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確率理論の公式と USE ソリューションの例。確率論の簡単な問題。基本式

「確率論」をテーマにした授業・講義

2016 年統一州試験のタスク No. 4。

プロフィールレベル。

1グループ:古典的な確率公式の使用に関するタスク。

タスク1。タクシー会社には60台の空きがあります乗用車; そのうち 27 個は黒色で側面に黄色の刻印があり、残りは黄色黒い碑文が付いています。黒い文字の黄色い車がランダムな呼び出しに応答する確率を求めます。

タスク2。ミーシャ、オレグ、ナスティア、ガリヤは誰が試合を開始するかについてくじを引きました。 Galya がゲームを開始しない確率を求めます。

タスク3。平均して、販売された 1,000 台の園芸用ポンプのうち、7 台で漏れが発生します。制御用にランダムに選択された 1 つのポンプが漏れない確率を求めます。

タスク4。化学のチケットコレクションには 15 枚のチケットしかなく、そのうちの 6 枚には「酸」というトピックに関する質問が含まれています。ランダムに選択された試験券で学生がトピック「酸」に関する質問を受ける確率を求めます。

タスク5。飛び込み選手権にはスペインから 4 名、米国から 9 名を含む 45 名の選手が参加します。出演順は抽選により決定します。米国のジャンパーが 24 位になる確率を求めてください。

タスク6。学術会議は3日間にわたって開催されます。合計 40 件のレポートが予定されています。1 日目には 8 件のレポートがあり、残りは 2 日目と 3 日目に均等に配分されます。報告の順番は抽選により決定します。 M 教授の報告が会議の最終日に予定される確率はどれくらいですか?

タスク1。テニス選手権の第 1 ラウンドの開始前に、参加者はくじを使ってランダムにペアに分けられます。ティモフェイ・トルブニコフを含むロシアからの参加者9名を含む、合計26名のテニス選手が選手権に参加する。ティモフェイ・トルブニコフが第 1 ラウンドでロシアのテニス選手とプレーする確率を求めてください。

タスク2。バドミントン選手権の第 1 ラウンドの開始前に、参加者は抽選によってランダムにペアに分けられます。この選手権には合計76人のバドミントン選手が参加しており、その中にはヴィクトル・ポリャコフを含むロシアからの22人の選手も含まれている。ヴィクトル・ポリャコフが第 1 ラウンドでロシアのバドミントン選手と対戦する確率を求めてください。

タスク3。クラスには 16 人の生徒がおり、その中にオレグとミハイルという 2 人の友人がいます。クラスはランダムに 4 つの均等なグループに分けられます。オレグとミハイルが同じグループに入る確率を求めます。

タスク4。クラスには 33 人の生徒がおり、その中にはアンドレイとミハイルという 2 人の友人が含まれています。学生はランダムに 3 つの均等なグループに分けられます。アンドレイとミハイルが同じグループに入る確率を求めます。

タスク 1:陶磁器の食器工場では、生産された食器の20%が不良品です。製品の品質管理中に、不良プレートの 70% が特定されます。残りのプレートも販売中です。購入時にランダムに選択されたプレートに欠陥がない確率を求めます。答えを百の位まで四捨五入してください。

タスク2。陶磁器の食器工場では、生産された食器の30％が不良品です。製品の品質管理中に、不良プレートの 60% が特定されます。残りのプレートも販売中です。購入時にランダムに選択されたプレートに欠陥がある確率を求めます。答えを百の位まで四捨五入してください。

タスク 3: 2 つの工場が車のヘッドライト用の同じガラスを生産しています。最初の工場ではこれらのガラスの 30% が生産され、2 番目の工場では 70% が生産されます。最初の工場では欠陥ガラスの 3% が生産され、2 番目の工場では 4% が生産されます。店舗で誤って購入したガラスが欠陥品である確率を求めます。

2 グループ:逆の事象の確率を求めること。

タスク1。プロの射手にとって、20 m の距離から的の中心に命中する確率は 0.85 です。ターゲットの中心を外す確率を求めます。

タスク2。直径 67 mm のベアリングを製造する場合、指定された直径との差異が 0.01 mm 未満になる確率は 0.965 です。ランダムなベアリングの直径が 66.99 mm 未満、または 67.01 mm を超える確率を求めます。

3 グループ:少なくとも 1 つの発生の確率を求める互換性のないイベント. 確率を加算するための式。

タスク1。サイコロを振ったときに5点または6点が出る確率を求めてください。

タスク2。壺の中には赤 10 個、青 5 個、白 15 個の合計 30 個のボールがあります。色の付いたボールを引く確率を求めます。

タスク3。射手は3つのエリアに分かれたターゲットを狙います。最初のエリアに命中する確率は 0.45、2 番目のエリアに命中する確率は 0.35 です。射手が 1 発で最初のエリアまたは 2 番目のエリアに命中する確率を求めます。

タスク4。地区センターから村まではバスが毎日運行しています。月曜日にバスの乗客が 18 人未満になる確率は 0.95 です。乗客が 12 人未満になる確率は 0.6 です。乗客数が 12 人から 17 人になる確率を求めます。

