοι των μαθηματικών (συμπεριλαμβανομένων εκείνων που αργότερα βρήκαν εφαρμογή στη φυσική) δημιουργήθηκαν αρχικά για να λύσουν ιδιαίτερα δύσκολα προβλήματα στη θεωρία αριθμών. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

πολλαπλασιαστικές βάσεις.

Ας υποθέσουμε ότι σε όσα ακολουθούν όλα γράμματαθα σημαίνει (εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) ακέραιους αριθμούς. Εμείς το λέμε σιείναι ο διαιρέτης του αριθμού ένα(ή τι σιχωρίζει ένα) και συμβολίστε το σι|ένααν υπάρχει τέτοιος ακέραιος αριθμός ντο, Τι α = π.Χ. Οι αριθμοί 1 και - 1 ("μονάδες"), οι αντίστροφοι των οποίων είναι ακέραιοι, είναι διαιρέτες οποιουδήποτε ακέραιου. Εάν ± 1 και ± έναείναι οι μόνοι διαιρέτες ενός αριθμού ένα, τότε λέγεται απλό? αν υπάρχουν άλλοι διαιρέτες, τότε ο αριθμός έναονομάζεται σύνθετος. (Οι πρώτοι αριθμοί είναι, για παράδειγμα, 2, 3, 5, 7, 11, 13.) Εάν ένας θετικός ακέραιος αριθμός ένασύνθετο, μπορεί να αναπαρασταθεί ως α = π.Χ, όπου 1 b a και 1 c a; εάν ένα από τα δύο σι, ή ντοσύνθετο, τότε μπορεί να παραγοντοποιηθεί περαιτέρω. Συνεχίζοντας να παραγοντοποιούμε, πρέπει τελικά να φτάσουμε στην αναπαράσταση του αριθμού έναως γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού πρώτοι αριθμοί(δεν είναι όλα απαραίτητα ξεχωριστά). για παράδειγμα, 12 = 2x 2x 3, 13 = 1x1 3, 100 = 2x 2x 5x 5. Διαφορετικά, ο αριθμός έναθα μπορούσε να γραφτεί αυθαίρετα ένας μεγάλος αριθμόςπαράγοντες, καθένας από τους οποίους δεν είναι μικρότερος από 2, κάτι που είναι αδύνατο. Το θεώρημα για τη μοναδικότητα της επέκτασης σε πρωταρχικούς παράγοντες, ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της θεωρίας αριθμών, δηλώνει ότι, μέχρι προφανείς αλλαγές στα πρόσημα και τη σειρά των παραγόντων, οποιεσδήποτε δύο παραγοντοποιήσεις ενός αριθμού έναταιριάξει; Για παράδειγμα, οποιαδήποτε αποσύνθεση του αριθμού 12 σε πρώτους παράγοντες μπορεί να αναπαρασταθεί με τρεις αριθμούς - 2× 2× 3. 2Η 3Η 2; 3Η 2Η 2; άλλες επεκτάσεις προκύπτουν αντικαθιστώντας δύο παράγοντες ίσους σε απόλυτη τιμή αρνητικούς αριθμούς. Το θεώρημα για τη μοναδικότητα της παραγοντοποίησης εμφανίζεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, όπου αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την έννοια του μεγαλύτερου κοινός διαιρέτης(GCD). Αν ρε> 0 - κοινός διαιρέτης αριθμών έναΚαι σικαι, με τη σειρά του, διαιρείται με οποιονδήποτε άλλο αριθμό που διαιρείται έναΚαι σι, Οτι ρεονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών έναΚαι σι, το οποίο είναι γραμμένο ως εξής: GCD( ένα, σι) = ρε; για παράδειγμα, gcd (12, 18) = 6. Εάν gcd ( ένα, σι) = 1 και μετά οι αριθμοί έναΚαι σιονομάζονται coprime. Ο Ευκλείδης έδειξε ότι για οποιουσδήποτε δύο αριθμούς έναΚαι σι, υπάρχει μόνο ένα GCD και πρότεινε μια συστηματική μέθοδο που μοιάζει με "διαίρεση με γωνία". με αριθμούς gcd έναΚαι σιΤο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους (LCM) σχετίζεται - το λιγότερο θετικός αριθμός, που διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς έναΚαι σι. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι ίσο με το γινόμενο των αριθμών έναΚαι σι, διαιρούμενο με το gcd τους, ή | αβ|/gcd ( ένα, σι).

Σύμφωνα με το θεώρημα για τη μοναδικότητα της αποσύνθεσης σε πρώτους παράγοντες, οι πρώτοι αριθμοί είναι τα «τούβλα» από τα οποία χτίζονται οι ακέραιοι αριθμοί. Εκτός από το ± 2, όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί, αφού ένας αριθμός ονομάζεται ζυγός μόνο όταν διαιρείται με το 2. Ο Ευκλείδης γνώριζε ήδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Αυτό το απέδειξε σημειώνοντας ότι ο αριθμός Ν = (Π 1 Π 2 ...p n) + 1 (όπου Π 1 , Π 2 ,..., p nείναι όλοι πρώτοι αριθμοί) δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο αριθμό Π 1 , Π 2 ,..., p nκαι επομένως είτε Ν, ή ένας από τους πρώτους παράγοντες του πρέπει να είναι πρώτος αριθμός διαφορετικός από Π 1 , Π 2 ,..., p n. Ως εκ τούτου, Π 1 , Π 2 ,..., p nδεν μπορεί να είναι πλήρης λίσταόλοι οι πρώτοι αριθμοί.

Αφήνω ΜΤο i 1 είναι κάποιος δεδομένος ακέραιος αριθμός. Οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ ένακατά τη διαίρεση με Μδίνει ένα υπόλοιπο ίσο με έναν από τους αριθμούς 0, 1, ..., Μ– 1. (Για παράδειγμα, όταν Μ= 13 και ένα, λαμβάνοντας διαδοχικά τις τιμές 29, 7, - 21, 65, παίρνουμε: 29 = 2× 3 + 3, 7 = 0× 13 + 7, –21 = –2× 13 + 5, 65 = 5× 13 + 0, και τα υπόλοιπα είναι αντίστοιχα 3 , 7, 5, 0.) Αν οι αριθμοί έναΚαι σικατά τη διαίρεση με Μδώστε το ίδιο υπόλοιπο, τότε σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν να θεωρηθούν ισοδύναμα σε σχέση με Μ. Οι μαθηματικοί λένε σε τέτοιες περιπτώσεις ότι οι αριθμοί έναΚαι σισυγκρίσιμο modulo Μ, το οποίο είναι γραμμένο ως εξής: ένα є σι(τροπ Μ) και καλείται modulo σύγκριση Μ. Όλοι είμαστε εξοικειωμένοι με το modulo 12 στην περίπτωση των ωρών: 17 η ώρα σημαίνει το ίδιο με τις 5 η ώρα το απόγευμα, από τις 17 έως τις 5 (mod 12). Αυτή η σχέση, που ονομάζεται σύγκριση, εισήχθη από τον K. Gauss (1777–1855). Είναι κάπως παρόμοιο με την ισότητα στο ότι οι συγκρίσεις modulo το ίδιο Μμπορεί να προστεθεί και να πολλαπλασιαστεί ως συνήθως: αν ένα є σι(τροπ Μ) Και ντο є ρε(τροπ Μ), Οτι ένα + ντοє σι + ρε(τροπ Μ), μετα Χριστονє β-δ(τροπ Μ), αχ σє bh d(τροπ Μ) Και τα є tb(τροπ Μ) για οποιονδήποτε ακέραιο t. Η μείωση από έναν κοινό παράγοντα είναι, σε γενικές γραμμές, αδύνατη, γιατί 20 є 32 (mod 6), αλλά 5 No. 8 (mod 6). Ωστόσο, εάν τα є tb(τροπ Μ) Και ( t,Μ) = ρε, Οτι έναє σι(mod( Μ/ρε)). Στο ρε= 1 αυτό ουσιαστικά μειώνεται σε μια κοινή μείωση παράγοντα. για παράδειγμα, 28 є 40 (mod 3), και δεδομένου ότι οι αριθμοί 4 και 3 είναι συμπρώτοι, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της σύγκρισης με το 4 και να πάρουμε 7 є 10 (mod 3). Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι αν έναє σι(τροπ Μ), μετά το gcd των αριθμών έναΚαι Μίσο με gcd αριθμών σιΚαι Μ. Ως παράδειγμα, εξετάστε τη σύγκριση 6 є 10 (mod 4): το gcd(6, 4) είναι 2 και το gcd(10, 4) είναι επίσης 2.

