三角関数。基本的な三角恒等式

この記事では、三角関数の 3 つの基本特性、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについて説明します。

最初の特性は、角度 α が単位円のどの 4 分の 1 に属するかに応じた関数の符号です。 2 番目の特性は周期性です。この性質によれば、角度が整数の回転数だけ変化しても、三角関数の値は変化しません。 3 番目のプロパティは、関数 sin、cos、tg、ctg の値が反対の角度 α および - α でどのように変化するかを決定します。

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数学のテキストや問題の文脈で、「第 1、第 2、第 3、または第 4 座標の角度」というフレーズがよく見つかります。それは何ですか？

単位円に話を戻しましょう。 4つの四半期に分かれています。円上に開始点 A 0 (1, 0) をマークし、点 O を中心に角度 α だけ回転すると、点 A 1 (x, y) に到達します。点Ａ１（ｘ、ｙ）がどの四半期に位置するかに応じて、角度αは、それぞれ、第１、第２、第３、および第４の四半期の角度と呼ばれる。

わかりやすくするために、ここに図を示します。

角度 α = 30° は第 1 四半期にあります。角度 - 210° は 2 番目の 4 分の 1 の角度です。 585°の角度は、第 3 四半期の角度です。角度 - 45° は、第 4 四半期の角度です。

この場合、角度 ± 90 °、± 180 °、± 270 °、± 360 ° は座標軸上にあるため、どの四半期にも属しません。

ここで、角度がどの象限にあるかに応じて、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの符号を考えてみましょう。

サインの符号を四半期ごとに決定するには、定義を思い出してください。正弦は、点 A 1 (x, y) の縦座標です。この図は、第 1 四半期と第 2 四半期ではプラスであり、第 3 四半期と第 4 四半期ではマイナスであることを示しています。

コサインは点 A 1 (x, y) の横座標です。これに従って、円上のコサインの符号を決定します。コサインは、第 1 四半期と第 4 四半期では正で、第 2 四半期と第 3 四半期では負になります。

四半期ごとのタンジェントとコタンジェントの符号を決定するには、これらの三角関数の定義も思い出してください。タンジェントは、点の縦座標と横座標の比です。これは、異なる符号を持つ数値を除算する規則に従って、縦軸と横軸の符号が同じ場合には円周上の接線の符号が正となり、縦軸と横軸の符号が異なる場合には円周上の接線の符号が正になることを意味します。さまざまな兆候- ネガティブ。四半期の余接符号も同様の方法で決定されます。

覚えておくことが重要です!

角度 α の正弦は、第 1 四半期と第 2 四半期にプラス符号があり、第 3 四半期と第 4 四半期にマイナス符号があります。
角度 α の余弦は、第 1 四半期と第 4 四半期にプラスの符号があり、第 2 四半期と第 3 四半期にマイナスの符号が付きます。
角度 α の正接は、第 1 四半期と第 3 四半期ではプラスの符号が付き、第 2 四半期と第 4 四半期ではマイナスの符号が付きます。
角度 α の余接は、第 1 四半期と第 3 四半期にプラスの符号があり、第 2 四半期と第 4 四半期にマイナスの符号が付きます。

周期性特性

周期性の特性は、三角関数の最も明白な特性の 1 つです。

周期性特性

角度が整数の回転数だけ変化しても、指定された角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は変化しません。

実際、角度が整数の回転数だけ変化すると、単位円上の最初の点 A から同じ座標の点 A 1 まで常に到達します。したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は変わりません。

数学的にこの物件は次のように書かれています:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

このプロパティは実際にどのように使用されますか? 周期性プロパティは、換算式と同様に、大きな角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を計算するためによく使用されます。

例を挙げてみましょう。

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

もう一度単位円を見てみましょう。

点 A 1 (x, y) は、初期点 A 0 (1, 0) を円の中心の周りに角度 α だけ回転させた結果です。点 A 2 (x, - y) は、開始点を角度 - α だけ回転させた結果です。

点Ａ１と点Ａ２は横軸に関して対称である。 α＝０°、±１８０°、±３６０°の場合、点Ａ１と点Ａ２は一致する。 1 つの点の座標が (x, y)、2 番目の点の座標が (x, - y) であるとします。サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義を思い出して、次のように書きましょう。

sin α = y 、cos α = x 、t g α = y x 、c t g α = x y sin - α = - y 、cos - α = x 、t g - α = - y x 、c t g - α = x - y