タスク5。新しい可能性電気ケトル 1 年以上持続するという値は 0.97 です。それが 2 年以上続く確率は 0.89 です。それが 2 年未満で 1 年以上続く確率を求めてください。

タスク6。学生 U が生物学のテスト中に 9 つ以上の問題を正しく解く確率は 0.61 です。 U さんが 8 つ以上の問題を正しく解く確率は 0.73 です。 U がちょうど 9 問の問題を正しく解く確率を求めます。

4 グループ：独立したイベントが同時に発生する確率。 確率の乗算式。

タスク1。部屋は2つのランプが付いたランタンで照らされています。 1 年以内に 1 つのランプが切れる確率は 0.3 です。 1 年間に少なくとも 1 つのランプが切れない確率を求めます。

タスク2。部屋は3つのランプが付いたランタンで照らされています。 1 年以内に 1 つのランプが切れる確率は 0.3 です。 1 年間に少なくとも 1 つのランプが切れない確率を求めます。

タスク3。店内には販売員が2人います。それぞれが確率 0.4 のクライアントで忙しいです。ランダムな瞬間に、両方の販売者が同時に忙しい確率を求めます (顧客は互いに独立して来店すると仮定します)。

タスク4。店内には店員さんが3人います。それぞれが確率 0.2 のクライアントで忙しいです。ランダムな時点で 3 人の販売者全員が同時に話中である確率を求めます (顧客は互いに独立して来店すると仮定します)。

タスク 5:ミハイル・ミハイロヴィッチ氏は顧客レビューに基づいて、2 つのオンラインストアの信頼性を評価しました。希望の商品が店舗 A から届く確率は 0.81 です。この商品が店舗 B から納品される確率は 0.93 です。ミハイル・ミハイロヴィッチは両方の店から商品を同時に注文した。オンラインストアがそれぞれ独立して運営されていると仮定して、どのストアも商品を配送しない確率を求めます。

タスク 6:グランドマスター A. が白をプレイした場合、確率 0.6 でグランドマスター B. に勝ちます。 A. が黒をプレイした場合、確率 0.4 で A. が B. に勝ちます。グランドマスター A. と B. は 2 つのゲームを行い、2 番目のゲームでは駒の色を変更します。 A. が両方とも勝つ確率を求めます。

5 グループ：両方の公式の使用に関する問題。

タスク 1:肝炎が疑われるすべての患者は血液検査を受けます。検査で肝炎が判明した場合、検査結果は陽性と呼ばれます。肝炎患者の場合、この検査では 0.9 の確率で陽性結果が得られます。患者が肝炎を患っていない場合、この検査では 0.02 の確率で偽陽性の結果が得られる可能性があります。肝炎の疑いで入院した患者の66％が実際に肝炎を患っていることが知られている。肝炎の疑いでクリニックに入院した患者が検査で陽性となる確率を求めます。

タスク2。カウボーイのジョンがゼロのリボルバーを発砲した場合、壁にハエが当たる確率は 0.9 です。ジョンが撃ち切れていないリボルバーを発砲した場合、彼は確率 0.2 でフライを打ちます。テーブルの上にはリボルバーが10丁ありますが、そのうち発砲されたのは4丁だけです。カウボーイのジョンは壁にハエが飛んでいるのを見つけ、最初に出会ったリボルバーを無作為に手に取り、ハエを撃ちます。ジョンがミスする確率を求めてください。

タスク 3:

いくつかの地域では、観察により次のことがわかりました。

1. 6 月の朝が晴れている場合、その日に降水確率は 0.1 です。 2. 6 月の朝が曇りの場合、日中の降水確率は 0.4 です。 3. 6 月の朝が曇る確率は 0.3 です。

6 月のランダムな日に雨が降らない確率を求めます。

タスク4。砲撃中自動システムターゲットに向かってショットをします。ターゲットが破壊されなかった場合、システムは 2 番目のショットを発射します。ターゲットが破壊されるまでショットが繰り返されます。最初のショットで特定のターゲットを破壊する確率は 0.3 で、その後のショットごとに 0.9 になります。ターゲットを破壊する確率を少なくとも 0.96 にするためには何発の射撃が必要ですか?

オープンバンクで現在に至る統一州試験の問題数学 (mathege.ru) では、その解は確率の古典的な定義である 1 つの公式のみに基づいています。

数式を理解する最も簡単な方法は、例を使用することです。
例1.かごの中には赤いボールが9個、青いボールが3個あります。ボールの色が違うだけです。そのうちの 1 つをランダムに (見ずに) 取り出します。このようにして選ばれたボールが青になる確率はどれくらいでしょうか?

