サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントのプロパティ。 三角関数
この記事では贈り方を紹介します 三角法における角度と数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義。 ここでは、表記法について説明し、記入例を示し、図解を示します。 結論として、三角法と幾何学におけるサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義の間に類似点を描きましょう。
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サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念がどのように形成されるかを見てみましょう 通学コース数学。 幾何学のレッスンでは、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義が与えられます。 そしてその後、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと数について説明する三角法が研究されます。 これらすべての定義を示し、例を挙げ、必要なコメントを加えましょう。
直角三角形の鋭角
幾何学のコースから、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義がわかりました。 それらは直角三角形の辺の比率として与えられます。 それらの公式を与えてみましょう。
意味。
直角三角形の鋭角の正弦斜辺の反対側の比率です。
意味。
直角三角形の鋭角の余弦隣接する脚と斜辺の比率です。
意味。
直角三角形の鋭角の接線– これは、反対側と隣接する側の比率です。
意味。
直角三角形の鋭角の余接- これは、隣接する側と反対側の比率です。
ここでは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの指定 (それぞれ、sin、cos、tg、ctg) も導入されています。
たとえば、ABC の場合、 直角三角形が直角 C の場合、鋭角 A の正弦は、斜辺 AB に対する反対側 BC の比に等しくなります。つまり、sin∠A=BC/AB となります。
これらの定義を使用すると、直角三角形の辺の既知の長さからだけでなく、鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を計算できます。 既知の値サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、および一方の辺の長さを使用して、もう一方の辺の長さを求めます。 たとえば、直角三角形で脚 AC が 3 に等しく、斜辺 AB が 7 に等しいことがわかっている場合、定義に従って鋭角 A の余弦の値を計算できます: cos∠A=AC/ AB=3/7。
回転角度
三角法では、角度をより広く見るようになり、回転角の概念が導入されます。 鋭角とは異なり、回転角の大きさは 0 ～ 90 度に限定されず、回転角は度単位 (およびラジアン単位) で -∞ ～ +∞ の実数で表すことができます。
この観点から、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は鋭角ではなく、任意の大きさの角度、つまり回転角で与えられます。 それらは、点 A 1 の x 座標と y 座標によって与えられます。いわゆる開始点 A(1, 0) は、直交デカルト座標系の始点である点 O を中心に角度 α だけ回転した後に到達します。そして単位円の中心。
意味。
回転角の正弦αは点Ａ１の縦座標、すなわちｓｉｎα＝ｙである。
意味。
回転角の余弦αは点A 1 の横座標、つまりcosα=xと呼ばれます。
意味。
回転角の正接αは、点A 1 の縦座標とその横座標の比、すなわち、tanα=y/xである。
意味。
回転角の余接αは、点A 1 の横座標とその縦座標の比、すなわち、ctgα=x/yである。
サインとコサインは、開始点を角度 α だけ回転することによって得られる点の横座標と縦座標を常に決定できるため、任意の角度 α に対して定義されます。 ただし、接線と余接はどの角度に対しても定義されていません。 接線は、始点がゼロの横座標 (0, 1) または (0, −1) の点に向かう角度 α に対して定義されておらず、これは角度 90°+180° k、k∈Z (π) で発生します。 /2+π・k rad)。 実際、そのような回転角度では、式 tgα=y/x は意味を持ちません。ゼロによる除算が含まれるからです。 コタンジェントについては、始点が縦座標ゼロの点 (1, 0) または (−1, 0) に向かう角度 α については定義されておらず、これは角度 180° k, k ∈Z で発生します。 (π・k rad)。
したがって、サインとコサインは任意の回転角度に対して定義され、タンジェントは 90°+180°k、k∈Z (π/2+πk rad) を除くすべての角度に対して定義され、コタンジェントは 180° ·k を除くすべての角度に対して定義されます。 、ｋ∈Ｚ（π・ｋラジアン）。
定義には、すでに知られている sin、cos、tg、ctg の指定が含まれています。また、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを指定するためにも使用されます (タンジェントとコタンジェントに対応する Tan と cot の指定が見つかる場合もあります)。 。 したがって、回転角 30 度の正弦は sin30° と書くことができ、エントリ tg(-24°17') と ctgα は、回転角 -24 度 17 分の正接と回転角 α の余接に対応します。 。 角度のラジアン単位を書くとき、「rad」という指定が省略されることが多いことを思い出してください。 たとえば、3 π rad の回転角の余弦は、通常、cos3・πと表されます。