これは、反対角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの特性を意味します。

反対角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの特性

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

この性質によれば、等式は真です

sin - 48 ° = - sin 48 ° 、 c t g π 9 = - c t g - π 9 、 cos 18 ° = cos - 18 °

このプロパティは、三角関数の引数で負の角度記号を取り除く必要がある場合に、実際の問題を解決する際によく使用されます。

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この記事には次の内容が含まれています サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表。まず、三角関数の基本値の表、つまり 0、30、45、60、90、...、360 度の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表を提供します ( 0、π/6、π/4、π/3、π/2、…、2πラジアン）。この後、V. M. Bradis によるサインとコサインの表、およびタンジェントとコタンジェントの表を示し、三角関数の値を求めるときにこれらのテーブルを使用する方法を示します。

ページナビゲーション。

角度 0、30、45、60、90、... 度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表

参考文献。

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バシュマコフ M.I.代数と解析の始まり: 教科書。 10〜11年生向け。平均学校 - 第 3 版 - M.: 教育、1993年。 - 351 ページ: 病気。 - ISBN 5-09-004617-4。
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三角法は、三角関数と幾何学における三角関数の使用を研究する数理科学の分野です。三角法の発展は古代ギリシャに始まりました。中世には、中東とインドの科学者がこの科学の発展に重要な貢献をしました。

この記事では、三角法の基本的な概念と定義について説明します。基本的な三角関数、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義について説明します。それらの意味は、幾何学の文脈で説明され、図示されます。

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当初、角度を引数とする三角関数の定義は直角三角形の辺の比で表現されていました。

三角関数の定義

角度のサイン (sin α) は、この角度の反対側の脚と斜辺の比です。

角度の余弦 (cos α) - 斜辺に対する隣接する脚の比率。

角度正接 (t g α) - 隣接する側に対する反対側の比。

角度コタンジェント (ct g α) - 隣接する辺と反対側の辺の比。

これらの定義は直角三角形の鋭角に対して与えられています。

例を挙げてみましょう。

直角 C を持つ三角形 ABC では、角度 A の正弦は脚 BC と斜辺 AB の比に等しくなります。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義により、三角形の辺の既知の長さからこれらの関数の値を計算できます。

覚えておくことが重要です!

サインとコサインの値の範囲は-1から1です。つまり、サインとコサインは-1から1の値を取ります。タンジェントとコタンジェントの値の範囲は数直線全体であり、つまり、これらの関数は任意の値を取ることができます。

上記の定義は鋭角に適用されます。三角法では、回転角の概念が導入されます。回転角の値は、鋭角とは異なり、0 ～ 90 度に限定されません。度またはラジアン単位の回転角は、- ∞ から + ∞ までの実数で表されます。。

この文脈では、任意の大きさの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを定義できます。デカルト座標系の原点を中心とする単位円を想像してみましょう。

座標 (1, 0) の初期点 A は、単位円の中心の周りを一定の角度 α だけ回転し、点 A 1 に進みます。定義は点 A 1 (x, y) の座標に関して与えられます。

回転角のサイン(sin)

回転角αの正弦は点Ａ１（ｘ，ｙ）の縦座標である。 sin α = y

回転角の余弦(cos)

回転角αの余弦は、点Ａ１（ｘ、ｙ）の横座標である。 cosα = x

回転角の正接(tg)

回転角αの正接は、点Ａ１（ｘ、ｙ）の縦座標とその横座標との比である。 t g α = y x

回転角のコタンジェント(ctg)

回転角αの余接は、点Ａ１（ｘ、ｙ）の横座標とその縦座標との比である。 c t g α = xy

サインとコサインはあらゆる回転角度に対して定義されます。回転後の点の横座標と縦座標は任意の角度で決定できるため、これは論理的です。接線と余接では状況が異なります。回転後の点が横座標がゼロの点 (0, 1) および (0, - 1) に移動する場合、接線は定義されません。このような場合、タンジェント t g α = y x の式は、ゼロによる除算を含むため、単純に意味がありません。コタンジェントでも状況は同様です。違いは、点の縦座標がゼロになる場合にはコタンジェントが定義されないことです。

覚えておくことが重要です!

サインとコサインは任意の角度 α に対して定義されます。

接線は、α = 90° + 180° k、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。

コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。

実践例を解くときは「回転角αのサイン」とは言わないでください。「回転角度」という言葉は単純に省略されており、何が議論されているかが文脈からすでに明らかであることを示唆しています。

数字

回転角度ではなく、数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する場合はどうでしょうか?