コメント。確率の問題では、何かが起こります (この場合、ボールを引くというアクション)。異なる結果- 結果。結果はさまざまな方法で見ることができることに注意してください。「何らかのボールを引き出した」というのも結果だ。「青いボールを引き抜きました」 - 結果。「すべての可能なボールの中からまさにこのボールを取り出した」 - この最も一般化されていない結果の見方は、基本的な結果と呼ばれます。確率を計算する式で意味されるのは基本的な結果です。

解決。次に、青いボールが選択される確率を計算してみましょう。
イベントA：「選んだボールが青だった」
考えられるすべての結果の合計数: 9+3=12 (描画できるすべてのボールの数)
イベント A に有利な結果の数: 3 (イベント A が発生したそのような結果の数、つまり青いボールの数)
P(A)=3/12=1/4=0.25
答え: 0.25

同じ問題で、赤いボールが選択される確率を計算してみましょう。
考えられる結果の総数は同じ 12 です。好ましい結果の数: 9。求められる確率: 9/12=3/4=0.75

あらゆる事象の確率は常に 0 から 1 の間にあります。
日常会話では (確率論ではありませんが)、出来事の確率がパーセンテージとして推定されることがあります。数学と会話のスコア間の移行は、100% を乗算 (または除算) することによって行われます。
それで、
さらに、起こり得ない出来事の確率はゼロです、信じられないほどです。たとえば、この例では、これはバスケットから緑色のボールを引き出す確率になります。 (式を使用して計算すると、好ましい結果の数は 0、P(A)=0/12=0 になります)
確率 1 には、オプションなしで絶対に確実に起こるイベントがあります。たとえば、「選択したボールが赤か青になる」という確率がタスクに適用されます。 (良好な結果の数: 12、P(A)=12/12=1)

確率の定義を説明する古典的な例を見てみましょう。確率論における統一州試験の同様の問題はすべて、この公式を使用して解決されます。
赤と青のボールの代わりに、リンゴと梨、男の子と女の子、学習したチケットと未学習のチケット、特定のトピックに関する質問を含むチケットと含まないチケット (試作品)、欠陥のある高品質のバッグや庭のポンプ (プロトタイプ、) - 原則は変わりません。

それらは理論問題の定式化においてわずかに異なります統一国家試験の確率、特定の日にイベントが発生する確率を計算する必要があります。 ( 、 ) 前の問題と同様に、基本的な結果が何かを判断し、同じ公式を適用する必要があります。

例2。会議は3日間続きます。 1 日目と 2 日目はそれぞれ 15 名、3 日目は 20 名です。レポートの順番が抽選で決まった場合、M 先生のレポートが 3 日目に当たる確率はどのくらいですか?

ここでの基本的な結果は何でしょうか? – 教授のレポートに、スピーチに対して考えられるすべてのシリアル番号の 1 つを割り当てます。 15+15+20=50 名が抽選に参加します。したがって、M 教授のレポートは 50 件のうちの 1 件を受ける可能性があります。これは、基本的な結果が 50 個しかないことを意味します。
好ましい結果は何ですか? - 教授が3日目に講演することが判明したもの。つまり、最後の 20 個の数字です。
式によれば、確率 P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
答え: 0.4

ここでのくじ引きは、人々と秩序ある場所との間にランダムな対応関係が確立されることを表しています。例 2 では、特定の人物がどの場所を占めることができるかという観点からマッチングを検討しました。同じ状況を反対側からアプローチすることもできます。つまり、どの人々がどのような確率で特定の場所 (プロトタイプ、、、 ) に到達できるかということです。

例 3.抽選にはドイツ人５人、フランス人８人、エストニア人３人が含まれる。最初 (/2 番目/7 番目/最後 – 関係ありません) がフランス人である確率はどれくらいですか。

基本結果の数は、くじ引きによって特定の場所に入ることができるすべての人の数です。 5+8+3=16人です。
好ましい結果 - フランス語。 8人。
必要な確率: 8/16=1/2=0.5
答え: 0.5

プロトタイプは少し異なります。コイン () とサイコロ () に関する問題がまだ残っていますが、これはもう少し創造的です。これらの問題の解決策はプロトタイプのページで見つけることができます。

ここでは、コインやサイコロを投げる例をいくつか紹介します。

例4.コインを投げたとき、表が出る確率はどのくらいでしょうか?
結果は 2 つあります - 表または裏。 (コインが端に着地することはないと考えられています) 有利な結果は裏、1 です。
確率 1/2=0.5
答え: 0.5。

例5.コインを2回投げたらどうなるでしょうか？両方とも表になる確率はどれくらいですか?
重要なことは、2 枚のコインを投げるときにどの基本的な結果を考慮するかを決定することです。 2 枚のコインを投げた後、次のいずれかの結果が発生する可能性があります。
1) PP – 2回とも表でした
2) PO – 初回表、2回目表
3) OP – 1 回目は表、2 回目は裏
4) OO – 両方とも表が出た
他に選択肢はありません。これは、基本的な結果が 4 つあることを意味します。最初の 1 つだけが有利です。
確率: 1/4=0.25
答え: 0.25

コインを 2 回投げて裏が出る確率はどれくらいですか?
基本的な結果の数は同じ 4 です。好ましい結果は 2 番目と 3 番目の 2 です。
尾が 1 つになる確率: 2/4=0.5