Όλοι οι ακέραιοι συγκρίσιμοι με οποιονδήποτε αριθμό σχηματίζουν ένα τάξη έκπτωσης. Για κάθε ενότητα Μυπάρχει Μτάξεις έκπτωσης που αντιστοιχούν σε Μυπόλοιπα 0, 1,..., Μ- 1; καθεμία από τις κλάσεις περιέχει έναν από τους αριθμούς 0, 1,..., Μ– 1 μαζί με όλους τους αριθμούς που είναι συγκρίσιμοι με αυτό το modulo αριθμών Μ. Αν δύο αριθμοί έναΚαι σιανήκουν στην ίδια κατηγορία υπολειμμάτων, δηλ. ικανοποιήσει τη σχέση έναє σι(τροπ Μ), μετά GCD ( ένα,Μ) = gcd ( σι,Μ) Επομένως, είτε όλα τα στοιχεία μιας δεδομένης κατηγορίας υπολειμμάτων είναι συμπρωτογενή με Μ, ή κανένα από τα δύο δεν είναι coprime. Ο αριθμός των «μειωμένων» κατηγοριών υπολειμμάτων, δηλ. κλάσεις υπολειμμάτων των οποίων τα στοιχεία είναι σχετικά πρωταρχικά Μ, συμβολίζεται φά(Μ). Έτσι, προκύπτει μια συνάρτηση στο σύνολο των ακεραίων που καλείται φά-Λειτουργία Euler προς τιμή του L. Euler (1707–1783). Στο Μ= 6 υπάρχουν έξι κατηγορίες υπολειμμάτων, η καθεμία περιέχει έναν από τους αριθμούς 0, 1,..., 5. Με αυτό Μμόνο τα στοιχεία της κλάσης που περιέχει τον αριθμό 5 και η κλάση που περιέχει τον αριθμό 1 είναι συμπρωτεύοντα. φά (Μ) = 2.

Όπως και με τις εξισώσεις, μπορεί κανείς να εξετάσει συγκρίσεις με έναν ή περισσότερους αγνώστους. Το απλούστερο είναι μια γραμμική σύγκριση με έναν άγνωστο τσεκούριє σι(τροπ Μ). Εκτελείται μόνο όταν Μδιαιρεί τον αριθμό ( τσεκούρι – σι), ή τσεκούρι – σι = μουγια κάποιο ακέραιο y. Άρα αυτή η σύγκριση είναι ισοδύναμη με τη γραμμική εξίσωση τσεκούρι - μου = β. Δεδομένου ότι η αριστερή πλευρά του διαιρείται απαραίτητα με το GCD ( ένα, Μ), δεν μπορεί να εκτελεστεί για κανέναν ακέραιο αριθμό ΧΚαι y, εάν gcd ( ένα, Μ) δεν διαιρεί τον αριθμό σι.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η σύγκριση τσεκούρι є σι(τροπ Μ) είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν το gcd ( ένα, Μ) διαιρεί τον αριθμό σι, και αν αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, τότε υπάρχει ακριβώς gcd ( ένα, Μ) κατηγορίες υπολειμμάτων modulo Μτων οποίων τα στοιχεία ικανοποιούν αυτή τη σύγκριση. Για παράδειγμα η εξίσωση 2 Χ + 6yΤο = 5 δεν μπορεί να αποφασιστεί σε ακέραιους αριθμούς, επειδή gcd(2, 6) = 2, και ο αριθμός 5 δεν διαιρείται με το 2. εξίσωση 2 Χ + 3y= 5 είναι επιλύσιμο, γιατί gcd(2, 3) = 1; ομοίως, η εξίσωση 2 Χ + 3y = σιεπιλύσιμο για κάθε ακέραιο σι. Πράγματι, για οποιαδήποτε έναΚαι Μ, έτσι ώστε GCD ( ένα, Μ) = 1, εξίσωση τσεκούρι - μου = βεπιτρέπεται για οποιονδήποτε σι.

Η εξίσωση τσεκούρι - μου = β- αυτό είναι προφανώς το απλούστερο παράδειγμα«Διοφαντική εξίσωση», δηλ. μια εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που πρέπει να λυθεί σε ακέραιους αριθμούς.

Γενική τετραγωνική σύγκριση τσεκούρι 2 + bx + ντοє 0 (τροπ Μ) μπορεί να αναλυθεί αρκετά εκτενώς. Πολλαπλασιάζοντας με 4 ένα, παίρνουμε 4 ένα 2 Χ 2 + 4αβξ + 4μετα Χριστονє 0 (mod 4 είμαι), ή 2 τσεκούρι + σι) 2 є ( σι 2 – 4μετα Χριστον) (mod 4 είμαι). Υποθέτοντας 2 τσεκούρι + σι = uΚαι σι 2 – 4μετα Χριστον = r, ανάγουμε τη λύση της αρχικής σύγκρισης στη λύση της σύγκρισης u 2 є r(mod 4 είμαι). Με τη σειρά τους, οι λύσεις της τελευταίας σύγκρισης, με τη βοήθεια ελαφρώς πιο περίπλοκης συλλογιστικής, μπορούν να περιοριστούν στην επίλυση συγκρίσεων της μορφής u 2 є r(τροπ Π), Οπου Π- Πρώτος αριθμός. Επομένως, όλες οι δυσκολίες και όλο το ενδιαφέρον βρίσκονται σε αυτή τη φαινομενικά ειδική περίπτωση μιας γενικής τετραγωνικής σύγκρισης. Αν σύγκριση u 2 є r(τροπ Π) είναι επιλύσιμο, λοιπόν uπου ονομάζεται τετραγωνικό υπόλειμμα modulo Π, σε διαφορετική περίπτωση τετραγωνικό μη υπόλειμμα. Ο «τετραγωνικός νόμος της αμοιβαιότητας», που ανακαλύφθηκε εμπειρικά από τον Euler (περίπου 1772) και αποδείχθηκε από τον Gauss (1801), αναφέρει ότι εάν ΠΚαι qείναι διαφορετικοί περιττοί πρώτοι αριθμοί, τότε ο καθένας από αυτούς είναι είτε ένα τετραγωνικό υπόλειμμα modulo του άλλου, είτε αυτό δεν ισχύει για κανέναν από αυτούς, εκτός από την περίπτωση που και Π, Και qμοιάζει με 4 κ+ 3 και όταν μόνο ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι τετραγωνικός συντελεστής υπολείμματος ο άλλος. Το θεώρημα του Gauss, το οποίο ονόμασε «χρυσό θεώρημα», χρησιμεύει ως ισχυρό εργαλείο για την έρευνα της θεωρίας αριθμών και επιτρέπει σε κάποιον να απαντήσει στο ερώτημα εάν μια δεδομένη τετραγωνική σύγκριση είναι αποφασίσιμη.

Τελείωσαν οι συγκρίσεις υψηλούς βαθμούςείδος φά (Χ) j 0 (τροπ Μ), Οπου φά(Χ) είναι πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του 2, λύνονται με μεγάλη δυσκολία. Σύμφωνα με το θεώρημα του J. Lagrange (1736–1813), ο αριθμός των λύσεων (ακριβέστερα, ο αριθμός των τάξεων υπολειμμάτων, καθένα από τα στοιχεία των οποίων είναι μια λύση) δεν υπερβαίνει το βαθμό του πολυωνύμου φά(Χ) εάν η ενότητα είναι απλή. Υπάρχει ένα απλό κριτήριο για τη διαλυτότητα της σύγκρισης x n є r(τροπ Π) λόγω του Euler, αλλά δεν ισχύει για τις ομοιότητες γενική εικόνα, του οποίου η επιλυτότητα για n> 2 λίγα είναι γνωστά.

Διοφαντικές εξισώσεις.