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント tは、それぞれ次のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントに等しい数値です。 tラジアン。

たとえば、数値 10 π のサインは、回転角 10 π rad のサインと等しくなります。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。もう少し詳しく見てみましょう。

誰でも実数 t単位円上の点は、直交デカルト座標系の原点の中心に関連付けられます。サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、この点の座標によって決定されます。

円上の始点は、座標 (1, 0) の点 A です。

正数 t

負の数 tは、開始点が円の周りを反時計回りに移動してパス t を通過する場合に到達する点に対応します。

数値と円上の点の関係が確立されたので、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に進みます。

t のサイン (sin)

数値の正弦 t- 数値に対応する単位円上の点の縦座標 t. sin t = y

t の余弦 (cos)

数値の余弦 t- 数値に対応する単位円の点の横座標 t. コスト = x

t の正接 (tg)

数値の正接 t- 数値に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比 t. t g t = y x = sin t コスト t

最新の定義は、この段落の冒頭に示した定義に従っており、矛盾しません。数字に対応する円上の点 t、開始点が角度を変えた後に向かう点と一致します。 tラジアン。

角度および数値引数の三角関数

角度 α の各値は、この角度のサインおよびコサインの特定の値に対応します。 α = 90 ° + 180 ° k 以外のすべての角度 α と同様に、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) は特定の正接値に対応します。上で述べたように、コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての α に対して定義されます。

sin α、cos α、t g α、c t g α は角度アルファの関数、または角度引数の関数であると言えます。

同様に、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても数値引数の関数として説明できます。あらゆる実数 t数値のサインまたはコサインの特定の値に対応します t。 π 2 + π · k、k ∈ Z 以外のすべての数値は正接値に対応します。同様に、コタンジェントは、π · k、k ∈ Z を除くすべての数値に対して定義されます。

三角法の基本関数

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは基本的な三角関数です。

通常、三角関数のどの引数 (角度引数または数値引数) を扱っているかは、文脈から明らかです。

最初に示した定義と、0 ～ 90 度の範囲にあるアルファ角度に戻りましょう。サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの三角関数の定義は、直角三角形のアスペクト比によって与えられる幾何学的な定義と完全に一致しています。それを見せてみましょう。

直交デカルト座標系の中心を持つ単位円を考えてみましょう。始点 A (1, 0) を最大 90 度回転し、その結果の点 A 1 (x, y) から横軸に垂線を引きます。結果として得られる直角三角形では、角度 A 1 O H は回転角 α に等しく、脚の長さ OH は点 A 1 (x, y) の横座標に等しくなります。角度の反対側の足の長さは点 A 1 (x, y) の縦座標に等しく、斜辺の長さは単位円の半径であるため 1 に等しくなります。

幾何学の定義によれば、角度αの正弦は斜辺の反対側の比に等しい。

sin α = A 1 HO A 1 = y 1 = y

これは、アスペクト比を通じて直角三角形の鋭角の正弦を決定することは、回転角 α の正弦を決定することと等価であり、α は 0 ～ 90 度の範囲にあることを意味します。

同様に、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても定義の対応を示すことができます。

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点を中心にあ.
α - ラジアンで表される角度。

意味
サイン（sinα）- これ三角関数、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に応じて、反対側の脚の長さの比 |BC| に等しくなります。斜辺の長さ |AC| まで。

コサイン(cosα)は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、隣接する脚の長さの比 |AB| に等しくなります。斜辺の長さ |AC| まで。

受け入れられる表記法

;
;
.

サイン関数のグラフ、y = sin x

コサイン関数のグラフ、y = cos x

サインとコサインの性質

周期性

関数 y = 罪×そしてy = cosxピリオド付きの定期的 2π.

パリティ

正弦関数は奇数です。コサイン関数は偶数です。

定義と値の領域、極値、増加、減少

サイン関数とコサイン関数は、その定義領域、つまりすべての x について連続です (連続性の証明を参照)。それらの主なプロパティを表に示します (n - 整数)。

	y = 罪×	y = cosx
範囲と継続性	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
値の範囲	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
増加中
降順
マキシマ、y= 1
最小値、y = - 1
ゼロ、y = 0
縦軸との交点、x = 0	y = 0	y = 1

基本的な公式

サインとコサインの二乗和

和と差からサインとコサインを求める公式

;
;

サインとコサインの積の公式

和と差の公式

サインからコサインまでを表現する

;
;
;
.

コサインをサインで表現する

;
;
;
.

接線による表現

; .

の場合、次のようになります。
; .

で：
; .

