三角関数 - 三角関数の基本公式。基本的な三角関数の公式と恒等式 sin、cos、tg、ctg。度数を減らす公式とその証明

いくつかの問題を解決するには、三角関数の恒等式の表が役に立ちます。これにより、関数の変換がはるかに簡単になります。

最も単純な三角恒等式

角度αのサインを同じ角度のコサインで割った商は、この角度のタンジェントに等しくなります(式1)。最も単純な三角恒等式の変換の正しさの証明も参照してください。
角度αの余弦を同じ角度の正弦で割った商は、同じ角度の余接に等しい（式2）
角度の正割は、同じ角度の余弦で割ったものに等しい (式 3)
同じ角度のサインとコサインの二乗和は 1 に等しくなります (式 4)。コサインとサインの二乗和の証明も参照してください。
1 と角度のタンジェントの和は、この角度の余弦の 2 乗に対する 1 の比に等しい (式 5)
1 に角度の余接を加えた値は、1 をこの角度の正弦二乗で割った商に等しい (式 6)
同じ角度の正接と余接の積は 1 に等しくなります (式 7)。

三角関数の負の角度（偶数と奇数）の変換

サイン、コサイン、またはタンジェントを計算するときに角度の度単位の負の値を取り除くには、偶数または奇数の三角関数の原理に基づいて、次の三角関数変換 (恒等式) を使用できます。

ご覧のように、余弦そして割線は 偶数関数, サイン、タンジェント、コタンジェントは奇関数です.

負の角度のサインは、同じ正の角度のサインの負の値 (マイナスサインアルファ) に等しくなります。
コサインからアルファを引いた値は、アルファ角度のコサインと同じ値になります。
タンジェントからアルファを引いた値は、タンジェントからアルファを引いた値と等しくなります。

倍角を減らす公式 (倍角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント)

角度を半分に分割する必要がある場合、またはその逆、2 倍の角度から 1 つの角度に移動する必要がある場合は、次の三角恒等式を使用できます。

倍角変換 (2倍角のサイン、2倍角のコサイン、2倍角のタンジェント) 単一の場合は、次の規則に従って発生します。

倍角の正弦単一角度のサインとコサインの積の 2 倍に等しい

2 倍角の余弦単一の角度のコサインの二乗とこの角度のサインの二乗の差に等しい

2 倍角の余弦単一角度の余弦の 2 乗の 2 倍から 1 を引いた値に等しい

2 倍角の余弦 1 から 2 つの正弦の 2 乗を引いた単一の角度に等しい

倍角の正接分子が単一角度の正接の 2 倍であり、分母が 1 から単一角度の正接の 2 乗を引いたものに等しい分数に等しくなります。

倍角の余接分子が単一角度の余接の二乗から 1 を引いた分数に等しく、分母が単一角度の余接の 2 倍に等しい

汎用三角関数置換の公式

以下の変換式は、三角関数の引数 (sin α、cos α、tan α) を 2 で割って、式を角度の半分の値に換算する必要がある場合に役立ちます。 α の値から α/2 が得られます。

これらの式はと呼ばれます 普遍三角関数置換の公式。それらの価値は、元々式に含まれていた三角関数 (sin cos Tan ctg) に関係なく、三角関数の式が角度の 2 分の 1 の接線を表すことに帰着するという事実にあります。この後、正接が半角の方程式を解くのがはるかに簡単になります。

半角変換の三角恒等式

以下は、半角をその整数値に変換する三角関数の公式です。
三角関数α/2の引数の値は、三角関数αの引数の値に減算されます。

角度を加算するための三角関数の公式

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

角度の和の正接と余接アルファとベータは、次の三角関数の変換ルールを使用して変換できます。

角度の和の正接は、分子が最初の角度のタンジェントと 2 番目の角度のタンジェントの合計であり、分母が 1 から最初の角度のタンジェントと 2 番目の角度のタンジェントの積を引いた分数に等しい。

角度差の正接は分数に等しく、その分子は減らされる角度の正接と減算される角度の正接との差に等しく、分母はこれらの角度の正接の積に 1 を加えたものになります。

角度の和の余接は、分子がこれらの角度の余接に 1 を加えた積に等しい分数に等しく、分母が 2 番目の角度の余接と最初の角度の余接の差に等しい。

角度差の余接は、分子がこれらの角度の余接の積から 1 を引いた分数に等しく、分母がこれらの角度の余接の合計に等しい。

これらの三角恒等式は、たとえば 105 度の正接 (tg 105) を計算する必要がある場合に使用すると便利です。これを tg (45 + 60) として想像すると、角度の合計の正接の指定された同一の変換を使用し、接線 45 度と接線 60 度の表に示された値を単純に置き換えることができます。

三角関数の和または差の換算式

sin α + sin β の形式の合計を表す式は、次の公式を使用して変換できます。

3 倍の角度の公式 - sin3α cos3α Tan3α から sinα cosα Tanα への変換

場合によっては、三角関数の引数が 3α ではなく角度 α になるように、角度の 3 倍の値を変換する必要があります。
この場合、三重角変換公式 (恒等式) を使用できます。

三角関数の積を変換する公式

さまざまな角度のサインの積、さまざまな角度のコサイン、またはサインとコサインの積を変換する必要がある場合は、次の三角恒等式を使用できます。

この場合、異なる角度のサイン、コサイン、またはタンジェント関数の積は、和または差に変換されます。

三角関数の約定公式

次のようにリダクションテーブルを使用する必要があります。この行では、興味のある関数を選択します。柱に角度があります。たとえば、1行目と1列目の交点の角度(α+90)のサインから、sin(α+90)=cosαが分かります。