Παρά το γεγονός ότι η μελέτη των Διοφαντινών εξισώσεων χρονολογείται από την αρχή των μαθηματικών, δεν υπάρχει ακόμα γενική θεωρία των Διοφαντικών εξισώσεων. Αντίθετα, υπάρχει ένα εκτεταμένο σύνολο επιμέρους τεχνικών, καθεμία από τις οποίες είναι χρήσιμη για την επίλυση μόνο μιας περιορισμένης κατηγορίας προβλημάτων. Ξεκινώντας τη μελέτη της Διοφαντικής εξίσωσης, θα θέλαμε να λάβουμε μια περιγραφή όλων των ακέραιων λύσεών της, όπως έγινε παραπάνω για την εξίσωση Χ 2 + y 2 = z 2. Υπό αυτή την έννοια, μόνο μια μικρή κατηγορία εξισώσεων έχει λυθεί πλήρως, οι περισσότερες από τις οποίες είναι είτε γραμμικές είτε τετραγωνικές. Λύση αυθαίρετου συστήματος από Μ γραμμικές εξισώσειςΜε nάγνωστο πότε n > Μ, αποκτήθηκε από τον G. Smith (1826–1883). Η απλούστερη τετραγωνική εξίσωση είναι η λεγόμενη. Εξίσωση Pell Χ 2 – Dy 2 = Ν(Οπου ρεΚαι Νείναι τυχόν ακέραιοι), το οποίο επιλύθηκε πλήρως από τον Lagrange (1766). Γνωστές είναι επίσης λύσεις διαφόρων επιμέρους εξισώσεων ή συστημάτων εξισώσεων δεύτερου βαθμού με περισσότερους από δύο αγνώστους, καθώς και μερικές εξισώσεις υψηλότερων βαθμών. Στην τελευταία περίπτωση, προέκυψαν ως επί το πλείστον αρνητικά αποτελέσματα: η εξίσωση που εξετάζουμε δεν έχει λύσεις ή μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Συγκεκριμένα, ο K. Siegel έδειξε το 1929 ότι οι μόνες αλγεβρικές εξισώσεις σε δύο αγνώστους που έχουν άπειρες πολλές ακέραιες λύσεις είναι οι γραμμικές εξισώσεις, οι εξισώσεις του Pell και οι εξισώσεις που λαμβάνονται και από τις δύο χρησιμοποιώντας ειδικούς μετασχηματισμούς.

Έντυπα.

μορφήονομάζεται ομοιογενές πολυώνυμο σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές, δηλ. ένα πολυώνυμο, του οποίου όλα τα μέλη έχουν τον ίδιο πλήρη βαθμό στο σύνολο των μεταβλητών. Για παράδειγμα, Χ 2 + xy + y 2 - έντυπο βαθμού 2, Χ 3 – Χ 2 y + 3xy 2 + y 3 - έντυπο πτυχίου 3. Μία από τις κύριες ερωτήσεις είναι παρόμοια με αυτή που διατυπώθηκε παραπάνω για τη φόρμα Χ 2 + y 2, δηλαδή: ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας τη φόρμα (δηλαδή, ποιες ακέραιες τιμές μπορεί να πάρει η φόρμα) με ακέραιες τιμές των μεταβλητών; Και αυτή τη φορά η τετραγωνική περίπτωση εξετάστηκε πλήρως. Για απλότητα, περιοριζόμαστε μόνο σε δύο μεταβλητές, δηλ. μορφές της φόρμας φά(Χ,y) = τσεκούρι 2 + b.xy + cy 2. Τιμή D = 4 μετα Χριστον – σι 2 κάλεσε διακριτικήμορφές φά(Χ,y) αν το διακρίνον μηδέν, τότε η μορφή εκφυλίζεται στο τετράγωνο της γραμμικής μορφής. Αυτή η περίπτωση συνήθως δεν εξετάζεται. Οι μορφές με θετική διάκριση ονομάζονται οριστικές, γιατί όλες οι τιμές που γίνονται αποδεκτές από τη φόρμα φά(Χ,y) σε αυτή την περίπτωση έχουν το ίδιο πρόσημο με ένα; με θετικό έναμορφή φά(Χ,y) είναι πάντα θετική και λέγεται θετική οριστική. Οι μορφές με αρνητική διάκριση ονομάζονται αόριστες γιατί φά(Χ,y) παίρνει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές.

Αν μέσα φά(Χ,y) αλλάξτε τις μεταβλητές Χ = Au+Bv, y = Cu + Dv, Οπου ΕΝΑ, σι, ντο, ρεείναι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν τη συνθήκη AD-BC=± 1, τότε παίρνουμε νέα μορφή σολ(u,v). Δεδομένου ότι οποιοδήποτε ζεύγος ακεραίων ΧΚαι yταιριάζει με ένα ζεύγος ακεραίων uΚαι v, τότε κάθε ακέραιος αριθμός που αντιπροσωπεύεται από τη μορφή φά, αντιπροσωπεύουν τη φόρμα σολ, και αντίστροφα. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι φάΚαι σολείναι ισοδύναμα. Όλες οι μορφές που ισοδυναμούν με μια δεδομένη σχηματίζουν μια κλάση ισοδυναμίας. Ο αριθμός τέτοιων κλάσεων για μορφές με σταθερή διάκριση D είναι πεπερασμένος.

Αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση των θετικών ορισμένων μορφών σε κάθε τάξη ισοδυναμίας υπάρχει μια μοναδική μορφή τσεκούρι 2 + b.xy + cy 2 με τέτοιους συντελεστές ένα, σι, ντο, είτε - έναβ J έναγ, ή 0 J σιЈ ένα = ντο. Μια τέτοια μορφή ονομάζεται ανηγμένη μορφή της δεδομένης κλάσης ισοδυναμίας. Το παραπάνω έντυπο χρησιμοποιείται ως τυπικός αντιπρόσωπος της κλάσης του και οι πληροφορίες που λαμβάνονται σχετικά επεκτείνονται εύκολα σε άλλα μέλη της κλάσης ισοδυναμίας. Ένα από τα κύρια προβλήματα, που σε αυτή την απλούστερη περίπτωση επιλύεται πλήρως, είναι να βρεθεί μια μειωμένη μορφή που να είναι ισοδύναμη με μια δεδομένη μορφή. αυτή η διαδικασία ονομάζεται χύτευση. Στην περίπτωση αόριστων μορφών, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ανισότητες που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές μιας μόνο μορφής από κάθε τάξη. Ωστόσο, υπάρχουν ανισότητες που ικανοποιούνται από κάποιο πεπερασμένο αριθμό μορφών σε κάθε τάξη, και όλες ονομάζονται ανηγμένες μορφές.

Οι ορισμένες και οι αόριστες μορφές διαφέρουν επίσης στο ότι οποιαδήποτε ορισμένη μορφή αντιπροσωπεύει (αν αντιπροσωπεύει) έναν ακέραιο μόνο με έναν πεπερασμένο αριθμό τρόπων, ενώ ο αριθμός των αναπαραστάσεων ενός ακέραιου από μια αόριστη μορφή είναι πάντα είτε μηδέν είτε άπειρος. Το θέμα είναι ότι, σε αντίθεση με τις οριστικές μορφές, οι αόριστες έχουν άπειρους «αυτομορφισμούς», δηλ. αντικαταστάσεις Χ = Au+ bv, y = Cu + dvαφήνοντας τη φόρμα φά (Χ,y) αμετάβλητο, άρα φά (Χ,y) = φά (u,v). Αυτοί οι αυτομορφισμοί μπορούν να περιγραφούν πλήρως με όρους λύσεων της εξίσωσης Pell z 2+Δ w 2 = 4, όπου D είναι η διάκριση σχήματος φά.