サインとコサイン、タンジェントとコタンジェントの表

この表は、引数の特定の値に対するサインとコサインの値を示しています。

複雑な変数による式

;

オイラーの公式

双曲線関数による式

;
;

デリバティブ

;

。
{ -∞ < x < +∞ }

数式の導出 > > >

n次微分:

セカント、コセカント

逆関数

サインとコサインの逆関数は、それぞれアークサインとアークコサインです。

逆正弦、逆正弦
逆余弦、アークコス

使用した文献:

で。ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

学生が最も苦労する数学分野の 1 つは三角法です。それは驚くべきことではありません。この分野の知識を自由に習得するには、空間的思考、数式を使用してサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを見つける能力、式を単純化する能力、および数値パイを使用できる能力が必要です。計算。さらに、定理を証明するときに三角法を使用できる必要があり、これには高度な数学的記憶か、複雑な論理連鎖を導き出す能力が必要です。

歴史的に、数学科学のこの分野における主な研究対象は直角三角形でした。 90度の角度の存在により、2つの側面と1つの角度、または2つの角度と1つの側面を使用して、問題の図形のすべてのパラメータの値を決定できるさまざまな操作を実行することができます。かつて、人々はこのパターンに気づき、建物の建設、ナビゲーション、天文学、さらには芸術においても積極的に使用し始めました。

初期

当初、人々は直角三角形の例だけを使って角度と辺の関係について話していました。その後、特別な配合が発見され、用途の範囲を拡大することが可能になりました。日常生活この数学の分野。

今日の学校での三角法の勉強は直角三角形から始まり、その後、学生は物理学で得た知識を使用して抽象的な問題を解決します。三角方程式, 高校生から始まる仕事。

球面三角法

その後、科学が次の発展レベルに達すると、球面幾何学ではサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを含む公式が使用され始めました。球面幾何学では、さまざまなルールが適用され、三角形の角度の合計は常に 180 度を超えます。このセクションは学校では勉強されませんが、地球の表面や他の惑星の表面は凸面であるため、少なくともその存在について知っておく必要があります。つまり、表面の痕跡はすべて 3 つの方向に「円弧状」になることを意味します。 -次元空間。

地球儀と糸を手に取ります。糸を地球上の任意の 2 点にピンと張った状態で取り付けます。円弧の形をしていることに注意してください。球面幾何学はそのような形状を扱い、測地学、天文学、その他の理論および応用分野で使用されます。

直角三角形

三角法の使用方法について少し学んだところで、サイン、コサイン、タンジェントとは何なのか、それらを使ってどのような計算を実行できるのか、どのような公式を使用すればよいのかをさらに理解するために、基本的な三角法の話に戻りましょう。

最初のステップは、次のことに関連する概念を理解することです。直角三角形。まず、斜辺は90度の角度の反対側です。一番長いです。ピタゴラスの定理によれば、その数値は他の 2 つの辺の二乗和の根に等しいことを覚えています。

たとえば、2 つの辺がそれぞれ 3 センチメートルと 4 センチメートルの場合、斜辺の長さは 5 センチメートルになります。ちなみに、古代エジプト人は約45000年前にこのことを知っていました。

直角を形成する残りの 2 つの辺は脚と呼ばれます。さらに、直交座標系における三角形の角度の合計は 180 度に等しいことを覚えておく必要があります。

意味

最後に、幾何学的基礎をしっかりと理解すると、角度のサイン、コサイン、タンジェントの定義に進むことができます。

角度の正弦は、反対側の脚 (つまり、目的の角度の反対側) と斜辺の比です。角度の余弦は、斜辺に対する隣接する辺の比率です。

サインもコサインも 1 を超えることはできないことに注意してください。なぜ？デフォルトでは斜辺が最も長いため、脚がどれだけ長くても、斜辺は斜辺よりも短くなります。つまり、それらの比率は常に 1 より小さくなります。したがって、問題の答えで 1 より大きい値のサインまたはコサインが得られた場合は、計算または推論にエラーがあるかどうかを探してください。この答えは明らかに間違っています。

最後に、角度の正接は、隣接する辺に対する反対側の辺の比率です。サインをコサインで割っても同じ結果が得られます。ご覧ください。公式によれば、辺の長さを斜辺で割った後、2 番目の辺の長さで割って、斜辺を掛けます。したがって、接線の定義と同じ関係が得られます。

したがって、コタンジェントは、コーナーに隣接する辺と反対側の辺の比です。 1 を接線で割っても同じ結果が得られます。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かという定義を確認したので、式に進むことができます。