基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) 間の関係が示されています。 三角関数の公式。そして、三角関数間には非常に多くの関連性があるため、これが三角関数の公式の豊富さを説明しています。同じ角度の三角関数を接続する公式もあれば、複数の角度の関数を接続する公式もあれば、次数を減らすことができる公式もあり、4 番目の関数は半角の正接ですべての関数を表現することもできます。

この記事では、三角関数の大部分の問題を解決するのに十分な、基本的な三角関数の公式をすべて順番にリストします。覚えやすく、使いやすいように、目的別にグループ化して表に入力します。

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基本的な三角恒等式

基本的な三角恒等式 1 つの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの関係を定義します。これらは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と単位円の概念から導き出されます。これらを使用すると、1 つの三角関数を他の三角関数で表現できます。

これらの三角法の公式、その導出、および応用例の詳細な説明については、この記事を参照してください。

還元式

還元式サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの特性から導き出されます。つまり、それらは三角関数の周期性の特性、対称性の特性、および特定の角度によるシフトの特性を反映しています。これらの三角関数の公式を使用すると、任意の角度での作業から、0 度から 90 度の範囲の角度での作業に移行できます。

これらの公式の理論的根拠、それらを記憶するための記憶規則、およびその適用例については、この記事で学ぶことができます。

加算式

三角関数の加算公式 2 つの角度の和または差の三角関数がそれらの角度の三角関数でどのように表現されるかを示します。これらの公式は、次の三角関数の公式を導き出すための基礎として機能します。

ダブル、トリプルなどの公式。角度

ダブル、トリプルなどの公式。角度 (複数の角度の公式とも呼ばれます) は、2 倍、3 倍などの三角関数がどのように計算されるかを示します。角度 () は、単一の角度の三角関数で表されます。それらの導出は加算公式に基づいています。

より詳細な情報は、ダブル、トリプルなどの記事の計算式にまとめられています。角度

半角の公式

半角の公式半角の三角関数が全角の余弦でどのように表現されるかを示します。これらの三角関数の公式は、倍角の公式から導かれます。

彼らの結論と応用例は記事に記載されています。

度数換算式

次数を減らすための三角関数の公式三角関数の自然べき乗から 1 次の複数の角度のサインおよびコサインへの移行を容易にするように設計されています。言い換えれば、三角関数の累乗を 1 乗に減らすことができます。

三角関数の和と差の公式

主な目的 三角関数の和と差の公式これは、関数の積を計算することです。これは、三角関数の式を簡略化するときに非常に便利です。これらの公式は、サインとコサインの和と差を因数分解できるため、三角方程式を解く際にも広く使用されています。

サイン、コサイン、サインとコサインの積の公式

三角関数の積から和または差への変換は、サイン、コサイン、およびサインとコサインの積の公式を使用して実行されます。

汎用三角関数置換

半角の正接に関して三角関数を表す式を使用して、三角関数の基本公式の復習を完了します。この置き換えは次のように呼ばれました 普遍的な三角関数の置換。その利便性は、すべての三角関数が根なしで合理的に半角の正接に関して表現されるという事実にあります。

参考文献。

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著作権は賢い学生による

三角法は、10 年生の代数学コースで学習される最も重要なセクションの 1 つです。彼はかなり豊富なレッスンを与えられます。実際、理論と実践の両方で三角法を正しく理解するには、理論を強化し、宿題、テスト、独立した作業など、さまざまな作業を実行する際のスキルを拡張できる膨大な数の例を常に解決する必要があります。あるいは授業中だけでも。

ビデオレッスンはよく構成されており、すべてが一貫していて論理的です。構造は明確で、テキストは学校レベルに合わせて正しく書かれており、理解できます。このリソースは、「学位削減公式」というトピックを学習するプロセスをより興味深く効果的にするのに役立ちます。視覚化のおかげで、学生は公式をよりよく思い出すことができ、ビデオアナウンサーの穏やかな声とともに、暗記がスピードアップします。

リソース内で説明および議論されている資料は、トピックを完全にカバーし、重要な点を 1 つも見逃さないように専門家によって編集されています。このことは、若い教師が必ず行う指導計画の作成にも安心して利用できることを示唆している。

以前は、コサイン、サイン、引数の合計のタンジェント、および double 引数の公式が考慮されていました。コタンジェントは常にタンジェントの逆分数として表すことができるため、コタンジェントは個別に考慮されませんでした。このビデオでは、次数を減らすために使用できる他の重要な公式を見ていきます。

まず、二乗を約定する式を導出する。コサインとサインの 2 乗を取り除くことがいかに簡単であるかがわかります。学童がこれらの公式がどこから来たのかを理解するために、次のステップではアナウンサーがすべての手順を詳しく説明します。まず第一に、サインとコサインの二乗の和が 1 になるという三角法の基本公式を覚えておく価値があります。この恒等式から、サインとコサインの 2 乗を別々に導き出すことができます。 double 引数のコサインとサインの公式を覚えておくと、新しいルールがどこから来たのかを理解できます。

何らかのステップを実行するときに、以前に研究した内容に目を向けることは注目に値します。これは、三角法におけるトピックの重要性と相互関連性を示しています。いかなる状況でも、特定のトピックをスキップして新しいトピックを始めてはなりません。特定の意味や変形がどこから来たのかが不明になるため、内容は理解できなくなります。三角法には多数の公式が含まれており、これなしでは先に進むことができないため、それらを徐々に覚えて新しい公式を学ぶ価値があります。また、実際に内容を定着させ、将来テストや学期レポートを書くときに役立つ新しいスキルを獲得する必要もあります。