このような問題では、別の公式が役立つ場合があります。
コインを 1 回投げるとき可能なオプション結果が 2 つあり、2 回投げた場合の結果は 2 2 = 2 2 = 4 (例 5 と同様)、3 回投げた場合は 2 2 2 = 2 3 = 8、4 回投げた場合は 2 2 2 2 =2 4 = となります。 16, ... N 回のスローの場合、考えられる結果は 2·2·...·2=2 N になります。

したがって、5 回のコイントスで 5 つの表が出る確率を求めることができます。
基本的な結果の総数: 2 5 = 32。
好ましい結果: 1. (RRRRRR – 5 回すべて表)
確率: 1/32=0.03125

ダイスについても同様です。 1 回投げると、6 通りの結果が得られます。つまり、2 回投げた場合は 6 6 = 36、3 回投げた場合は 6 6 6 = 216 となります。

例6。サイコロを投げます。偶数が出る確率はどれくらいですか?

合計結果: 面の数に応じて 6。
良好: 3 つの結果。 (2、4、6)
確率: 3/6=0.5

例7。私たちはサイコロを 2 つ投げます。合計が10になる確率は何ですか? (百の位まで四捨五入)

1 つのサイコロに対して 6 つの可能な結果があります。これは、2 人の場合、上記のルールに従って、6・6 = 36 になることを意味します。
合計が 10 になるためには、どのような結果が有利でしょうか?
10 は、1 から 6 までの 2 つの数値の合計に分解する必要があります。これは、10=6+4 と 10=5+5 の 2 つの方法で実行できます。これは、キューブに対して次のオプションが可能であることを意味します。
(1 回目は 6、2 回目は 4)
(最初は 4、2 番目は 6)
(最初は 5、2 番目は 5)
合計 3 つのオプション。必要な確率: 3/36=1/12=0.08
答え: 0.08

他の種類の B6 問題については、今後の「解決方法」の記事で説明します。

確率。数学のプロファイル統一国家試験の問題。

MBOU「第 4 ライシアム」の数学教師、ルザエフカが作成

オフチニコワ TV

確率の定義

確率 イベント A は数比と呼ばれます メートル このイベントの良い結果総数 n 1 つのテストまたは観察の結果として発生する可能性のあるすべての同様に互換性のないイベント。

メートル

させて k – コイントスの回数と、考えられる結果の数: n=2 k .

させて k – サイコロの出目の数、次に考えられる結果の数: n=6 k .

ランダムな実験では、対称のコインが 2 回投げられます。表が 1 回だけ現れる確率を求めます。

解決。

選択肢は 4 つだけです。 ああ; ああ; ｐｐ；ｐｐ； ○ .

有利２： ああ; r そして p; ○ .

確率は 2/4 = 1/2 = 0,5 .

答え: 0.5。

ランダムな実験では、2 つのサイコロが振られます。合計が8点になる確率を求めてください。結果を 100 分の 1 に四捨五入します。

解決。

サイコロは6つの面を持つ立方体です。最初のサイコロは 1、2、3、4、5、または 6 点を振ることができます。各得点オプションは、2 番目のダイスの 6 つの得点オプションに対応します。

それらの。合計さまざまなオプション 6×6 = 36。

オプション (実験結果) は次のようになります。

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

等 ...................................................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

2つのサイコロの目の合計が8になる出目（選択肢）の数を数えてみましょう。

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

合計 5 つのオプションがあります。

確率を求めてみましょう: 5/36 = 0.138 ≈ 0.14。

答え: 0.14。

生物学のチケットのコレクションには 55 枚のチケットしかなく、そのうち 11 枚には植物学に関する質問が含まれています。学生がランダムに選択された試験券で植物学に関する質問を受ける確率を求めます。

解決：

学生がランダムに選択された試験券で植物学に関する質問を受ける確率は、11/55 = 1/5 = 0.2 です。

答え: 0.2。

体操選手権には20人の選手が参加しており、8人がロシア、7人がアメリカ、残りは中国である。体操選手の演技の順番は抽選で決まります。最初に出場する選手が中国出身である確率を求めてください。

解決。

総勢20名の選手が参加し、

そのうち 20 – 8 – 7 = 5 名が中国の選手です。

最初に出場する選手が中国の選手である確率は、5/20 = 1/4 = 0.25 です。

答え: 0.25。

学術会議は5日間にわたって開催される。合計 75 のレポートが計画されています。最初の 3 日間には 17 のレポートが含まれ、残りは 4 日目と 5 日目に均等に配分されます。報告の順番は抽選により決定します。 M 教授の報告が会議の最終日に予定される確率はどれくらいですか?

解決：

カンファレンスの最終日に予定されているのは、

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 レポート。

M 教授の報告が会議の最終日に予定される確率は、12/75 = 4/25 = 0.16 です。

答え: 0.16。

バドミントン選手権の第 1 ラウンドの開始前に、参加者は抽選によってランダムにペアに分けられます。この選手権にはロシアからの参加者10名を含む合計26名のバドミントン選手が参加しており、その中にはルスラン・オルロフも含まれている。最初のラウンドでルスラン・オルロフがロシアのバドミントン選手と対戦する確率を求めてください?