この点の結論として、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについて話すとき、「回転角度」という語句や「回転」という言葉が省略されることが多いことに注意してください。 つまり、通常、「回転角アルファのサイン」という表現の代わりに、「アルファ角のサイン」、またはさらに短い「サイン アルファ」という表現が使用されます。 コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様です。
また、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、0 度から 90 度の範囲の回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについての定義と一致しているとも言えます。 私たちはこれを正当化します。
数字
意味。
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント t は、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント (t ラジアン単位) にそれぞれ等しい数値です。
たとえば、定義上、数値 8 · π のコサインは、8 · π ラジアンの角度のコサインに等しい数値です。 また、8・π rad の角度のコサインは 1 に等しいため、数値 8・π のコサインは 1 に等しくなります。
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。 それは、誰もが 実数 t は直交座標系の原点を中心とする単位円上の点に割り当てられ、この点の座標からサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントが求められます。 これをさらに詳しく見てみましょう。
実数と円上の点との間に対応関係がどのように確立されるかを示しましょう。
- 数値 0 には開始点 A(1, 0) が割り当てられます。
- 正数 t は単位円の点に割り当てられます。開始点から反時計回りに円に沿って移動し、長さ t のパスを歩くと、この点に到達します。
- 負の数 t は単位円の点に関連付けられており、開始点から時計回りに円に沿って移動し、長さ |t| のパスを歩くと到達します。 。
次に、数値 t のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に移ります。 数値ｔが円Ａ １ （ｘ，ｙ）上の点に対応すると仮定する（例えば、数値π２は点Ａ １ （０，１）に対応する）。
意味。
数値の正弦 t は、数値 t に対応する単位円上の点の縦座標、つまり sint=y です。
意味。
数値のコサイン t は、数 t に対応する単位円の点の横座標、つまりコスト = x と呼ばれます。
意味。
数値の正接 t は、番号 t に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比、つまり、tgt=y/x です。 別の同等の公式では、数値 t のタンジェントは、この数値のサインとコサインの比、つまり tgt=sint/cost になります。
意味。
数のコタンジェント t は、番号 t に対応する単位円上の点の横座標と縦座標の比、つまり ctgt=x/y です。 別の公式は次のとおりです。数値 t の正接は、数値 t の余弦と数値 t の正弦の比です: ctgt=cost/sint。
ここで、今与えられた定義がこの段落の冒頭で与えられた定義と一致していることに注意してください。 実際、数ｔに対応する単位円上の点は、始点を角度ｔラジアンだけ回転させた点と一致する。
この点を明確にする価値は依然としてある。 sin3 というエントリがあるとします。 数字の 3 の正弦について話しているのか、それとも 3 ラジアンの回転角の正弦について話しているのかをどのように理解すればよいでしょうか? これは通常、文脈から明らかですが、そうでない場合は、基本的に重要ではない可能性があります。
角度および数値引数の三角関数
前の段落で与えられた定義によれば、各回転角 α は、非常に特定の値 sinα および値 cosα に対応します。 なお、90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) 以外のすべての回転角度は tgα 値に対応し、180°k, k∈Z (πk rad) 以外の値は - 値に対応します。 ctgαの。 したがって、sinα、cosα、tanα、ctgα は角度 α の関数です。 言い換えれば、これらは角度引数の関数です。
数値引数の関数サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様に言えます。 実際、各実数 t は、コストだけでなく非常に具体的な値 sint に対応します。 また、π/2+π・k,k∈Z以外の数値は値tgtに、数値π・k,k∈Z-値はctgtに対応します。
関数はサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと呼ばれます。 基本的な三角関数.