ビデオレッスン「次数を減らすための公式」では、公式を確認した後、例の実践的な分析に進みます。これは、すでに述べたように非常に重要です。この例は、単独で、または教師と一緒に注意深く見ると明確になります。

最初の例では、特定の条件下で何らかの式の値を見つける必要があります。これを解く際には、余弦次数を減らす公式が使用されます。わかりやすくするために、ビデオでは右側に表示されます。こうすることで、生徒はそれを繰り返し使用する機会が得られます。

この後、講演者は、正弦の次数を減らすための公式を使用する同様の例を解くことを提案します。生徒は自分で決めることができます。前の例を理解していれば、この例にも対処できます。

その結果、別のより複雑な例が示されます。それを解くときは、接線公式が使用されます。アナウンサーが解き方を詳しく解説し、その後答えが表示されます。

このビデオレッスンでは、学位削減公式とは何か、そしてそれを実際にどのように使用する必要があるかを短時間で説明します。

テキストのデコード:

度数換算式

を還元公式といいます。

これらの式を導き出してみましょう。

式 cos 2 x + sin 2 x = 1 から、sin 2 x が求められます。

sin 2 x = 1-cos 2 x

式 cos 2x= cos 2 x - sin 2 x で、sin 2 x の値を 1- cos 2 x に置き換え、cos 2 x - (1- cos 2 x) を取得します。

括弧を開くと、cos 2 x - 1+ cos 2 x が得られます。

cos 2 x + cos 2 x の合計は 2cos 2 x になるため

cos 2x = 2 cos 2 x - 1 であることがわかります。

cos 2x = cos 2 x - sin 2 x = cos 2 x - (1-cos 2 x) = 2 cos 2 x - 1。

ここから cos 2 x を表します

cos 2x +1 = 2 cos 2 x

cos 2 x = (コサイン x の 2 乗は、1 と double 引数のコサインの合計の半分に等しい)。

cos 2 x に対する最初の電力低減公式を導き出しました。

同様に、sin 2 x の次数を減らすための 2 番目の式を導出します。

式 cos 2 x + sin 2 x = 1 から、cos 2 x が求められます。

cos 2 x = 1 - sin 2 x

式 cos 2x= cos 2 x - sin 2 x では、cos 2 x の値は次のようになります。

1 - sin 2 x に置き換えます

そして、1 - sin 2 x - sin 2 x が得られます。

-sin 2 x -sin 2 x の合計は -2 sin 2 x になるため、

cos 2x = 1 -2 sin 2 x であることがわかります。

ここから、sin 2 x を表します。

反対の符号のユニットを運ぶ

cos 2x-1 = -2 sin 2 x

符号を反対のものに変える

1- cos 2x = 2 sin 2 x

方程式の両辺を 2 で割ります。

sin 2 x = (sine x の 2 乗は、1 の半差と double 引数のコサインに等しい)。

私たちが受け取った式はリダクション式と呼ばれることを覚えておいてください。

この名前は、両方の恒等式の左側に 2 次のコサインとサインが含まれ、右側に 1 次が含まれる、つまり次数の減少が観察されるという事実により付けられました。

次数を減らす公式を使用して例を解くことを考えてみましょう。

例 1. cosx= - および xϵ(π;) (x は pi から 3 π x 2 までの区間に属します) であることがわかっているので、cos を計算します。

次数を減らす公式を使用します

二乗コサイン x cos 2 x =、次のようになります。

条件 cosx= によって - データを式に代入します。

cos 2 = 、式の右側で計算すると、次のようになります。

cos 2 = 、平方根を取ると、次のようになります。

したがって、条件 π x により、です。これは、引数 x を 2 で割った値が第 2 四半期に属し、コサインが負であることを意味します。したがって、cos = − となります。

答え: cos = − 。

例 2. cosx= - および xϵ (π;) であることを知る

(x は pi から 3 pi x 2 までの区間に属します)、sin を計算します。

解決。次数を減らすための公式 sin 2 x = を使用します。

sin 2 =、条件 cosx= - によるため

sin 2 = = 、平方根を求めて次のようになります。

したがって、条件 π x により、です。これは、引数 x を 2 で割った値が第 2 四半期に属し、正弦が正であることを意味します。したがって、sin = 。

答え: 罪 = 。

例 3. cosx= - および xϵ(π;) (x は pi から 3 π x 2 までの区間に属します) であることがわかっているので、tg を計算します。

解決。タンジェント x がサイン x とコサイン x の比であることがわかっているので、次のようになります。

例 1 と 2 では、 sin = および cos = − であることがわかりました。

簡単に言えば、特別なレシピに従って水で調理された野菜です。最初の 2 つのコンポーネント (野菜サラダと水) と最終結果であるボルシチを検討します。幾何学的には、片面がレタス、もう片面が水を表す長方形と考えることができます。これら 2 つの辺を合計するとボルシチになります。このような「ボルシチ」長方形の対角線と面積は純粋に数学的な概念であり、ボルシチのレシピでは決して使用されません。

数学的な観点から見ると、レタスと水はどのようにしてボルシチになるのでしょうか? 2 つの線分の和はどのようにして三角関数になるのでしょうか? これを理解するには、線形角関数が必要です。

数学の教科書には線形角関数については何も載っていません。しかし、それらがなければ数学はあり得ません。数学の法則は、自然法則と同様、私たちがその存在を知っているかどうかに関係なく機能します。