Μερικά συγκεκριμένα αποτελέσματα που σχετίζονται με την αναπαράσταση ακεραίων με τετραγωνικές μορφές ήταν γνωστά πολύ πριν από την εμφάνιση του μόλις περιγραφόμενου γενική θεωρία, η αρχή του οποίου τέθηκε από τον Lagrange το 1773 και το οποίο αναπτύχθηκε στα έργα των Legendre (1798), Gauss (1801) και άλλων. Ο Fermat έδειξε το 1654 ότι κάθε πρώτος αριθμός της μορφής 8 n+ 1 ή 8 nΤο + 3 αντιπροσωπεύεται από τη μορφή Χ 2 + 2y 2, κάθε πρώτος αριθμός της μορφής 3 nΤο + 1 αντιπροσωπεύεται από τη μορφή Χ 2 + 3y 2 και δεν υπάρχει πρώτος αριθμός της μορφής 3 n– 1, που αντιπροσωπεύεται από το έντυπο Χ 2 + 3y 2. Καθόρισε επίσης ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός της μορφής 4 nΤο + 1 είναι αναπαραστάσιμο, και με μοναδικό τρόπο, ως το άθροισμα δύο τετραγώνων. Ο Fermat δεν άφησε αποδείξεις για αυτά τα θεωρήματα (καθώς και σχεδόν όλα τα άλλα αποτελέσματά του). Μερικά από αυτά αποδείχθηκαν από τον Euler (1750-1760) και η απόδειξη του τελευταίου από αυτά τα θεωρήματα απαιτούσε επτά χρόνια έντονης προσπάθειας. Αυτά τα θεωρήματα είναι πλέον γνωστά ως απλά συμπεράσματα του νόμου της τετραγωνικής αμοιβαιότητας.

Ομοίως, μπορεί κανείς να ορίσει την ισοδυναμία των τετραγωνικών μορφών από nμεταβλητές. Υπάρχουν παρόμοιες θεωρίες αναγωγής και αναπαράστασης, φυσικά πιο περίπλοκες από ό,τι στην περίπτωση δύο μεταβλητών. Μέχρι το 1910, η ανάπτυξη της θεωρίας είχε προχωρήσει όσο το δυνατόν περισσότερο με τη βοήθεια των κλασικών μεθόδων και η θεωρία αριθμών παρέμεινε αδρανής μέχρι το 1935, όταν ο Siegel της έδωσε μια νέα ώθηση, καθιστώντας τη μαθηματική ανάλυση το κύριο εργαλείο για την έρευνα σε αυτόν τον τομέα.

Ένα από τα πιο εκπληκτικά θεωρήματα της θεωρίας αριθμών αποδείχθηκε από τον Fermat και, προφανώς, ήταν γνωστό ακόμη και στον Διόφαντο. Λέει ότι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός είναι το άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Μια γενικότερη δήλωση χωρίς απόδειξη έγινε από τον E. Waring (1734–1798): κάθε θετικός ακέραιος είναι το άθροισμα όχι περισσότερων από εννέα κύβους, όχι περισσότερες από δεκαεννέα τέταρτες δυνάμεις κ.λπ. Η γενική δήλωση ότι για κάθε θετικό ακέραιο κυπάρχει ένας ακέραιος αριθμός μικρό, έτσι ώστε οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα το πολύ μικρό κ-ου βαθμούς, αποδείχθηκε τελικά από τον D. Gilbert (1862–1943) το 1909.

Η γεωμετρία των αριθμών.

ΣΕ σε γενικές γραμμέςμπορεί να ειπωθεί ότι η γεωμετρία των αριθμών περιλαμβάνει όλες τις εφαρμογές των γεωμετρικών εννοιών και μεθόδων σε προβλήματα θεωρητικών αριθμών. Ξεχωριστές σκέψεις αυτού του είδους εμφανίστηκαν τον 19ο αιώνα. στα έργα των Gauss, P. Dirichlet, Sh. Hermite και G. Minkowski, στα οποία οι γεωμετρικές ερμηνείες τους χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση κάποιων ανισώσεων ή συστημάτων ανισώσεων σε ακέραιους αριθμούς. Ο Minkowski (1864–1909) συστηματοποίησε και ενοποίησε όλα όσα είχαν γίνει σε αυτόν τον τομέα πριν από αυτόν και βρήκε σημαντικές νέες εφαρμογές, ειδικά στη θεωρία των γραμμικών και τετραγωνικών μορφών. Θεώρησε nάγνωστο ως συντεταγμένες σε n-διαστατικός χώρος. Το σύνολο των σημείων με ακέραιες συντεταγμένες ονομάζεται πλέγμα. Όλα τα σημεία με συντεταγμένες που ικανοποιούν τις απαιτούμενες ανισότητες ερμηνεύτηκαν από τον Minkowski ως το εσωτερικό κάποιου "σώματος" και το καθήκον ήταν να προσδιοριστεί εάν το δεδομένο σώμα περιείχε σημεία πλέγματος. Το θεμελιώδες θεώρημα του Minkowski δηλώνει ότι εάν ένα σώμα είναι κυρτό και συμμετρικό ως προς την αρχή, τότε περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο πλέγματος διαφορετικό από την αρχή, με την προϋπόθεση ότι n-διαστατικός όγκος του σώματος (στο n= 2 είναι το εμβαδόν) είναι μεγαλύτερο από 2 n.

Πολλά ερωτήματα οδηγούν φυσικά στη θεωρία των κυρτών σωμάτων και είναι αυτή η θεωρία που ο Minkowski ανέπτυξε πληρέστερα. Στη συνέχεια επικράτησε και πάλι στασιμότητα για μεγάλο χρονικό διάστημα, αλλά από το 1940, κυρίως λόγω της εργασίας των Βρετανών μαθηματικών, σημειώθηκε πρόοδος στην ανάπτυξη της θεωρίας των μη κυρτών στερεών.

Διοφαντικές προσεγγίσεις.

Αυτός ο όρος εισήχθη από τον Minkowski για να περιγράψει προβλήματα στα οποία κάποια έκφραση μεταβλητής πρέπει να γίνει όσο το δυνατόν μικρότερη όταν η μεταβλητή λαμβάνει ακέραιες τιμές που δεν υπερβαίνουν κάποιο μεγάλο αριθμό. Ν. Επί του παρόντος, ο όρος "Διοφαντικές προσεγγίσεις" χρησιμοποιείται σε περισσότερα ευρεία έννοιαγια να δηλώσετε έναν αριθμό προβλημάτων θεωρίας αριθμών στα οποία παρουσιάζονται ένα ή περισσότερα δεδομένα ir ρητοί αριθμοί. (Ένας άρρητος αριθμός είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως λόγος δύο ακεραίων.) Σχεδόν όλα αυτά τα προβλήματα προέκυψαν από την ακόλουθη θεμελιώδη ερώτηση: αν δοθεί κάποιος άρρητος αριθμός q, τότε ποιες είναι οι καλύτερες ορθολογικές προσεγγίσεις σε αυτό και πόσο καλά το προσεγγίζουν; Φυσικά, αν χρησιμοποιήσουμε αρκετά σύνθετους ρητικούς αριθμούς, τότε ο αριθμός qμπορεί να προσεγγιστεί αυθαίρετα με ακρίβεια. Επομένως, η ερώτηση έχει νόημα μόνο εάν η ακρίβεια της προσέγγισης συγκριθεί με την τιμή του αριθμητή ή του παρονομαστή του κατά προσέγγιση αριθμού. Για παράδειγμα, το 22/7 είναι μια καλή προσέγγιση του αριθμού Πμε την έννοια ότι από όλους τους ρητούς αριθμούς με παρονομαστή το 7, το κλάσμα 22/7 είναι πιο κοντά στον αριθμό Π. Τέτοιες καλές προσεγγίσεις μπορούν πάντα να βρεθούν επεκτείνοντας τον αριθμό qσε συνεχόμενο κλάσμα. Τέτοιες επεκτάσεις, κάπως παρόμοιες με τις δεκαδικές επεκτάσεις, χρησιμεύουν ως ισχυρό εργαλείο έρευνας σύγχρονη θεωρίααριθμοί. Με τη βοήθειά τους, για παράδειγμα, είναι εύκολο να επαληθευτεί αυτό για κάθε παράλογο αριθμό qυπάρχουν άπειρα κλάσματα y/Χ, έτσι ώστε το σφάλμα | q – y/Χ| λιγότερο από 1/ Χ 2 .