通常、角度引数の三角関数を扱っているのか、それとも数値引数の三角関数を扱っているのかは、文脈から明らかです。 それ以外の場合は、独立変数を角度の尺度 (角度引数) と数値引数の両方として考えることができます。
しかし、学校では主に勉強します。 数値関数、つまり、対応する関数値と同様に、引数が数値である関数です。 したがって、特に関数について話している場合は、三角関数を数値引数の関数として考えることをお勧めします。
幾何学と三角法の定義の関係
回転角 α が 0 ～ 90 度の範囲であると考えると、三角法の文脈における回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、三角関数のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と完全に一致します。幾何学のコースで与えられる直角三角形の鋭角。 これを正当化しましょう。
直交デカルト座標系 Oxy で単位円を描いてみましょう。 開始点 A(1, 0) をマークしましょう。 これを 0 ～ 90 度の範囲の角度 α だけ回転させて、点 A 1 (x, y) を取得します。 点 A 1 から Ox 軸への垂線 A 1 H を落としてみましょう。
直角三角形では、角度 A 1 OH が回転角 α に等しく、この角度に隣接する脚 OH の長さが点 A 1 の横座標、つまり |OH に等しいことが簡単にわかります。 |=x、角度と反対側の足の長さ A 1 H は点 A 1 の縦軸に等しく、つまり |A 1 H|=y、斜辺 OA 1 の長さは 1 に等しい。それは単位円の半径だからです。 次に、幾何学からの定義により、直角三角形 A 1 OH の鋭角 α の正弦は、斜辺に対する反対側の脚の比に等しくなります。つまり、sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y。 そして、三角法の定義により、回転角αの正弦は点Ａ １ の縦座標に等しい、すなわち、ｓｉｎα＝ｙである。 これは、直角三角形の鋭角の正弦を求めることは、α が 0 ～ 90 度の場合の回転角 α の正弦を求めることと同等であることを示しています。
同様に、鋭角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、回転角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と一致していることがわかります。
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サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念は、数学の一分野である三角法の主要なカテゴリーであり、角度の定義と密接に関係しています。 この数学を習得するには、公式や定理の暗記と理解、そして空間的思考の発達が必要です。 三角関数の計算が学童や学生にとってしばしば困難を引き起こすのはこのためです。 これらを克服するには、三角関数と公式にもっと慣れる必要があります。
三角法の概念
三角法の基本概念を理解するには、まず直角三角形と円の角度とは何か、そしてすべての基本的な三角法の計算がそれらに関連する理由を理解する必要があります。 角の 1 つが 90 度である三角形は長方形です。 歴史的に、この数字は建築、航海、芸術、天文学の分野でよく使用されていました。 したがって、人々はこの図形の特性を研究し分析することによって、そのパラメータの対応する比率を計算するようになりました。
直角三角形に関連する主なカテゴリは、斜辺と脚です。 斜辺 - 三角形の反対側の辺 直角。 脚はそれぞれ残りの 2 つの側面です。 三角形の角度の合計は常に 180 度になります。
球面三角法は三角法の一部であり、学校では学習しませんが、天文学や測地学などの応用科学では科学者が使用しています。 球面三角法の三角形の特徴は、角度の合計が常に 180 度を超えることです。
三角形の角度
直角三角形では、角度の正弦は、三角形の斜辺に対する目的の角度の反対側の脚の比率です。 したがって、コサインは隣接する脚と斜辺の比になります。 斜辺は常に脚よりも長いため、これらの値は両方とも常に 1 より小さい値になります。
角度の正接は、目的の角度の反対側と隣接する側の比、またはサインとコサインの比に等しい値です。 コタンジェントは、目的の角度の隣接する側と反対側の比です。 角度の余接は、1 を接線値で割ることによっても取得できます。
単位円
幾何学における単位円は、半径が 1 に等しい円です。 このような円は、円の中心が原点と一致するデカルト座標系で構築されます。 開始位置動径ベクトルは、X 軸 (横軸) の正の方向によって決まります。 円上の各点には、XX と YY の 2 つの座標、つまり横座標と縦座標があります。 XX 平面内の円上の任意の点を選択し、そこから横軸に垂線を引くと、選択した点 (文字 C で示される) までの半径によって形成される直角三角形が得られ、垂線は X 軸に引かれます。 （交点は文字 G で示されます）、横軸の線分は座標原点（点は文字 A で示されます）と交点 G の間にあります。得られる三角形 ACG は、 に内接する直角三角形です。円。AG は斜辺、AC と GC は脚です。 円ＡＣの半径とＡＧで示される横軸のセグメントとの間の角度は、α（アルファ）として定義される。 したがって、cos α = AG/AC となります。 AC が単位円の半径であり、1 に等しいと考えると、cos α=AG であることがわかります。 同様に、sinα=CGです。