線形角関数は加算法則です。代数が幾何学に、幾何学が三角法にどのように変化するかを見てみましょう。

線形角関数なしで行うことは可能ですか? 数学者はそれらがなくてもなんとかやっていけるので、それは可能です。数学者のトリックは、彼らが常に自分自身が解決方法を知っている問題についてのみ話し、解決できない問題については決して語らないことです。見て。加算と 1 つの項の結果がわかっている場合は、減算を使用してもう 1 つの項を見つけます。全て。私たちは他の問題を知りませんし、その解決方法も知りません。足し算の結果だけがわかっていて、両方の項がわからない場合はどうすればよいでしょうか? この場合、加算の結果は線形角関数を使用して 2 つの項に分解する必要があります。次に、私たち自身が 1 つの項が何になるかを選択します。線形角関数は、加算の結果が正確に必要なものになるように 2 番目の項がどうあるべきかを示します。このような用語のペアは無限に存在する可能性があります。日常生活では、合計を分解しなくても、引き算だけで十分です。しかし、自然法則を科学的に研究する場合、合計をその成分に分解することは非常に役立ちます。

数学者が話したくないもう 1 つの加算法則 (数学者のトリックのもう 1 つ) では、項が同じ測定単位を持つことが要求されます。サラダ、水、ボルシチの場合、これらは重量、体積、金額、測定単位などの単位になります。

この図は、数学的の 2 つのレベルの差を示しています。最初のレベルは数値フィールドの違いであり、それが示されています。ある, b, c。これは数学者がやっていることです。 2 番目のレベルは、角括弧内に表示され、文字で示される測定単位の分野の違いです。 U。これが物理学者のやっていることです。私たちは第3レベル、つまり説明されているオブジェクトの領域の違いを理解することができます。異なるオブジェクトは、同じ数の同じ測定単位を持つことができます。これがどれほど重要であるかは、ボルシチ三角法の例でわかります。異なるオブジェクトの同じ単位指定に添え字を追加すると、特定のオブジェクトを表す数学的量と、それが時間の経過や私たちの行動によってどのように変化するかを正確に言うことができます。手紙 Wお水を文字で指定させていただきます Sサラダは文字でご指定させていただきます B- ボルシチ。ボルシチの線形角関数は次のようになります。

水の一部とサラダの一部を取れば、それらは一緒になってボルシチの一部になります。ここで、ボルシチから少し休憩して、遠い子供時代を思い出してみることをお勧めします。私たちがウサギとアヒルを組み合わせる方法をどのように教えられたかを覚えていますか? 動物が何匹いるかを調べる必要がありました。そのとき私たちは何をするように教えられたのでしょうか？私たちは、測定単位を数値から分離し、数値を加算することを教えられました。はい、任意の数値を他の任意の数値に加算できます。これは現代数学の自閉症への直接的な道です。私たちはそれを何をするのか、なぜ理解できないのか、そしてこれが現実とどのように関係しているのか理解できません。3 つのレベルの違いがあるため、数学者は 1 つのレベルだけで操作します。ある測定単位から別の測定単位に移動する方法を学ぶ方が正確です。

ウサギ、アヒル、小動物は細かく数えることができます。さまざまな物体に共通の 1 つの測定単位を使用することで、それらを合計することができます。これは子供向けの問題です。大人向けの同様の問題を見てみましょう。ウサギとお金を加えると何が得られますか? ここで考えられる解決策は 2 つあります。

最初のオプション。当社はウサギの市場価値を決定し、利用可能な金額に追加します。私たちは自分の富の総額を金銭で表しました。

2 番目のオプション。私たちが持っている紙幣の枚数にウサギの数を追加することができます。動産の金額を分割して受け取ります。

ご覧のとおり、同じ加算法則でも異なる結果が得られます。それはすべて、私たちが正確に何を知りたいかによって異なります。

さて、ボルシチの話に戻りましょう。これで、線形角度関数のさまざまな角度値で何が起こるかを確認できます。

角度はゼロです。サラダはありますが、水はありません。ボルシチは作れません。ボルシチの量もゼロです。これは、ボルシチゼロが水ゼロに等しいという意味ではまったくありません。サラダがゼロのボルシチもあり得ます（直角）。

私個人にとって、これは、という事実の主な数学的証明です。ゼロを追加しても数値は変わりません。これは、項が 1 つしかなく、2 番目の項が欠落している場合、足し算自体が不可能であるために発生します。これについては好きなように感じて構いませんが、覚えておいてください。ゼロを使ったすべての数学演算は数学者自身によって発明されたものであるため、自分の論理を捨てて、「ゼロによる除算は不可能である」、「任意の数の乗算は不可能である」など、数学者によって発明された定義を愚かにも詰め込んでください。ゼロはゼロに等しい」、「穿刺点ゼロを超えて」などのナンセンス。ゼロは数ではないということを一度覚えておくだけで十分です。そして、ゼロが自然数かどうかという質問は二度と起こらなくなります。なぜなら、そのような質問はまったく意味を失うからです。なぜなら、数ではないものがどうして数とみなされるのかということです。 ? それは、目に見えない色を何色に分類すべきかを問うようなものです。数字にゼロを加えるのは、そこにない絵の具で絵を描くのと同じです。私たちは乾いた筆を振って、みんなに「絵を描きました」と言いました。しかし、少し脱線します。

角度は 0 度より大きく 45 度未満です。レタスはたくさんありますが、水が足りません。その結果、濃厚なボルシチが出来上がります。

角度は45度です。私たちは同量の水とサラダを持っています。これは完璧なボルシチです（シェフの皆様、ごめんなさい、これは単なる計算です）。

角度は 45 度より大きく、90 度より小さいです。たくさんの水と少しのサラダがあります。液体のボルシチが出来上がります。

直角。水はあります。かつてサラダをマークしていた線からの角度を測定し続けると、サラダに残るのは思い出だけです。ボルシチは作れません。ボルシチの量はゼロです。この場合は、水を持っている間は我慢して水を飲んでください）））