解決：

ルスラン・オルロフはロシアのバドミントン選手とプレーしなければならないことを考慮する必要がある。そして、ルスラン・オルロフ自身もロシア出身です。

第 1 ラウンドでルスランオルロフがロシアのバドミントン選手と対戦する確率は、9/25 = 36/100 = 0.36 です。

答え: 0.36。

ダーシャはサイコロを 2 回投げます。彼女は合計 8 ポイントを獲得しました。最初のロールで 2 点が得られる確率を求めます。

解決。

2 つのサイコロで合計 8 点が出るはずです。以下の組み合わせであれば可能です。

合計 5 つのオプションがあります。 1投目で2点が得られた結果（選択肢）の数を数えてみましょう。

これがオプション 1 です。

確率を求めてみましょう: 1/5 = 0.2。

答え: 0.2。

世界選手権には20チームが参加します。抽選により、それぞれ 4 チームずつ 5 つのグループに分ける必要があります。ボックス内にはグループ番号が記載されたカードが混在しています。

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

チームキャプテンはそれぞれカードを1枚引きます。ロシアチームが第 3 グループに入る確率はどれくらいですか。

解決：

参加チームは5グループ合計20チームです。

各グループには 4 つのチームがあります。

したがって、合計 20 個の結果があり、必要なものは 4 つです。これは、望ましい結果が得られる確率が 4/20 = 0.2 であることを意味します。

答え: 0.2。

2 つの工場が車のヘッドライト用の同じガラスを生産しています。最初の工場ではこれらのガラスの 45% が生産され、2 番目の工場では 55% が生産されます。最初の工場では欠陥ガラスの 3% が生産され、2 番目の工場では 1% が生産されます。店舗で誤って購入したガラスが欠陥品である確率を求めます。

解決：

ガラスが最初の工場で購入され、欠陥がある確率:

r 1 = 0.45 · 0.03 = 0.0135。

ガラスが第 2 工場から購入され、欠陥がある確率:

r 2 = 0.55 · 0.01 = 0.0055。

したがって、合計確率の公式によれば、店舗で誤って購入したガラスが欠陥品である確率は、

p = p 1 +p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

答え: 0.019。

グランドマスター A. が白をプレイした場合、確率 0.52 でグランドマスター B. に勝ちます。 A. が黒をプレイした場合、A. は 0.3 の確率で B. に勝ちます。

グランドマスター A. と B. は 2 つのゲームを行い、2 番目のゲームでは駒の色を変更します。 A. が両方とも勝つ確率を求めます。

解決：

第 1 試合と第 2 試合に勝つ可能性は相互に依存しません。独立したイベントの積の確率は、それらの確率の積に等しいです。

p = 0.52 · 0.3 = 0.156。

答え: 0.156。

バイアスロン選手が標的に向けて 5 回射撃します。一発で的中する確率は0.8です。バイアスロン選手が最初の 3 回は標的に命中し、最後の 2 回は的中しない確率を求めます。結果を 100 分の 1 に四捨五入します。

解決：

次の各ショットの結果は、前のショットに依存しません。したがって、「一発目で当たる」「二発目で当たる」といった事象が発生します。独立した。

各ヒットの確率は 0.8 です。これは、ミスの確率が 1 – 0.8 = 0.2 であることを意味します。

1ショット：0.8

2ショット：0.8

3ショット：0.8

4ショット：0.2

5ショット：0.2

独立したイベントの確率を乗算する公式を使用すると、望ましい確率は次と等しいことがわかります。

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

答え: 0.02。

店内には精算機が2台設置されております。他のマシンに関係なく、それぞれが 0.05 の確率で故障する可能性があります。少なくとも 1 台のマシンが動作している確率を求めます。

解決：

両方のマシンに障害がある確率を求めてみましょう。

これらのイベントは独立しており、その発生確率はこれらのイベントの確率の積に等しくなります。

0.05 · 0.05 = 0.0025。

少なくとも 1 台のマシンが動作しているという事実からなるイベント。その逆。

したがって、その確率は次のようになります。

1 − 0,0025 = 0,9975.

答え: 0.9975。

カウボーイのジョンがゼロのリボルバーを発砲した場合、壁にハエが当たる確率は 0.9 です。ジョンが不発のリボルバーを発砲した場合、彼は確率 0.2 でフライを打ちます。テーブルの上にはリボルバーが10丁ありますが、そのうち発砲されたのは4丁だけです。カウボーイのジョンは壁にハエが飛んでいるのを見つけ、最初に出会ったリボルバーを無作為に手に取り、ハエを撃ちます。ジョンがミスする確率を求めてください。

解決：

ジョンがゼロのリボルバーを掴んだ場合にミスする確率は次のとおりです。

0.4 (1 − 0.9) = 0.04

ジョンが発火していないリボルバーを掴んだ場合に逃す確率は次のとおりです。

0.6 · (1 − 0.2) = 0.48

これらのイベントは互換性がなく、それらの合計の確率はこれらのイベントの確率の合計に等しくなります。

0,04 + 0,48 = 0,52.