さらに、このデータがわかれば、cos α=AG、sin α=CG であるため、円上の点 C の座標を決定できます。これは、点 C が指定された座標 (cos α;sin α) を持つことを意味します。 タンジェントがサインとコサインの比に等しいことがわかっているので、tan α = y/x、cot α = x/y と判断できます。 負の座標系で角度を考慮すると、一部の角度のサイン値とコサイン値が負になる可能性があることを計算できます。
計算と基本的な公式
三角関数の値
本質を考えた上で 三角関数単位円を通じて、いくつかの角度に対するこれらの関数の値を導き出すことができます。 値は以下の表に記載されています。
最も単純な三角恒等式
三角関数の符号に次の式が含まれる方程式 未知の値、三角関数と呼ばれます。 値 sin x = α, k - 任意の整数を持つ恒等式:
- sin x = 0、x = πk。
- 2. sin x = 1、x = π/2 + 2πk。
- sin x = -1、x = -π/2 + 2πk。
- sin x = a, |a| > 1、解決策はありません。
- sin x = a, |a| ≦ 1、x = (-1)^k * arcsin α + πk。
値 cos x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):
- cos x = 0、x = π/2 + πk。
- cos x = 1、x = 2πk。
- cos x = -1、x = π + 2πk。
- cos x = a, |a| > 1、解決策はありません。
- cos x = a, |a| ≦ 1、x = ±arccos α + 2πk。
値 tg x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):
- Tan x = 0、x = π/2 + πk。
- Tan x = a、x = arctan α + πk。
値 ctg x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):
- cot x = 0、x = π/2 + πk。
- ctg x = a、x = arcctg α + πk。
還元式
このカテゴリの定数式は、形式の三角関数から引数の関数に移行できるメソッドを示します。つまり、任意の値の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを、角度の対応するインジケーターに換算します。計算を容易にするために、0 から 90 度までの間隔を設定します。
角度の正弦に対する換算関数の公式は次のようになります。
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600+α)=sinα。
角度の余弦の場合:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α。
上記の式は 2 つの規則に従って使用できます。 まず、角度が値 (π/2 ± a) または (3π/2 ± a) として表現できる場合、関数の値は次のように変化します。
- 罪から余程まで。
- コスから罪へ。
- tgからctgへ。
- ctgからtgへ。
角度が (π ± a) または (2π ± a) で表せる場合、関数の値は変わりません。
第 2 に、還元された関数の符号は変化しません。最初に正であった場合、そのまま残ります。 負の関数も同様です。
加算式
これらの公式は、三角関数を通じて 2 つの回転角の和と差のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を表します。 通常、角度はαとβで表されます。
式は次のようになります。
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin。
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin。
- Tan(α ± β) = (tg α ± Tan β) / (1 ∓ Tan α * Tan β)。
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)。
これらの式は、任意の角度 α および β に対して有効です。
二重角と三重角の公式
２倍角三角関数、３倍角三角関数は、それぞれ、角度２α、３αの関数と、角度αの三角関数とを関係付ける式である。 加算式から導出される:
- sin2α = 2sinα*cosα。
- cos2α = 1 - 2sin^2 α。
- Tan2α = 2tgα / (1 - Tan^2 α)。
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α。
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα。