ここ。そのようなもの。ここで適切以上の他のストーリーをここでお話しできます。

2 人の友人が共通のビジネスで株式を持っていました。そのうちの一人を殺した後、すべてがもう一方に移った。

私たちの地球上での数学の出現。

これらすべての物語は、線形角関数を使用した数学の言語で語られます。数学の構造におけるこれらの関数の実際の位置については、また別の機会に説明します。それまでの間、ボルシチ三角法に戻り、投影について考えてみましょう。

2019年10月26日土曜日

についての興味深いビデオを見ました グランディシリーズ ワンマイナス 1 プラス 1 マイナス 1 - Numberphile。数学者は嘘をつく。彼らは推論中に平等性チェックを実行しませんでした。

これは、についての私の考えと同じです。

数学者が私たちを騙している兆候を詳しく見てみましょう。数学者は議論の冒頭で、数列の和は要素の数が偶数であるかどうかに依存すると述べています。これは客観的に確立された事実です。次に何が起こるでしょうか？

次に、数学者はその数列を 1 から減算します。これは何をもたらすのでしょうか? これにより、シーケンスの要素数が変化します。偶数は奇数に、奇数は偶数に変わります。結局、シーケンスに 1 に等しい要素を 1 つ追加しました。外部の類似性にもかかわらず、変換前のシーケンスは変換後のシーケンスと等しくありません。無限シーケンスについて話している場合でも、要素数が奇数の無限シーケンスは要素数が偶数の無限シーケンスと等しくないことを覚えておく必要があります。

数学者は、要素数が異なる 2 つの数列の間に等号を置くことによって、数列の合計は数列内の要素数に依存しないと主張しますが、これは客観的に確立された事実に矛盾します。無限シーケンスの和に関するこれ以上の推論は、偽の等価性に基づいているため、偽となります。

数学者が証明の過程で括弧を付けたり、数式の要素を並べ替えたり、何かを追加または削除したりしているのを見た場合は、十分に注意してください。おそらく彼らはあなたをだまそうとしているでしょう。カードマジシャンと同じように、数学者は、最終的に誤った結果を与えるために、さまざまな表現操作を使ってユーザーの注意をそらします。欺瞞の秘密を知らずにカードのトリックを繰り返すことができない場合、数学ではすべてがはるかに単純です。欺瞞について何も疑うことさえありませんが、数式を使用してすべての操作を繰り返すことで、他の人にカードの正しさを納得させることができます。彼らがあなたを説得したときと同じように、得られた結果。

聴衆からの質問: 無限大 (シーケンス S の要素の数として) は偶数ですか、それとも奇数ですか? パリティのないもののパリティを変更するにはどうすればよいでしょうか?

無限は数学者のためのものであり、天国が司祭のためのものであるのと同じです - 誰もそこに行ったことはありませんが、誰もがそこですべてがどのように機能するかを正確に知っています）））私も同意します、死後、あなたが偶数で生きたか奇数で生きたかはまったく気にならないでしょうしかし... あなたの人生の始まりにほんの 1 日追加すると、まったく別の人が得られます。彼の姓、名、父称はまったく同じで、生年月日だけが完全に異なります - 彼はあなたより一日前に生まれました。

さて、本題に入りましょう))) パリティを持つ有限シーケンスが無限に進むとパリティを失うとしましょう。その場合、無限シーケンスの有限セグメントはパリティを失う必要があります。私たちはこれを見ていません。無限シーケンスの要素数が偶数であるか奇数であるかを確実に言えないという事実は、パリティが消滅したことを意味するものではありません。パリティが存在するとしても、シャーピーのスリーブのように、跡形もなく無限に消えることはありません。このケースには非常に良い例えがあります。

時計の中に座っているカッコーに、時計の針がどちらの方向に回転するか尋ねたことがありますか? 彼女の場合、矢印はいわゆる「時計回り」とは逆の方向に回転します。逆説的に聞こえるかもしれませんが、回転の方向は回転をどちらの側から観察するかによって決まります。それで、回転する車輪が 1 つあります。回転面の一方の側ともう一方の側の両方から回転を観察できるため、回転がどちらの方向に発生するかを言うことはできません。私たちが証言できるのは、回転があるという事実だけです。無限シーケンスのパリティとの完全な類似性 S.

次に、2 番目の回転ホイールを追加しましょう。その回転平面は、最初の回転ホイールの回転平面と平行です。これらの車輪がどちらの方向に回転するかについてはまだ確かなことはできませんが、両方の車輪が同じ方向に回転するか逆方向に回転するかは確実にわかります。 2 つの無限シーケンスの比較 Sそして 1-S, 私は数学の助けを借りて、これらのシーケンスには異なるパリティがあり、それらの間に等号を置くのは間違いであることを示しました。個人的に、私は数学を信頼しますが、数学者は信頼しません）））ところで、無限シーケンスの変換の幾何学を完全に理解するには、次の概念を導入する必要があります 「同時性」。これを描く必要があります。

2019年8月7日水曜日

会話の結論として、無限集合を考える必要があります。重要なのは、ボアコンストリクターがウサギに影響を与えるように、「無限」の概念が数学者に影響を与えるということです。震える無限の恐怖は数学者から常識を奪います。以下に例を示します。

オリジナルのソースが見つかりました。アルファは実数を表します。上記の式の等号は、無限大に数値または無限大を加算しても何も変化せず、結果は同じ無限大になることを示します。自然数の無限集合を例として取り上げると、考慮された例は次の形式で表すことができます。