答え: 0.52。

砲撃中、自動システムは目標に向けて射撃を行います。ターゲットが破壊されなかった場合、システムは 2 番目のショットを発射します。ターゲットが破壊されるまでショットが繰り返されます。最初のショットで特定のターゲットを破壊する確率は 0.4 で、その後のショットごとに 0.6 になります。ターゲットを破壊する確率を少なくとも 0.98 にするためには何発の射撃が必要ですか?

解決：

一連の連続した間違いの後に生き残る確率を計算することで、「行動によって」問題を解決できます。

P(1) = 0.6;

P(2) = P(1) 0.4 = 0.24;

P(3) = P(2) 0.4 = 0.096;

P(4) = P(3) 0.4 = 0.0384;

P(5) = P(4) 0.4 = 0.01536。

後者の確率は 0.02 未満であるため、ターゲットに 5 発撃てば十分です。

答え: 5.

クラスには26人がいますが、その中にアンドレイとセルゲイという2人の双子がいます。クラスはランダムに 13 人ずつの 2 つのグループに分けられます。アンドレイとセルゲイが同じグループに入る確率を求めます。

解決：

双子のどちらかが何らかのグループに所属しているとします。

彼を含め、残るクラスメイト25人のうち12人がグループに加わることになる。

この 12 人の中に 2 番目の双子が含まれる確率は

P = 12:25 = 0.48。

答え: 0.48。

写真は迷路です。クモは迷路の入り口で這い込みます。クモは向きを変えて這って戻ることができないので、枝ごとにまだ這っていない道を選択します。さらなるパスの選択が純粋にランダムであると仮定して、クモが出口 D に来る確率を決定します。

解決：

マークされた 4 つの分岐点のそれぞれで、スパイダーは出口 D につながるパスか、確率 0.5 の別のパスのいずれかを選択できます。これらは独立したイベントであり、それらの発生確率 (クモが出口 D に到達する) は、これらのイベントの確率の積に等しくなります。したがって、出口 D に到着する確率は (0.5) です。 4 = 0,0625.

応募者は注目！ここでは、いくつかの USE タスクについて説明します。残りのもっと興味深い内容は、無料ビデオにあります。 見て、やってみよう！

簡単な問題と確率論の基本概念から始めます。
ランダム事前に正確に予測できないイベントを呼びます。それは起こるか起こらないかのどちらかです。
あなたは宝くじに当選しました - ランダムなイベントです。あなたは勝利を祝うために友人を招待しましたが、あなたに向かう途中で彼らはエレベーターに閉じ込められてしまいました。これもランダムな出来事です。確かに、マスターは近くにいることが判明し、10分以内に会社全体を解放しました - そしてこれは幸せな事故と考えることもできます...

私たちの人生はランダムな出来事に満ちています。それぞれについて、一部の人にはそれが起こると言えます。確率。おそらく、あなたはこの概念を直感的によく知っているでしょう。ここで確率の数学的定義を与えます。

最初から始めましょう簡単な例。コインを投げます。表か裏か？

いくつかの結果のうちの 1 つにつながる可能性のあるこのようなアクションは、確率論と呼ばれます。 テスト.

表と裏 - 2 つの可能性があります結果テスト。

2 つのケースのうち 1 つのケースでヘッドが抜ける可能性があります。彼らはこう言います確率コインが表に着地することはです。

サイコロを投げましょう。サイコロには 6 つの面があるため、可能な出目も 6 つあります。

たとえば、3 つの点が表示されるようにしたいとします。これは、考えられる 6 つの結果のうちの 1 つです。確率論ではこう呼ばれます 好ましい結果.

3 が得られる確率は等しい (6 つの可能性のうち 1 つの好ましい結果)。

4の確率も

ただし、7 が現れる確率はゼロです。結局のところ、立方体上に 7 つの点があるエッジはありません。

イベントの確率は、結果の総数に対する好ましい結果の数の比率に等しくなります。

明らかに、確率は 1 を超えることはできません。

別の例を示します。袋の中にリンゴが入っていますが、いくつかは赤く、残りは緑です。リンゴは形も大きさも変わりません。袋の中に手を入れて、ランダムにリンゴを取り出します。赤いリンゴを引く確率はに等しく、緑のリンゴを引く確率はに等しい。

赤くなる確率や青リンゴに等しい。

統一国家試験対策問題集に収録されている確率論の問題を分析してみましょう。

。タクシー会社では現時点で無料の車：赤、黄、緑。たまたま顧客に最も近かった車両のうちの 1 台が通報に応答しました。黄色いタクシーが彼女のところに来る確率を求めてください。