Αριθμός σιπου ονομάζεται αλγεβρικός, αν ικανοποιεί κάποια αλγεβρική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές ένα 0 b n + ένα 1 b n – 1 +... + a n= 0. Διαφορετικά, ο αριθμός σιπου ονομάζεται υπερβατικό. Όσα λίγα είναι γνωστά για τους υπερβατικούς αριθμούς έχουν ληφθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των προσεγγίσεων Διοφαντών. Οι αποδείξεις συνήθως καταλήγουν στην εύρεση ιδιοτήτων προσέγγισης υπερβατικών αριθμών που δεν έχουν οι αλγεβρικοί αριθμοί. Παράδειγμα αποτελεί το θεώρημα του J. Liouville (1844), σύμφωνα με το οποίο ο αριθμός σιείναι υπερβατικό εάν για έναν αυθαίρετα μεγάλο εκθέτη nυπάρχει ένα κλάσμα y/Χ, έτσι ώστε 0 b - y/Χ| x n . Αναπτύσσοντας τις ιδέες του Hermite, ο F. Lindemann το 1882 απέδειξε ότι ο αριθμός Πυπερβατικά, και έτσι έδωσε την τελική (αρνητική) απάντηση στο ερώτημα που έθεσαν οι αρχαίοι Έλληνες: είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο ίσο σε εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο με τη βοήθεια μιας πυξίδας και ενός χάρακα; Το 1934, ο A.O. Gelfond (1906–1968) και ο T. Schneider (γεν. 1911) απέδειξαν ανεξάρτητα ότι αν ένας αλγεβρικός αριθμός ένα, εκτός από το 0 ή το 1, αύξηση σε μια παράλογη αλγεβρική ισχύ σι, τότε ο αριθμός που προκύπτει α βυπερβατικός. Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι υπερβατικός. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για επ(τιμή έκφρασης Εγώ –2Εγώ).

Αναλυτική θεωρία αριθμών.

Η μαθηματική ανάλυση μπορεί να ονομαστεί μαθηματικά των συνεχώς μεταβαλλόμενων μεγεθών. Ως εκ τούτου, με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται παράξενο ότι τέτοια μαθηματικά μπορούν να είναι χρήσιμα στην επίλυση προβλημάτων καθαρά θεωρητικών αριθμών. Ο πρώτος που άρχισε να χρησιμοποιεί συστηματικά πολύ ισχυρές αναλυτικές μεθόδους στην αριθμητική ήταν ο P. Dirichlet (1805–1859). Βασισμένο στις ιδιότητες της "σειράς Dirichlet"

θεωρούνται ως συναρτήσεις μιας μεταβλητής μικρό, έδειξε ότι αν gcd ( ένα,Μ) = 1, τότε υπάρχουν άπειροι πρώτοι της φόρμας Π є ένα(τροπ Μ) (άρα, υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής 4 κ+ 1, καθώς και άπειροι πρώτοι της μορφής 4 κ+ 3). Μια ειδική περίπτωση της σειράς Dirichlet 1 + 2 - μικρό + 3 –μικρό+... ονομάζεται συνάρτηση ζήτα Riemann z (μικρό) προς τιμήν του B. Riemann (1826–1866), ο οποίος μελέτησε τις ιδιοκτησίες του υπό συγκρότημα μικρόνα αναλύσει την κατανομή των πρώτων αριθμών. Η εργασία έχει ως εξής: αν Π (Χ) δηλώνει τον αριθμό των πρώτων που δεν υπερβαίνει Χπόσο μεγάλη είναι η αξία Π (Χ) στο μεγάλες αξίες Χ? Το 1798 ο A. Legendre πρότεινε ότι η αναλογία Π(Χ) Προς την Χ/κούτσουρο Χ(όπου ο λογάριθμος μεταφέρεται στη βάση μι) είναι περίπου ίσο με 1 και με αύξηση Χτείνει στο 1. Μερικό αποτέλεσμα ελήφθη το 1851 από τον P.L. "το θεώρημα των πρώτων αριθμών", αποδείχθηκε μόλις το 1896 χρησιμοποιώντας μεθόδους που βασίζονται στο έργο του Riemann (ανεξάρτητα από τους J. Hadamard και Ch. de la Vallée Poussin). Τον 20ο αιώνα Πολλά έχουν γίνει στον τομέα της αναλυτικής θεωρίας αριθμών, αλλά πολλές φαινομενικά εύκολες ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ακόμη αναπάντητα. Για παράδειγμα, είναι ακόμα άγνωστο αν υπάρχουν άπειρα πολλά «ζευγάρια πρώτων», δηλ. ζεύγη διαδοχικών πρώτων αριθμών, όπως το 101 και το 103. Υπάρχει μια άλλη αναπόδεικτη ακόμη υπόθεση Riemann, αυτή αφορά μιγαδικοί αριθμοί, που είναι μηδενικά της συνάρτησης ζήτα, και κατέχει τόσο σημαντική θέση στην όλη θεωρία που πολλά αποδεδειγμένα και δημοσιευμένα θεωρήματα περιέχουν τις λέξεις «Αν η υπόθεση Riemann είναι αληθινή, τότε ...».

Αναλυτικές μέθοδοιχρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρία προσθετικών αριθμών, που ασχολείται με αναπαραστάσεις αριθμών με τη μορφή αθροισμάτων ενός συγκεκριμένου τύπου. Οι αναλυτικές μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν ουσιαστικά από τον Hilbert στη λύση του προβλήματος του Waring, το οποίο αναφέρθηκε παραπάνω. Προσπάθειες να δοθεί ποσοτικός χαρακτήρας στο θεώρημα του Hilbert μέσω μιας εκτίμησης του αριθμού κ-οι δυνάμεις που είναι απαραίτητες για την αντιπροσώπευση όλων των ακεραίων, οδήγησαν στις δεκαετίες του 1920 και του 1930 οι G. Hardy και J. Littlewood να δημιουργήσουν κυκλική μέθοδος, βελτιώθηκε περαιτέρω από τον I.M. Vinogradov (1891–1983). Αυτές οι μέθοδοι έχουν βρει εφαρμογή στην προσθετική θεωρία των πρώτων αριθμών, για παράδειγμα, στην απόδειξη του θεωρήματος του Vinogradov ότι κάθε αρκετά μεγάλο περιττός αριθμόςαναπαραστάσιμο ως το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών.

Αλγεβρική θεωρία αριθμών.

Για να αποδειχθεί ο νόμος της αμοιβαιότητας της τέταρτης δύναμης (ανάλογος με τον τετραγωνικό νόμο της αμοιβαιότητας για τη σχέση Χ 4 є q(τροπ Π)), ο Gauss το 1828 ερεύνησε την αριθμητική των μιγαδικών αριθμών ένα + δις, Οπου έναΚαι σιείναι συνηθισμένοι ακέραιοι αριθμοί και . Η διαιρετότητα, οι "μονάδες", οι πρώτοι αριθμοί και το GCD για τους "Gaussian αριθμούς" ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως για τους συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς και διατηρείται επίσης το θεώρημα για τη μοναδικότητα της αποσύνθεσης σε πρώτους αριθμούς. Προσπαθώντας να αποδείξουμε το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ότι η εξίσωση x n + y n = z nδεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς για n> 2), ο E. Kummer το 1851 μεταπήδησε στη μελέτη της αριθμητικής των ακεραίων γενικού τύπουκαθορίζεται χρησιμοποιώντας τις ρίζες της ενότητας. Αρχικά, ο Kummer πίστευε ότι είχε καταφέρει να βρει μια απόδειξη του θεωρήματος του Fermat, αλλά έκανε λάθος, επειδή, σε αντίθεση με την αφελή διαίσθηση, το θεώρημα της παραγοντοποίησης των πρώτων δεν ισχύει για τέτοιους αριθμούς. Το 1879 ο R. Dedekind εισήγαγε γενική έννοια αλγεβρικός ακέραιος αριθμός, δηλ. ένας αλγεβρικός αριθμός που ικανοποιεί μια αλγεβρική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές και τον συντελεστή ένα 0 με τον υψηλότερο όρο ίσο με 1. Για να ληφθεί ένα ορισμένο σύνολο αλγεβρικών ακεραίων, παρόμοιο με το σύνολο των συνηθισμένων ακεραίων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη μόνο αυτοί οι αλγεβρικοί ακέραιοι αριθμοί που ανήκουν σε ένα σταθερό πεδίο αλγεβρικών αριθμών. Αυτό είναι το σύνολο όλων των αριθμών που μπορούν να ληφθούν από ορισμένους δεδομένου αριθμούκαι ορθολογικούς αριθμούς μέσω επαναλαμβανόμενης εφαρμογής πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. το πεδίο των αλγεβρικών αριθμών είναι ανάλογο με το σύνολο των ρητών αριθμών. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι από το δεδομένο πεδίο, με τη σειρά τους, υποδιαιρούνται σε «μονάδες», πρώτους και σύνθετους αριθμούς, αλλά στη γενική περίπτωση για δύο τέτοιους αριθμούς δεν υπάρχει μοναδικά καθορισμένο GCD και το θεώρημα για τη μοναδικότητα της αποσύνθεσης σε πρώτους παράγοντες δεν Κρατήστε. Τα απλούστερα παραδείγματα αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων, εκτός από το σύνολο των ρητών αριθμών, είναι αλγεβρικά αριθμητικά πεδία που ορίζονται από αλγεβρικούς αριθμούς βαθμού 2, δηλ. παράλογα νούμερα ικανοποιητικά τετραγωνικές εξισώσειςμε ορθολογικούς συντελεστές. Τέτοια πεδία ονομάζονται πεδία τετραγωνικών αριθμών.