最も単純な公式

三角法では公式なしではできません。公式なしでサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを求めるにはどうすればよいでしょうか? しかし、これはまさに問題を解決するときに必要なことです。

三角法の勉強を始めるときに知っておく必要がある最初の公式は、角度のサインとコサインの二乗の和は 1 に等しいというものです。この式ははピタゴラスの定理の直接的な結果ですが、辺ではなく角度の大きさを知る必要がある場合は時間を節約できます。

多くの生徒は、学校の問題を解くときによく使われる 2 番目の公式を覚えていません。つまり、1 と角度の正接の 2 乗の和は、1 を角度の余弦の 2 乗で割ったものに等しいです。詳しく見てください。これは最初の式と同じステートメントであり、恒等式の両辺をコサインの 2 乗で割っただけです。単純な数学的演算により、三角関数の公式がまったく認識できなくなることがわかりました。覚えておいてください: サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何か、変換規則、およびいくつかの基本的な公式を知っていれば、必要なさらに多くの式をいつでも独立して導き出すことができます。複雑な数式一枚の紙の上に。

倍角の公式と引数の加算

学習する必要があるさらに 2 つの公式は、角度の和と差のサインとコサインの値に関連しています。それらを以下の図に示します。最初のケースでは、サインとコサインが両方とも乗算され、2 番目のケースでは、サインとコサインのペアの積が加算されることに注意してください。

倍角引数に関連付けられた式もあります。これらは以前のものから完全に派生したものです。練習として、ベータ角度と等しいアルファ角度を取得して、自分でそれらを取得してみてください。

最後に、倍角の公式を再配置して、サイン、コサイン、タンジェントアルファの累乗を減らすことができることに注意してください。

定理

基本的な三角法の 2 つの主要な定理は、サイン定理とコサイン定理です。これらの定理の助けを借りて、サイン、コサイン、タンジェント、つまり図形の面積や各辺のサイズなどを見つける方法を簡単に理解できます。

正弦定理は、三角形の各辺の長さを反対側の角度で割ると同じ数になると述べています。さらに、この数は、外接円、つまり、特定の三角形のすべての点を含む円の 2 つの半径に等しくなります。

コサイン定理はピタゴラスの定理を一般化し、任意の三角形に射影します。 2 つの辺の二乗の合計から、その積に隣接する角度の二重余弦を乗じた値を引くと、結果の値は 3 番目の辺の 2 乗と等しくなることがわかります。したがって、ピタゴラスの定理はコサイン定理の特殊な場合であることがわかります。

不注意なミス

サイン、コサイン、タンジェントが何であるかを知っていても、ぼんやりしていたり、最も単純な計算で間違いが発生したりして、間違いを犯しやすくなります。そのような間違いを避けるために、最も一般的なものを見てみましょう。

まず、最終結果が得られるまでは分数を小数に変換しないでください。答えはそのままにしておいて構いません。公分数条件に別段の記載がない限り。このような変換は間違いとは言えませんが、問題の各段階で新しい根が現れる可能性があり、著者の考えによれば、それを減らす必要があることを覚えておく必要があります。この場合、不必要な作業に時間を浪費することになります数学的演算。これは、3 の根や 2 の根などの値に特に当てはまります。これらの値はすべてのステップの問題で見つかるためです。「醜い」数値の四捨五入についても同様です。

さらに、コサイン定理はどの三角形にも当てはまりますが、ピタゴラスの定理には当てはまらないことに注意してください。辺の積の 2 倍と辺の間の角度の余弦を掛けた値を引くのをうっかり忘れてしまうと、完全に間違った結果が得られるだけでなく、主題を完全に理解していないことを示すことになります。これは不注意なミスよりも悪いです。

第三に、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの角度 30 度と 60 度の値を混同しないでください。 30 度のサインは 60 のコサインに等しく、またその逆も同様であるため、これらの値を覚えておいてください。これらを混同しやすいため、必然的に誤った結果が得られます。

応用

多くの学生は、三角法の実際的な意味を理解していないため、急いで勉強を始めません。エンジニアや天文学者にとって、サイン、コサイン、タンジェントとは何ですか? これらは、遠くの星までの距離を計算したり、隕石の落下を予測したり、調査探査機を別の惑星に送ったりできる概念です。これらがなければ、建物を建てたり、車を設計したり、表面にかかる荷重や物体の軌道を計算したりすることは不可能です。これらは最も明白な例にすぎません。結局のところ、三角法は音楽から医学に至るまで、さまざまな形式であらゆる場所で使用されています。