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)。
和から積への遷移
この式を簡略化して 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) と考えると、恒等 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 が得られます。 同様に、sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; Tanα + Tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)。
積から和への遷移
これらの公式は、和から積への遷移の恒等式から導き出されます。
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*。
度数換算式
これらの恒等式では、サインとコサインの 2 乗と 3 乗は、倍角の 1 乗のサインとコサインで表現できます。
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8。
汎用置換
普遍三角関数置換の公式は、半角の正接に関して三角関数を表します。
- sin x = (2tgx/2) * (1 + Tan^2 x/2)、x = π + 2πn;
- cos x = (1 - Tan^2 x/2) / (1 + Tan^2 x/2)、ここで x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2)、ここで x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2)、x = π + 2πn。
特殊な場合
原虫の特殊なケース 三角方程式を以下に示します (k は任意の整数)。
正弦の商:
| 罪×値 | x値 |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk または 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk または -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk または 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk または -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk または 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk または -2π/3 + 2πk |
コサインの商:
| cos x 値 | x値 |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4+2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
接線の商:
| tg×値 | x値 |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
コタンジェントの商:
| ctg x 値 | x値 |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
定理
正弦定理
定理には、単純なものと拡張されたものの 2 つのバージョンがあります。 単純な正弦定理: a/sin α = b/sin β = c/sin γ。 この場合、a、b、c は三角形の辺、α、β、γ はそれぞれ対角です。
任意の三角形の拡張正弦定理: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R。 この恒等式において、R は与えられた三角形が内接する円の半径を示します。
コサイン定理
恒等式は次のように表示されます: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α。 式中、a、b、c は三角形の辺、α は辺 a の対角です。
正接定理
この公式は、2 つの角度の接線とその反対側の長さの関係を表します。 辺には a、b、c のラベルが付けられ、対応する対角は α、β、γ となります。 正接定理の公式: (a - b) / (a+b) = Tan((α - β)/2) / Tan((α + β)/2)。
余接定理
三角形に内接する円の半径と辺の長さを結びます。 a、b、c が三角形の辺、A、B、C がそれぞれその対角、r が内接円の半径、p が三角形の半周長である場合、次のようになります。 ID は有効です:
- cot A/2 = (p-a)/r;
- cot B/2 = (p-b)/r;
- cot C/2 = (p-c)/r。
応用
三角法 - それだけではありません 理論科学に関連した 数式。 その特性、定理、規則はさまざまな業界で実際に使用されています。 人間の活動— 天文学、航空および海洋航法、音楽理論、測地学、化学、音響学、光学、エレクトロニクス、建築、経済学、機械工学、測定作業、 コンピュータグラフィックス、地図作成、海洋学、その他多数。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは三角法の基本概念であり、これを利用して三角形の辺の角度と長さの関係を数学的に表現したり、恒等式、定理、法則を通じて必要な数量を求めることができます。