Ο Kummer κατέχει τη θεμελιώδη ιδέα της εισαγωγής νέων λεγόμενων. ιδανικοί αριθμοί (1847), επιλεγμένοι με τέτοιο τρόπο ώστε το θεώρημα για τη μοναδικότητα της παραγοντοποίησης πρώτων να ικανοποιείται και πάλι στο εκτεταμένο σύνολο. Για τον ίδιο σκοπό, ο Dedekind το 1870 εισήγαγε μια ελαφρώς διαφορετική έννοια των ιδανικών και ο Kronecker το 1882 εισήγαγε μια μέθοδο για την αποσύνθεση ενός πολυωνύμου με λογικούς συντελεστές σε μη αναγώγιμους παράγοντες στο πεδίο των ρητών αριθμών. Το έργο αυτών των τριών μαθηματικών όχι μόνο έθεσε τις βάσεις για την αριθμητική θεωρία των αλγεβρικών αριθμών, αλλά σηματοδότησε επίσης την αρχή της σύγχρονης αφηρημένης άλγεβρας.

Το ερώτημα εάν ένα δεδομένο πεδίο έχει μια μοναδική παραγοντοποίηση του πρώτου είναι πολύ δύσκολο. Η κατάσταση είναι ξεκάθαρη μόνο σε μία περίπτωση: υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός τετραγωνικών πεδίων με αυτήν την ιδιότητα και όλα αυτά τα πεδία, με εξαίρεση μια αμφίβολη περίπτωση, είναι πολύ γνωστά. Με τις «μονάδες» του πεδίου, η κατάσταση είναι απλούστερη: όπως έδειξε ο Dirichlet, όλες οι «μονάδες» (οι οποίες, γενικά μιλώντας, είναι άπειρες πολλές) μπορούν να αναπαρασταθούν ως προϊόντα δυνάμεων κάποιου πεπερασμένου συνόλου «μονάδων». Η εξέταση τέτοιων προβλημάτων σε σχέση με κάποιο συγκεκριμένο πεδίο αναγκαστικά προηγείται βαθύτερων αριθμητικών μελετών σε αυτό το πεδίο και εφαρμογών σε προβλήματα της κλασικής θεωρίας αριθμών. Υπάρχει μια άλλη, πιο λεπτή θεωρία, που ξεκίνησε το 1894 από τον Hilbert, η οποία εξετάζει ταυτόχρονα όλα τα αριθμητικά πεδία που έχουν ορισμένες ιδιότητες. Ονομάζεται «η θεωρία των ταξικών πεδίων» και ανήκει στους πιο τεχνικά αυστηρούς κλάδους των μαθηματικών. Σημαντική συμβολή στην ανάπτυξή του είχαν οι F. Furtwängler το 1902 και T. Takagi το 1920. τα τελευταία χρόνιαυπάρχει σημαντική δραστηριότητα σε αυτόν τον τομέα των μαθηματικών.

Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί του όρου «θεωρία αριθμών». Ένας από αυτούς λέει ότι πρόκειται για έναν ειδικό κλάδο των μαθηματικών (ή ανώτερης αριθμητικής), που μελετά λεπτομερώς ακέραιους αριθμούς και αντικείμενα παρόμοια με αυτούς.

Ένας άλλος ορισμός διευκρινίζει ότι αυτός ο κλάδος των μαθηματικών μελετά τις ιδιότητες των αριθμών και τη συμπεριφορά τους διαφορετικές καταστάσεις.

Μερικοί μελετητές πιστεύουν ότι η θεωρία είναι τόσο μεγάλη που πρέπει να τη δώσει ακριβής ορισμόςαδύνατο, αλλά αρκεί να το χωρίσουμε σε αρκετές λιγότερο ογκώδεις θεωρίες.

Δεν είναι δυνατόν να διαπιστωθεί με αξιοπιστία πότε γεννήθηκε η θεωρία των αριθμών. Ωστόσο, έχει διαπιστωθεί με βεβαιότητα ότι σήμερα το παλαιότερο, αλλά όχι το μοναδικό έγγραφο που δείχνει το ενδιαφέρον των αρχαίων για τη θεωρία των αριθμών, είναι ένα μικρό θραύσμα πήλινης πλάκας του 1800 π.Χ. Περιέχει μια ολόκληρη σειρά από τα λεγόμενα Πυθαγόρεια τρίδυμα (φυσικοί αριθμοί), πολλά από τα οποία αποτελούνται από πέντε ζώδια. Μεγάλο ποσότέτοια τρίδυμα αποκλείει τη μηχανική επιλογή τους. Αυτό δείχνει ότι το ενδιαφέρον για τη θεωρία αριθμών προέκυψε, προφανώς, πολύ νωρίτερα από ό,τι υπέθεταν αρχικά οι επιστήμονες.

Τα πιο εξέχοντα πρόσωπα στην ανάπτυξη της θεωρίας είναι οι Πυθαγόρειοι Ευκλείδης και Διόφαντος, οι Ινδοί Ariabhata, Brahmagupta και Bhaskara που έζησαν στο Μεσαίωνα, και ακόμη αργότερα - Fermat, Euler, Lagrange.

Στις αρχές του εικοστού αιώνα, η θεωρία αριθμών τράβηξε την προσοχή μαθηματικών ιδιοφυιών όπως οι A. N. Korkin, E. I. Zolotarev, B. N. Delaunay, D. K. Faddeev, I. M. Vinogradov, G. Weil, A. Selberg.

Αναπτύσσοντας και εμβαθύνοντας τους υπολογισμούς και την έρευνα των αρχαίων μαθηματικών, έφεραν τη θεωρία σε μια νέα, πολύ περισσότερο υψηλό επίπεδοκαλύπτοντας πολλές περιοχές. Η βαθιά έρευνα και η αναζήτηση νέων στοιχείων οδήγησαν στην ανακάλυψη νέων προβλημάτων, μερικά από τα οποία δεν έχουν μελετηθεί μέχρι στιγμής. Παραμείνετε ανοιχτοί: Η υπόθεση του Artin για το άπειρο του συνόλου των πρώτων, το ερώτημα του άπειρου του αριθμού των πρώτων, πολλές άλλες θεωρίες.

Σήμερα, τα κύρια συστατικά στα οποία χωρίζεται η θεωρία αριθμών είναι οι θεωρίες: στοιχειώδεις, μεγάλοι αριθμοί, τυχαίοι αριθμοί, αναλυτικές, αλγεβρικές.

Η στοιχειώδης θεωρία αριθμών ασχολείται με τη μελέτη των ακεραίων χωρίς να αντλεί από μεθόδους και έννοιες από άλλους κλάδους των μαθηματικών. μικρό - αυτές είναι οι πιο κοινές έννοιες που είναι γνωστές ακόμη και σε μαθητές από αυτή τη θεωρία.