彼らが正しかったことを明確に証明するために、数学者はさまざまな方法を考え出しました。個人的に、私はこれらすべての方法を、タンバリンを持って踊るシャーマンのように見ています。本質的に、それらはすべて、部屋の一部が空いていて新しい客が引っ越してくるか、または客のためのスペースを作るために訪問者の一部が廊下に放り出される（非常に人間的です）という事実に要約されます。私はそのような決定についての私の見解を、ブロンドについてのファンタジー物語の形で提示しました。私の推論は何に基づいているのでしょうか？無限の数の訪問者を移動させるには無限の時間がかかります。最初の部屋をゲストのために空けた後、訪問者の一人は必ず時間が終わるまで自分の部屋から次の部屋まで廊下を歩きます。もちろん、時間的要因は愚かにも無視することができますが、これは「愚か者のために書かれた法律はない」という範疇に入るでしょう。それはすべて、私たちが何をしているか、つまり現実を数学理論に合わせて調整するか、その逆に調整するかによって決まります。

「エンドレスホテル」とは？無限ホテルとは、占有されている部屋の数に関係なく、常に任意の数の空のベッドがあるホテルです。無限の「訪問者」の廊下のすべての部屋が占有されている場合、「ゲスト」の部屋のある別の無限の廊下が存在します。そのような回廊は無数に存在するでしょう。また、「無限ホテル」は、無数の神が創造した無数の宇宙、無数の惑星、無数の建物の無数のフロアを有する。数学者は日常の平凡な問題から距離を置くことができません。神、アッラー、仏は常にただ 1 つだけであり、ホテルも 1 つだけ、廊下も 1 つだけです。そのため、数学者たちはホテルの部屋の通し番号をうまく使いこなし、「不可能に挑戦する」ことが可能だと私たちに信じ込ませようとしているのです。

自然数の無限集合の例を使用して、私の推論の論理を説明します。まず、非常に単純な質問に答える必要があります。自然数のセットは何組ありますか? 1 つですか、それとも多数ですか? 私たちが数字を発明したのですから、この質問に対する正しい答えはありません。数字は自然界には存在しません。確かに、自然は数を数えるのが得意ですが、そのために私たちにはなじみのない他の数学的ツールを使用します。自然が何を考えているかはまた別の機会にお話します。私たちは数字を発明したので、自然数の集合が何組あるかは私たち自身で決めることになります。本物の科学者らしく、両方の選択肢を検討してみましょう。

オプション 1。棚の上に静かに置かれている自然数のセットを 1 つ「与えてみましょう」。このセットを棚から取り出します。それだけです。他の自然数は棚に残っておらず、どこにも持っていくことができません。すでに持っているため、このセットに追加することはできません。本当にそうしたい場合はどうしますか？問題ない。すでに取ったセットから 1 つ取り出して棚に戻すことができます。その後、棚から 1 つ取り出して、残っているものに追加します。その結果、再び自然数の無限集合が得られます。すべての操作を次のように書き留めることができます。

私はアクションを代数表記と集合論表記で書き、集合の要素の詳細なリストを付けました。下付き文字は、自然数のセットが 1 つだけあることを示します。自然数の集合は、そこから 1 を引いて同じ単位を加えた場合にのみ変化しないことがわかります。

オプション 2。私たちの棚には、さまざまな自然数の無限の集合がたくさんあります。事実上区別がつかないにもかかわらず、私は強調したいと思います。これらのセットのうちの 1 つを取り上げてみましょう。次に、別の自然数のセットから 1 つを取り出し、それをすでに取り出したセットに追加します。 2 組の自然数を加算することもできます。これが得られる結果です:

下付き文字「one」と「two」は、これらの要素が異なるセットに属していることを示します。はい、無限セットに 1 を追加すると、結果も無限セットになりますが、元のセットと同じにはなりません。 1 つの無限セットに別の無限セットを追加すると、結果は最初の 2 つのセットの要素で構成される新しい無限セットになります。

自然数の集合は、定規が測定に使用されるのと同じように、数を数えるために使用されます。ここで、定規に 1 センチメートル追加したと想像してください。これは、元の行とは異なる行になります。

私の推論を受け入れるか受け入れないかはあなた次第です。それはあなた自身の仕事です。しかし、数学的な問題に遭遇した場合は、何世代にもわたる数学者が歩んできた誤った推論の道をたどっていないかどうかを考えてください。結局のところ、数学を学ぶことは、まず第一に、私たちの中に安定した思考の固定観念を形成し、それから初めて私たちの精神的能力を高めます（あるいは逆に、私たちから自由な思考を奪います）。

ポズグル

2019年8月4日（日）

に関する記事の追記を終えていたところ、ウィキペディアで次のような素晴らしい文章を見つけました。

「…バビロンの数学の豊かな理論的基礎は、全体的な性格を持たず、共通のシステムや証拠基盤を欠いた、一連の異種技術に還元された。」

おお！私たちはどれほど賢く、他人の欠点をどれほどよく見ることができるか。現代数学を同じ文脈で見るのは難しいでしょうか? 上記の文章を少し言い換えると、個人的には次のように感じました。

現代数学の豊富な理論的基礎は、本質的に全体的なものではなく、共通のシステムや証拠基盤を欠いた一連の異なるセクションに縮小されています。

私の言葉を確認するためにそこまではしません。数学には他の多くの分野の言語や慣例とは異なる言語や慣例があります。数学の異なる分野では同じ名前が異なる意味をもつ場合があります。私は一連の出版物全体を現代数学の最も明白な間違いに捧げたいと考えています。また近いうちにお会いしましょう。