基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) 間の関係が示されています。 三角関数の公式。 そして、三角関数間には非常に多くの関連性があるため、これが三角関数の公式の豊富さを説明しています。 同じ角度の三角関数を接続する公式もあれば、複数の角度の関数を接続する公式もあれば、次数を減らすことができる公式もあり、4 番目の関数は半角の正接ですべての関数を表現することもできます。
この記事では、主要なものをすべて順番にリストします。 三角関数の公式, これは、三角法の問題の大部分を解決するのに十分です。 覚えやすく、使いやすいように、目的別にグループ化して表に入力します。
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基本的な三角恒等式
基本 三角恒等式 1 つの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの関係を定義します。 これらは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と単位円の概念から導き出されます。 これらを使用すると、1 つの三角関数を他の三角関数で表現できます。
これらの三角法の公式、その導出、および応用例の詳細な説明については、この記事を参照してください。
還元式
還元式サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの特性から導き出されます。つまり、それらは三角関数の周期性の特性、対称性の特性、および特定の角度によるシフトの特性を反映しています。 これらの三角関数の公式を使用すると、任意の角度での作業から、0 度から 90 度の範囲の角度での作業に移行できます。
これらの公式の理論的根拠、それらを記憶するための記憶規則、およびその適用例については、この記事で学ぶことができます。
加算式
三角関数の加算公式 2 つの角度の和または差の三角関数がそれらの角度の三角関数でどのように表現されるかを示します。 これらの公式は、次の三角関数の公式を導き出すための基礎として機能します。
ダブル、トリプルなどの公式。 角度
ダブル、トリプルなどの公式。 角度 (複数の角度の公式とも呼ばれます) は、2 倍、3 倍などの三角関数がどのように計算されるかを示します。 角度 () は、単一の角度の三角関数で表されます。 それらの導出は加算公式に基づいています。
より詳細な情報は、ダブル、トリプルなどの記事の計算式にまとめられています。 角度
半角の公式
半角の公式半角の三角関数が全角の余弦でどのように表現されるかを示します。 これらの三角関数の公式は、倍角の公式から導かれます。
彼らの結論と応用例は記事に記載されています。
度数換算式
次数を減らすための三角関数の公式からの移行を促進することを目的としています。 自然度サインとコサインを 1 次までの三角関数に変換しますが、複数の角度に対応します。 言い換えれば、三角関数の累乗を 1 乗に減らすことができます。
三角関数の和と差の公式
主な目的 三角関数の和と差の公式これは、関数の積を計算することです。これは、三角関数の式を簡略化するときに非常に便利です。 これらの公式は、サインとコサインの和と差を因数分解できるため、三角方程式を解く際にも広く使用されています。
サイン、コサイン、サインとコサインの積の公式
三角関数の積から和または差への変換は、サイン、コサイン、およびサインとコサインの積の公式を使用して実行されます。
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直角三角形を解く問題が検討された場合、私はサインとコサインの定義を覚えるためのテクニックを紹介することを約束しました。 これを使用すると、どの辺が斜辺に属するか (隣接または反対側) をいつでもすぐに思い出すことができます。 あまり長く放置しないことに決めたのですが、 必要な材料以下、読んでください😉
実際、私は 10 年生から 11 年生の生徒がこれらの定義を覚えるのがいかに難しいかを繰り返し観察してきました。 彼らは脚が斜辺を指すことをよく覚えていますが、どれが斜辺なのか- 彼らは忘れてしまいます、そして 混乱した。 試験ではご存知のとおり、間違いの代償は減点です。
私が紹介する情報は数学とは直接関係ありません。 それは比喩的思考と言語的論理的コミュニケーションの方法に関連しています。 まさにそれが私が覚えている方法です、一度きり定義データ。 忘れてしまっても、ここで紹介するテクニックを使えばいつでも簡単に思い出すことができます。
直角三角形のサインとコサインの定義を思い出してください。
余弦直角三角形の鋭角は、隣接する脚と斜辺の比です。
副鼻腔直角三角形の鋭角は、斜辺に対する反対側の辺の比です。
それでは、コサインという言葉からどのような連想を抱きますか?
おそらく誰もが独自のものを持っています😉リンクを覚えておいてください:
したがって、その表現はすぐにあなたの記憶に現れます -
«… ADJACENT 脚と斜辺の比».