車は全部で15台に1台がお客様のところに来ます。黄色のものは 9 つあります。これは、黄色の車が到着する確率がに等しいことを意味します。

。 (デモ版) すべてのチケットの生物学に関するチケットのコレクションで、そのうちの 2 つにキノコに関する質問があります。試験中、学生はランダムに選ばれた 1 枚のチケットを受け取ります。このチケットにキノコに関する質問が含まれない確率を求めます。

明らかに、キノコについて尋ねずにチケットを引く確率はに等しいです。

。保護者委員会は、子供たちの卒業記念品としてパズルを購入しました。学年、有名な芸術家による絵画や動物の画像など。プレゼントはランダムに配布されます。ヴォヴォチカが動物のパズルを解く確率を求めてください。

問題も同様の方法で解決されます。

答え：。

。体操選手権にはロシア、米国、その他の中国の選手が参加している。体操選手の演技の順番は抽選で決まります。最後に出場した選手が中国出身である確率を求めてください。

すべての選手が同時に帽子に近づき、そこから番号が書かれた紙を取り出したと想像してみましょう。そのうちの何人かは20番を取得するでしょう。中国人選手が抜く確率は等しい（選手が中国出身なので）。答え：。

。生徒はからまでの数字を答えるように求められました。彼が 5 の倍数の数字を挙げる確率はどれくらいですか?

5 回ごとこのセットの数値はで割り切れます。これは、確率がに等しいことを意味します。

サイコロが投げられます。得られる確率を求めよ奇数ポイント。

奇数; - 平。奇数の点が得られる確率はです。

答え：。

。コインは3回投げられます。表が 2 つと尾が 1 つになる確率はどれくらいですか?

この問題は別の方法で定式化できることに注意してください。つまり、3 枚のコインが同時に投げられたということです。これは決定には影響しません。

考えられる結果はいくつあると思いますか?

コインを投げます。このアクションには、表と裏の 2 つの結果が考えられます。

コイン 2 枚 - すでに 4 つの結果:

コイン3枚？そうです、結果はです。

8回中3回、表が2つ、尾が1つ出現します。

答え：。

。ランダムな実験では、2 つのサイコロが振られます。合計がポイントになる確率を求めます。結果を 100 分の 1 に四捨五入します。

最初のサイコロを投げます - 結果は 6 つです。そして、それぞれについて、2 番目のサイコロを投げたときに、さらに 6 つが可能です。

このアクション (サイコロを 2 つ投げる) には、合計で可能な結果があることがわかります。

そして今、好ましい結果が得られています。

8 点を獲得する確率はです。

>。射手は確率で標的を撃ちます。彼が 4 回連続で標的に当たる確率を求めてください。

ヒットの確率が等しい場合、ミスの確率はです。前の問題と同じ方法で推論します。 2回連続でヒットする確率は等しい。そして4回連続でヒットする確率は等しい。

確率: ブルートフォースロジック。

ここからの問題です診断作業、多くの人が難しいと感じました。

ペティアはポケットにルーブル相当の硬貨とルーブル相当の硬貨を持っていました。ペティアは何も見ずに、コインを別のポケットに移しました。 5 ルーブル硬貨が別のポケットに入っている確率を求めます。

イベントの確率は、結果の総数に対する好ましい結果の数の比率に等しいことがわかっています。しかし、これらすべての結果をどのように計算するのでしょうか?

もちろん、5 ルーブルのコインを数字で指定したり、10 ルーブルのコインを数字で指定したりして、セットから 3 つの要素を選択できる方法が何通りあるかを数えることもできます。

ただし、もっと簡単な解決策があります。

コインを数字でコード化します: 、(これらは 5 ルーブルのコインです)、(これらは 10 ルーブルのコインです)。問題の状態は次のように定式化できます。

からまでの番号が付いた 6 つのチップがあります。数字の書かれたチップが一緒にならないように、2 つのポケットに均等に分配できる方法は何通りありますか?

最初のポケットに何が入っているかを書き留めてみましょう。

これを行うために、セットから可能なすべての組み合わせを構成します。 3枚のチップが3桁の数字になります。明らかに、私たちの条件では、とは同じチップのセットです。何かを見逃したり、同じことを繰り返したりしないように、適切な情報を用意しています。 3桁の数字上昇：

全て！から始まるすべての可能な組み合わせを検討しました。続けてみましょう:

考えられる結果の合計。

条件があります - 数字の付いたチップを一緒にすべきではありません。これは、たとえば、その組み合わせが私たちに合わないことを意味します。つまり、両方のチップが最初のポケットではなく、2 番目のポケットに入ったことを意味します。私たちにとって有利な結果は、のみ、またはだけが存在する結果です。それらは次のとおりです。

134、135、136、145、146、156、234、235、236、245、246、256 – 合計良好な結果。

この場合、必要な確率はに等しくなります。

数学の統一国家試験ではどのような課題があなたを待っていますか?