2019年8月3日土曜日

セットをサブセットに分割するにはどうすればよいでしょうか? これを行うには、選択したセットの一部の要素に存在する新しい測定単位を入力する必要があります。例を見てみましょう。

たくさんありますようにあ 4人で構成されています。この集合は「人」に基づいて形成されています。この集合の要素を文字で表します。あ、数字の付いた下付き文字は、このセット内の各人物のシリアル番号を示します。新しい測定単位「性別」を導入し、文字で表しましょう b。性的特徴はすべての人に生まれつき備わっているため、セットの各要素を掛け合わせます。あ性別に基づいて b。「人々」のセットが「性別特性を持つ人々」のセットになっていることに注目してください。この後、性的特徴を男性に分けることができます。 BMそして女性用 モノクロ性的特徴。ここで数学的フィルターを適用できます。男性か女性かに関係なく、これらの性的特徴の 1 つを選択します。人がそれを持っている場合は1を掛け、そのような兆候がない場合は0を掛けます。そして、通常の学校の数学を使用します。何が起こったのか見てみましょう。

乗算、削減、再配置の結果、最終的に 2 つの部分集合が得られました。男性の部分集合です。 Bmそして一部の女性 Bw。数学者は集合論を実際に適用するとき、ほぼ同じ方法で推論します。しかし、彼らは詳細については教えてくれませんが、「多くの人は男性の一部と女性の一部で構成されている」という最終的な結果を教えてくれます。当然のことながら、「上で概説した変換に数学はどの程度正確に適用されているのでしょうか?」という疑問が生じるかもしれません。本質的に、変換は正しく行われたことをあえて保証します。算術、ブール代数、その他の数学分野の数学的基礎を知っていれば十分です。それは何ですか？これについてはまた別の機会にお話します。

スーパーセットに関しては、これら 2 つのセットの要素に存在する測定単位を選択することで、2 つのセットを 1 つのスーパーセットに結合できます。

ご覧のとおり、測定単位と通常の数学により、集合論は過去の遺物となっています。集合論ですべてがうまくいっていないことの兆候は、数学者が集合論用の独自の言語と表記法を考え出したことです。数学者はかつてシャーマンのように行動しました。シャーマンだけが、自分の「知識」を「正しく」適用する方法を知っています。彼らは私たちにこの「知識」を教えてくれます。

結論として、数学者がどのように操作するかを示したいと思います。
アキレスが亀の10倍の速さで走り、亀より1000歩遅れているとします。アキレスがこの距離を走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。アキレスが 100 歩走ると、亀はさらに 10 歩這って進みます。このプロセスは無限に続き、アキレスは決して亀に追いつきません。

この推論は、その後のすべての世代にとって論理的な衝撃となりました。アリストテレス、ディオゲネス、カント、ヘーゲル、ヒルベルト...彼らは皆、何らかの形でゼノンのアポリアを考察しました。あまりにも衝撃が強かったので」 ...議論は今日まで続いている;科学界はパラドックスの本質についてまだ共通の意見に達することができていない...数学的分析、集合論、新しい物理的および哲学的アプローチがこの問題の研究に関与した。 ; どれも、問題に対する一般に受け入れられる解決策にはなりませんでした...「[Wikipedia、「ゼノンのアポリア」。騙されているということは誰もが理解しているが、その欺瞞が何なのかは誰も理解していない。

数学的な観点から見ると、ゼノンはアポリアの中で量からへの移行を明確に実証しました。この移行は、永続的なものではなく適用を意味します。私の理解する限り、可変の測定単位を使用するための数学的装置はまだ開発されていない、あるいはゼノンのアポリアには適用されていない。通常の論理を適用すると、私たちは罠に陥ります。私たちは思考の慣性により、逆数の値に一定の時間単位を適用します。物理的な観点から見ると、これは時間がゆっくりになり、アキレスが亀に追いついた瞬間に完全に停止するように見えます。時間が止まったら、アキレスは亀を追い越せなくなります。

いつもの論理をひっくり返せば、すべてがうまくいきます。アキレスは一定の速度で走ります。彼のパスの後続の各セグメントは、前のセグメントよりも 10 倍短くなります。したがって、それを克服するのに費やされる時間は、以前のものよりも10倍少なくなります。この状況に「無限」の概念を当てはめると、「アキレスは無限に早く亀に追いつく」というのが正しいでしょう。

この論理的な罠を回避するにはどうすればよいでしょうか? 一定の時間単位を維持し、逆数単位に切り替えないでください。 Zeno の言語では次のようになります。

アキレスが千歩走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。最初の時間と同じ次の時間間隔の間に、アキレスはさらに 1000 歩を走り、亀は 100 歩を這うことになります。今、アキレスは亀より八百歩先を行っています。

このアプローチは、論理的な矛盾なしに現実を適切に説明します。しかし、これは問題の完全な解決策ではありません。光の速さの抵抗不可能性についてのアインシュタインの発言は、ゼノンのアポリア「アキレスと亀」に非常に似ています。私たちはまだこの問題を研究し、再考し、解決する必要があります。そして、解決策は無限大の数ではなく、測定単位で求められなければなりません。