Η θεωρία των μεγάλων αριθμών (ή ο νόμος των μεγάλων αριθμών) είναι μια υποενότητα της θεωρίας πιθανοτήτων που προσπαθεί να αποδείξει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος (με άλλα λόγια, ο εμπειρικός μέσος) ενός μεγάλου δείγματος προσεγγίζει μαθηματική προσδοκία(ονομάζεται επίσης θεωρητικός μέσος όρος) αυτού του δείγματος, υποθέτοντας μια σταθερή κατανομή.

Η θεωρία των τυχαίων αριθμών, διαιρώντας όλα τα γεγονότα σε αβέβαια, ντετερμινιστικά και τυχαία, προσπαθεί να προσδιορίσει την πιθανότητα σύνθετων γεγονότων με την πιθανότητα απλών γεγονότων. Αυτή η ενότητα περιλαμβάνει ιδιότητες και το θεώρημα πολλαπλασιασμού τους, το θεώρημα της υπόθεσης (συχνά ονομάζεται τύπος Bayes) κ.λπ.

Η αναλυτική θεωρία αριθμών, όπως υποδηλώνει το όνομά της, χρησιμοποιεί μεθόδους και τεχνικές για τη μελέτη μαθηματικών μεγεθών και αριθμητικών ιδιοτήτων.Μία από τις κύριες κατευθύνσεις αυτής της θεωρίας είναι η απόδειξη ενός θεωρήματος (με χρήση μιγαδικής ανάλυσης) για την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Η αλγεβρική θεωρία αριθμών λειτουργεί απευθείας με αριθμούς, τα ανάλογα τους (για παράδειγμα, αλγεβρικούς αριθμούς), μελετά τη θεωρία των διαιρετών, την ομαδική συνομολογία, τις συναρτήσεις Dirichlet κ.λπ.

Απόπειρες αιώνων να αποδειχθεί το θεώρημα του Φερμά οδήγησαν στην εμφάνιση και ανάπτυξη αυτής της θεωρίας.

Μέχρι τον 20ο αιώνα, η θεωρία αριθμών θεωρούνταν μια αφηρημένη επιστήμη, «καθαρή τέχνη από τα μαθηματικά», που δεν είχε καμία απολύτως πρακτική ή χρηστική εφαρμογή. Σήμερα, οι υπολογισμοί της χρησιμοποιούνται σε κρυπτογραφικά πρωτόκολλα, κατά τον υπολογισμό των τροχιών των δορυφόρων και των διαστημικών ανιχνευτών και στον προγραμματισμό. Οικονομία, χρηματοοικονομικά, πληροφορική, γεωλογία - όλες αυτές οι επιστήμες είναι αδύνατες σήμερα χωρίς τη θεωρία αριθμών.

Ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των ακεραίων και των ιδιοτήτων τους ονομάζεται θεωρία αριθμών ή ανώτερη αριθμητική.

Μεταξύ των ακεραίων, ιδιαίτερη θέση κατέχουν οι φυσικοί αριθμοί, οι οποίοι μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: πρώτους και σύνθετους. Η πρώτη τάξη περιλαμβάνει αριθμούς που έχουν δύο αριθμούς ως διαιρέτες τους: έναν και τον εαυτό του. Όλοι οι άλλοι αριθμοί ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία.

Οι πρώτοι αριθμοί, οι ιδιότητές τους και η σύνδεσή τους με όλους τους φυσικούς αριθμούς μελετήθηκαν από τον Ευκλείδη (3ος αιώνας π.Χ.). Πίστευε ότι οποιοσδήποτε αριθμός της φυσικής σειράς μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Στα Στοιχεία, ο Ευκλείδης υπέδειξε μια μέθοδο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) δύο αριθμών, η συνέπεια της οποίας είναι το θεώρημα για τη μοναδική παραγοντοποίηση των φυσικών αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Σχετική με την έννοια του ελάχιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών είναι η έννοια του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τους (LCM).

Η θεωρία αριθμών περιλαμβάνει επίσης το ζήτημα των λύσεων ακεραίων διάφορα είδηεξισώσεις. Διοφαντική εξίσωση της μορφής aX + bY = c , όπου a,b,c είναι ακέραιοι, X και Y - άγνωστους αριθμούς, είναι η απλούστερη εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς. Αν το c διαιρείται με το gcd(a,b) , τότε η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, βρίσκεται μια λύση της εξίσωσης aX + bY = 1, από την οποία στη συνέχεια προκύπτουν όλες οι λύσεις της εξίσωσης Διοφαντίνης. Αν το c δεν διαιρείται με το gcd(a, b) , τότε η αρχική εξίσωση δεν έχει λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Μια άλλη ακέραια εξίσωση είναι η εξίσωση X 2 +Y 2 =Z 2 (Πυθαγόρεια εξίσωση). Οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί γνώριζαν ότι είχε άπειρο αριθμό λύσεων και ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος (περίπου το 250 μ.Χ.) περιέγραψε έναν τρόπο να βρεθούν όλες οι λύσεις σε μια δεδομένη εξίσωση.

Μεγάλη συνεισφορά στην ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών είχε ο Pierre Fermat (1601-1665), ο οποίος κατέχει ανακαλύψεις που σχετίζονται με τη θεωρία της διαιρετότητας των ακεραίων και τη θεωρία των Διοφαντικών εξισώσεων. Διατύπωσε τη δήλωση για το «αδύνατον» - το Μεγάλο Θεώρημα του Φερμά, απέδειξε το Μικρό Θεώρημα του Φερμά, το οποίο αργότερα γενικεύτηκε από τον Λ. Όιλερ. Τον Φεβρουάριο του 1657 ο Fermat πρότεινε να βρει γενικός κανόναςλύση της εξίσωσης Pell ax 2 + 1 = y 2 σε ακέραιους αριθμούς. Η λύση αυτής της εξίσωσης για το a = 2 περιγράφηκε από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία και η πλήρης λύση βρέθηκε από τον Όιλερ το 1759.

Τον 18ο αιώνα, ο L. Euler (1707-1783) ήταν ο πρώτος μαθηματικός που δημιούργησε κοινές μεθόδουςκαι να εφαρμόσουν άλλους κλάδους των μαθηματικών στην επίλυση προβλημάτων στη θεωρία αριθμών. Η εφαρμογή μεθόδων μαθηματικής ανάλυσης έθεσε τα θεμέλια για αναλυτική θεωρία αριθμών, στο οποίο σημαντική θέση κατέχουν οι μέθοδοι των τριγωνομετρικών αθροισμάτων, που καθιστούν δυνατή την εκτίμηση του αριθμού των λύσεων εξισώσεων ή συστημάτων εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς.

Στην αναλυτική θεωρία αριθμών χρησιμοποιείται επίσης σύνθετη ανάλυσηνα αποδείξει το θεώρημα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Ωστόσο, το ερώτημα παραμένει ανοιχτό εάν υπάρχουν άπειρα ζεύγη «απλών διδύμων», δηλαδή πρώτοι αριθμοί η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι ίση με δύο, για παράδειγμα, 17 και 19 ή 101 και 103.

Οι αναλυτικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται ευρέως σε αθροιστική θεωρία αριθμών, το οποίο μελετά την αποσύνθεση των φυσικών αριθμών σε όρους συγκεκριμένου τύπου: αναπαράσταση ενός αριθμού ως άθροισμα πρώτων αριθμών, το άθροισμα δύο τετραγώνων (τα θέματα αυτά αναφέρθηκαν προηγουμένως) κ.λπ., αναπαράσταση με τη μορφή τεσσάρων τετραγώνων, εννέα κύβοι κ.λπ. Σχετίζεται επίσης με αυτό το τμήμα της θεωρίας αριθμών το πρόβλημα του Waring να αναπαραστήσει τον αριθμό N ως άθροισμα k όρων, καθένας από τους οποίους είναι ένας n βαθμός φυσικός αριθμός, δηλαδή N = a 1 n + ... + a k n , όπου το k εξαρτάται μόνο από το n .

Αλγεβρική θεωρία αριθμώνδιευρύνει την έννοια του αριθμού. Εδώ θεωρούμε αλγεβρικούς ακέραιους αριθμούς, ρίζες πολυωνύμων με ορθολογικούς συντελεστές και τον υψηλότερο όρο ίσο με ένα.