そのうちの 1 つを見てみましょう複雑なタスク確率論によれば。

専門分野「言語学」の研究所に入学するには、志願者 Z は統一国家試験で数学、ロシア語、外国語の 3 科目のそれぞれで少なくとも 70 点を獲得する必要があります。商業専攻に登録するには、数学、ロシア語、社会の 3 科目でそれぞれ少なくとも 70 点を獲得する必要があります。

申請者 Z が数学で少なくとも 70 点を獲得する確率は、ロシア語で 0.6 - ロシア語で 0.8 です。外国語- 0.7、社会科では - 0.5。
Z が前述の 2 つの専門分野のうち少なくとも 1 つに登録できる確率を求めます。

この問題は、Z. という名前の申請者が言語学と商業の両方を同時に勉強して 2 つの卒業証書を受け取るかどうかを問うものではないことに注意してください。ここで、Z がこれら 2 つの専門分野の少なくとも 1 つに登録できる確率、つまり、Z が得られる確率を見つける必要があります。必要な数量ポイント。
2 つの専門分野のうち少なくとも 1 つに入学するには、Z は数学で少なくとも 70 点を獲得する必要があります。しかもロシア語で。そしてまた - 社会科または外国語。
彼が数学で 70 点を取る確率は 0.6 です。
数学とロシア語で得点する確率は 0.6 0.8 です。

外国科と社会科に取り組みましょう。私たちに適した選択肢は、申請者が社会科、外国科、またはその両方で得点を獲得している場合です。このオプションは、言語でも社会でも得点が取れなかった場合には適していません。これは、社会科または外国語で少なくとも 70 点を取得して合格する確率は、
1 – 0,5 0,3.
その結果、数学、ロシア語、社会、または外国語に合格する確率は同等です。
0.6 0.8 (1 - 0.5 0.3) = 0.408。これが答えです。

工場でセラミックタイル製造されたタイルの 5% に欠陥があります。製品の品質管理中に、欠陥のあるタイルは 40% のみ検出されます。残りのタイルは販売用に送られます。購入時にランダムに選択されたタイルに欠陥がない確率を求めます。答えを百の位まで四捨五入してください。

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解決

製品の品質管理中に、生産されたタイルの 5% を占める不良タイルの 40% が特定され、販売されません。これは、生産されたタイルの 0.4 · 5% = 2% が販売されないことを意味します。生産された残りのタイル (100% - 2% = 98%) は販売されます。

製造されたタイルの 100% ～ 95% には欠陥がありません。購入したタイルに欠陥がない確率は 95%: 98% = \frac(95)(98)\約 0.97

答え

状態

バッテリーが充電されていない確率は 0.15 です。

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解決

店舗の顧客は、これらのバッテリーが 2 つ含まれるランダムなパッケージを購入します。このパッケージ内の両方のバッテリーが充電される確率を求めます。バッテリーが充電される確率は 1-0.15 = 0.85 です。「両方のバッテリーが充電される」という事象が起こる確率を求めてみましょう。「1番目のバッテリーが充電された」と「2番目のバッテリーが充電された」というイベントをAとBで表すことにします。 P(A) = P(B) = 0.85 が得られました。「両方のバッテリーが充電されている」というイベントはイベント A \cap B の交差点であり、その確率は次のとおりです。 0,7225.

答え

P(A\キャップ B) =

状態

P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 =出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。プロフィールレベル。」エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。新しい確率は洗濯機

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解決

1年以内に彼は入学するだろう保証修理、0.065に等しい。ある都市では、年間 1,200 台の洗濯機が販売され、そのうち 72 台が保証工場に納入されました。この都市における「保証修理」イベントの相対頻度とその確率との違いはどれくらいあるのかを判断してください。

答え

P(A\キャップ B) =

状態

「洗濯機は 1 年以内に保証修理される」という事象の頻度は、

解決策を表示する

解決

\frac(72)(1200) = 0.06。確率とは0.065-0.06=0.005異なります。「両方のバッテリーが充電される」という事象が起こる確率を求めてみましょう。「1番目のバッテリーが充電された」と「2番目のバッテリーが充電された」というイベントをAとBで表すことにします。 P(A) = P(B) = 0.85 が得られました。ペンに欠陥がある確率は 0.05 です。店内の顧客が 2 本のペンが入ったランダムなパッケージを購入します。このパッケージ内の両方のペンが良品である確率を求めてください。 0,9025.

答え

P(A\キャップ B) =

状態

写真は迷路です。カブトムシは迷路の「入口」地点に這い込みます。カブトムシは向きを変えたり、反対方向に這ったりすることができないため、分岐点ごとにまだ通っていない道のいずれかを選択します。先の経路の選択がランダムである場合、カブトムシが出口 D に来る確率はどれくらいですか?

解決策を表示する

解決

カブトムシが移動できる方向の交差点に矢印を配置しましょう（図を参照）。

各交差点で、可能な 2 つの方向から 1 つの方向を選択し、交差点に到着するとカブトムシが選択した方向に移動すると仮定します。

カブトムシが出口 D に到達するには、各交差点で赤い実線で示された方向を選択する必要があります。方向の選択は合計 4 回行われ、毎回、方向の選択が行われます。以前の選択。赤の実線の矢印が毎回選択される確率は次のとおりです。 \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.