ゼノンのもう一つの興味深いアポリアは、飛んでいく矢について語っています。

飛んでいる矢は、あらゆる瞬間に静止しているので動かず、あらゆる瞬間に静止しているので、常に静止している。

このアポリアでは、論理的パラドックスは非常に簡単に克服されます。飛んでいる矢が各瞬間に空間の異なる点で静止しており、実際にはそれが運動であることを明確にするだけで十分です。ここでもう 1 つの点に注意する必要があります。道路上の車の 1 枚の写真からは、その移動の事実も、車までの距離も判断することは不可能です。車が動いているかどうかを判断するには、異なる時点で同じ場所から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらの写真からの距離を判断することはできません。車までの距離を判断するには、ある時点で空間の異なる点から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらからは移動の事実を判断することはできません (もちろん、計算には追加のデータが必要ですが、三角法が役に立ちます) ）。特に注意したいのは、時間上の 2 点と空間上の 2 点は異なるものであり、研究の機会が異なるため、混同すべきではないということです。
例を挙げてプロセスを説明します。私たちは「ニキビの中の赤い固体」を選択します。これが私たちの「全体」です。同時に、これらのものには弓があるものもあれば、弓のないものもあることがわかります。その後、「全体」の一部を選択し、「弓付き」のセットを形成します。このようにして、シャーマンは定説を現実に結びつけることで食料を得るのです。

では、ちょっとしたトリックをやってみましょう。「にきびと弓のある固体」を取り出し、これらの「全体」を色に応じて組み合わせて、赤い要素を選択してみましょう。たくさんの「赤」をいただきました。最後の質問です。結果として得られる「弓付き」と「赤」のセットは同じセットですか、それとも 2 つの異なるセットですか? 答えはシャーマンだけが知っています。より正確には、彼ら自身は何も知りませんが、彼らが言うように、そうなるでしょう。

この簡単な例は、集合論が現実になるとまったく役に立たないことを示しています。秘密は何ですか？「ニキビとリボンのある赤い立体」のセットを作りました。形成は、色 (赤)、強度 (固体)、粗さ (ニキビ)、装飾 (リボン付き) の 4 つの異なる測定単位に従って行われました。 数学の言語で実際の物体を適切に記述することができるのは、一連の測定単位だけです。。見た目はこんな感じです。

異なる指数を持つ文字「a」は、異なる測定単位を表します。準備段階で「全体」を区別するための測定単位が括弧内に強調表示されています。セットを形成するための測定単位が括弧内に表示されます。最後の行は、最終結果、つまりセットの要素を示します。ご覧のとおり、測定単位を使用してセットを形成する場合、結果はアクションの順序に依存しません。そしてこれは数学であり、タンバリンを持ったシャーマンの踊りではありません。シャーマンは、測定単位が彼らの「科学的」武器の一部ではないため、それが「明白」であると主張して、「直感的に」同じ結果に達することができます。

測定単位を使用すると、1 つのセットを分割したり、複数のセットを 1 つのスーパーセットに結合したりすることが非常に簡単になります。このプロセスの代数を詳しく見てみましょう。

2 つの角度 α と β のサインとコサインの和と差の公式を使用すると、これらの角度の和から角度 α + β 2 と α - β 2 の積に移動することができます。サインとコサインの和と差の公式と、和と差のサインとコサインの公式を混同しないように注意してください。以下にこれらの公式を列挙し、その導出を示し、特定のタスクへの適用例を示します。

サインとコサインの和と差の公式

サインとコサインの和と差の公式がどのようになるかを書き留めてみましょう

正弦の和と差の公式

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

コサインの和と差の公式

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 、cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α2

これらの式は、任意の角度 α および β に対して有効です。角度 α + β 2 および α - β 2 は、それぞれ角度 α および角度 β の半和および半差と呼ばれます。それぞれの公式を定式化してみましょう。

サインとコサインの和と差の公式の定義

2 つの角度の正弦の合計は、これらの角度の半和のサインと差の半値のコサインの積の 2 倍に等しくなります。

2つの角度の正弦の差は、これらの角度の半差のサインと半値和のコサインの積の 2 倍に等しくなります。

2 つの角度の余弦の合計は、これらの角度の半和のコサインと半差のコサインの積の 2 倍に等しくなります。

2 つの角度の余弦の差これらの角度の半和のサインと半差のコサインの積の 2 倍に負の符号を付けたものに等しい。

サインとコサインの和と差の公式の導出

2 つの角度のサインとコサインの和と差の公式を導出するには、加算公式が使用されます。以下にそれらを列挙してみましょう

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

また、角度自体が半和と半差の和であると想像してみましょう。

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

sin と cos の和と差の公式の導出に直接進みます。

正弦の和の公式の導出

sin α + sin β の合計では、α と β を上記の角度の式に置き換えます。得ます

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

ここで、加算の式を最初の式に適用し、2 番目の角度差の正弦の式に適用します (上記の式を参照)。

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 括弧を開いて類似の項を追加し、必要な式を取得します。

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

残りの式を導出する手順も同様です。

サインの差の公式の導出

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cosα+β2

コサインの和の公式の導出

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

コサインの差の公式の導出

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

実際の問題を解決する例

まず、特定の角度の値を代入して式の 1 つを確認してみましょう。 α = π 2、β = π 6 とします。これらの角度の正弦の合計の値を計算してみましょう。まず、三角関数の基本値の表を使用し、次に正弦の和の公式を適用します。

例 1. 2 つの角度の正弦の和の公式を確認する

α = π 2、β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

次に、角度の値が表に示されている基本値と異なる場合を考えてみましょう。 α = 165°、β = 75°とします。これらの角度の正弦の差を計算してみましょう。

例 2. 正弦の差の公式の適用

α = 165 °、β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

サインとコサインの和と差の公式を使用すると、和や差から三角関数の積に移動できます。多くの場合、これらの式は、和から積に移動するための式と呼ばれます。サインとコサインの和と差の公式は、三角方程式を解く場合や三角関数の式を変換する場合に広く使用されます。

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