Θεωρία στοιχειωδών αριθμώνμελετά ακέραιους αριθμούς χωρίς να χρησιμοποιεί τις μεθόδους άλλων ενοτήτων των μαθηματικών. Εδώ εξετάζονται ζητήματα όπως η διαιρετότητα των ακεραίων, οι αριθμοί Fibonacci, η κατασκευή μαγικών τετραγώνων, ο αλγόριθμος για την εύρεση του λιγότερου κοινού διαιρέτη και του μεγαλύτερου κοινού πολλαπλάσιου, το μικρό θεώρημα του Fermat.

Πολλά ερωτήματα της θεωρίας αριθμών είναι εύκολο να διατυπωθούν, αλλά δύσκολο να αποδειχθούν, και ορισμένα ερωτήματα παραμένουν ανοιχτά, για παράδειγμα, δεν έχει βρεθεί ακόμη ένας τύπος από τον οποίο προέρχονται όλοι οι πρώτοι αριθμοί. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, που διατυπώθηκε το 1637, παρέμεινε αναπόδεικτο για περισσότερους από 3 αιώνες και αποδείχθηκε από την Ουαλία το 1995.

Ονομα:Θεωρία αριθμών. 2008.

Η βάση του σχολικού βιβλίου είναι τα αποτελέσματα της στοιχειώδους θεωρίας των αριθμών, η οποία διαμορφώθηκε στα έργα των κλασικών - Fermat, Euler, Gauss κ.λπ. Θέματα όπως πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί, αριθμητικές συναρτήσεις, θεωρία συγκρίσεων, πρωτόγονες λαμβάνονται υπόψη οι ρίζες και οι δείκτες, τα συνεχόμενα κλάσματα, οι αλγεβρικοί και οι υπερβατικοί αριθμοί. Ανασκοπούνται οι ιδιότητες των πρώτων αριθμών, η θεωρία των Διοφαντικών εξισώσεων, οι αλγοριθμικές πτυχές της θεωρίας αριθμών με εφαρμογές στην κρυπτογραφία (έλεγχος μεγάλων πρώτων αριθμών για απλότητα, παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών, διακριτός λογάριθμος) και χρήση υπολογιστών.
Για φοιτητές πανεπιστημίου.

Το αντικείμενο μελέτης της θεωρίας αριθμών είναι οι αριθμοί και οι ιδιότητές τους, δηλαδή οι αριθμοί δεν λειτουργούν εδώ ως μέσο ή εργαλείο, αλλά ως αντικείμενο μελέτης. φυσική σειρά
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
- το σύνολο των φυσικών αριθμών - είναι ο πιο σημαντικός τομέας έρευνας, εξαιρετικά κατατοπιστικός, σημαντικός και ενδιαφέρον.
Η μελέτη των φυσικών αριθμών ξεκίνησε το Αρχαία Ελλάδα. Ο Ευκλείδης και ο Ερατοσθένης ανακάλυψαν τις ιδιότητες της διαιρετότητας των αριθμών, απέδειξαν το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθμών και βρήκαν τρόπους να τους κατασκευάσουν. Προβλήματα που σχετίζονται με τη λύση αόριστων εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς αποτέλεσαν αντικείμενο έρευνας του Διόφαντου, αλλά και των επιστημόνων αρχαία Ινδίακαι την Αρχαία Κίνα, τις χώρες της Κεντρικής Ασίας.

Πίνακας περιεχομένων
Εισαγωγή
Κεφάλαιο 1
1.1. Διαιρετότητα Ιδιότητες ακεραίων
1.2. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης
1.3. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη
1.4. Λύση σε ακέραιους αριθμούς γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 2
2.1. Απλοί αριθμοί. Κόσκινο του Ερατοσθένη. Το άπειρο των πρώτων αριθμών
2.2. Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής
2.3. Τα θεωρήματα του Chebyshev
2.4. Συνάρτηση ζήτα Riemann και ιδιότητες πρώτων αριθμών
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 3 Αριθμητικές συναρτήσεις
3.1. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους
3.2. Συναρτήσεις Möbius και τύποι αντιστροφής
3.3. Λειτουργία Euler
3.4. Το άθροισμα των διαιρετών και του αριθμού των διαιρετών ενός φυσικού αριθμού
3.5. Εκτιμήσεις της μέσης τιμής των αριθμητικών συναρτήσεων
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 4
4.1. Συγκρίσεις και οι κύριες ιδιότητές τους
4.2. Μαθήματα έκπτωσης. Τάξεις Ring of Residue by αυτή η ενότητα
4.3. Πλήρη και μειωμένα συστήματα εκπτώσεων
4.4. Θεώρημα Wilson
4.5. Θεωρήματα Euler και Fermat
4.6. Αναπαράσταση ρητών αριθμών ως άπειρων δεκαδικά
4.7. Δοκιμή πρωταρχικότητας και κατασκευή μεγάλων πρώτων
4.8. Παραγοντοποίηση ακεραίων και κρυπτογραφικών εφαρμογών
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 5
5.1 Βασικοί ορισμοί
5.2 Συγκρίσεις πρώτου βαθμού
5.3 Θεώρημα κινεζικού υπολοίπου
5.4. Πολυωνυμικές συγκρίσεις modulo prime
5.5. Πολυωνυμικές συγκρίσεις modulo compositeΠροβλήματα για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 6
6.1. Συγκρίσεις δεύτερου βαθμού modulo prime
6.2. Το σύμβολο του Legendre και οι ιδιότητές του
6.3. Τετραγωνικός νόμος της αμοιβαιότητας
6.4 Το σύμβολο Jacobi και οι ιδιότητές του
6.5 Αθροίσματα δύο και τεσσάρων τετραγώνων
6.6. Αναπαράσταση του μηδενός με τετραγωνικές μορφές σε τρεις μεταβλητές
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 7
7.1. Αριθμός εκθέτης modulo ένα δεδομένο
7.2. Ύπαρξη πρωτόγονων ριζών modulo prime
7.3. Κατασκευή πρωτόγονων ριζών από τις ενότητες pk και 2pk
7.4. Θεώρημα για την απουσία πρωτόγονων ριζών σε σχέση με ενότητες εκτός των 2, 4, pk και 2pk
7.5. Ευρετήρια και οι ιδιότητες τους
7.6. Διακριτός λογάριθμος
7.7. Δυαδικές συγκρίσεις
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 8
8.1. Το θεώρημα του Dirichlet για την προσέγγιση των πραγματικών αριθμών με τους ορθολογικούς
8.2. Πεπερασμένα συνεχόμενα κλάσματα
8.3. αλυσιδωτή βολή πραγματικός αριθμός
8.4. Καλύτερες προσεγγίσεις
8.5. Ισοδύναμοι αριθμοί
8.6. Τετραγωνικοί παραλογισμοί και συνεχόμενα κλάσματα
8.7. Χρησιμοποιώντας συνεχόμενα κλάσματα για την επίλυση ορισμένων Διοφαντικών εξισώσεων
8.8 Επέκταση του αριθμού e σε συνεχόμενο κλάσμα
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Κεφάλαιο 9
9.1 Πεδίο αλγεβρικών αριθμών
9.2. Προσεγγίσεις αλγεβρικών αριθμών με ορθολογικούς. Ύπαρξη υπερβατικών αριθμών
9.3. Ο παραλογισμός των αριθμών er και n
9.4. Η υπέρβαση του αριθμού e
9.5. Υπέρβαση του αριθμού n
9.6 Αδυναμία τετραγωνισμού κύκλου
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση
Απαντήσεις και οδηγίες
Βιβλιογραφία

ΔΩΡΕΑΝ Λήψη ηλεκτρονικό βιβλίοσε βολική μορφή, παρακολουθήστε και διαβάστε:
Κατεβάστε το βιβλίο Θεωρία Αριθμών - Nesterenko Yu.V. - fileskachat.com, γρήγορη και δωρεάν λήψη.

Κατεβάστε το djvu
Μπορείτε να αγοράσετε αυτό το βιβλίο παρακάτω καλύτερη τιμήμε έκπτωση με παράδοση σε όλη τη Ρωσία.