コサインの決定に関する問題は解決されました。
直角三角形のサインの定義を覚えておく必要がある場合は、コサインの定義を覚えておけば、直角三角形の鋭角のサインが斜辺に対する反対側の辺の比であることを簡単に証明できます。 結局のところ、脚は 2 つしかありません。隣接する脚がコサインによって「占有」されている場合、反対側の脚だけがサインとともに残ります。
タンジェントとコタンジェントはどうでしょうか？ 混乱も同様だ。 生徒はこれが脚の関係であることは知っていますが、問題は、どちらがどの脚を指すのか、つまり反対側と隣接する脚、またはその逆を思い出すことです。
定義:
正接直角三角形の鋭角は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
コタンジェント直角三角形の鋭角は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
どうやって覚えるの？ 方法は 2 つあります。 1 つは言語と論理の接続を使用し、もう 1 つは数学的な接続を使用します。
数学的方法
そのような定義があります - 鋭角のタンジェントは、角度のサインとコサインの比です。
*公式を覚えておけば、直角三角形の鋭角の接線が、隣り合う辺に対する反対側の辺の比であることをいつでも求めることができます。
同じく。鋭角のコタンジェントは、角度の余弦とその正弦の比です。
それで！ これらの公式を覚えておけば、いつでも次のことを判断できます。
- 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
— 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
ワードロジカルメソッド
タンジェントについて。 リンクを覚えておいてください:
つまり、接線の定義を覚える必要がある場合、この論理接続を使用すると、接線が何であるかを簡単に思い出すことができます。
「...隣り合う辺に対する反対側の辺の比率」
コタンジェントについて話す場合、タンジェントの定義を覚えていれば、コタンジェントの定義を簡単に説明できます。
「…隣接する辺と反対側の比率」
タンジェントとコタンジェントを覚えるための興味深いトリックがウェブサイトにあります " 数学的タンデム " 、 見て。
ユニバーサルメソッド
暗記するだけで済みます。しかし、実践が示すように、言語と論理のつながりのおかげで、人は数学的な情報だけでなく、情報を長期間記憶します。
この資料がお役に立てば幸いです。
よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク
P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。
講義： 任意の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
任意の角度のサイン、コサイン
三角関数とは何かを理解するために、単位半径の円を見てみましょう。 この円は座標平面上の原点に中心があります。 決定するには 指定された関数半径ベクトルを使用します または、円の中心から始まり、点 R円上の点です。 この半径ベクトルは軸と角度 α を形成します。 おお。 円には半径があるので、 1に等しい、 それ OR = R = 1.
点からすれば R軸に対する垂直を下げる おおそうすると、斜辺が 1 に等しい直角三角形が得られます。
半径ベクトルが時計回りに移動する場合、この方向は次のように呼ばれます。 ネガティブ、反時計回りに動く場合 - ポジティブ.
角度の正弦 または、点の縦座標です R円上のベクトル。
つまり、指定された角度アルファのサインの値を取得するには、座標を決定する必要があります。 U飛行機の中。
この値はどのようにして得られたのでしょうか? 直角三角形の任意の角度の正弦は、反対側の脚と斜辺の比であることがわかっているので、次のようになります。
そしてそれ以来 R=1、 それ sin(α) = y 0 .
単位円では、縦座標値は -1 より小さく、1 より大きい値にすることはできません。つまり、
副鼻腔は受け入れます 正の値単位円の第 1 四半期と第 2 四半期、および第 3 四半期と第 4 四半期はマイナスです。
角度の余弦半径ベクトルによって形成される与えられた円 または, は点の横座標です R円上のベクトル。
つまり、指定された角度アルファのコサイン値を取得するには、座標を決定する必要があります。 ×飛行機の中。
直角三角形の任意の角度の余弦は、隣接する脚と斜辺の比です。
そしてそれ以来 R=1、 それ cos(α) = x 0 .
単位円では、横軸の値は -1 より小さく、1 より大きくすることはできません。つまり、
コサインは、単位円の第 1 四半期と第 4 四半期では正の値をとり、第 2 四半期と第 3 四半期では負の値をとります。
正接任意の角度サインとコサインの比率が計算されます。
直角三角形を考える場合、これは隣接する辺に対する反対側の辺の比です。 単位円について話している場合、これは縦軸と横軸の比率です。
これらの関係から判断すると、横軸の値がゼロ、つまり角度が 90 度の場合、接線は存在できないことがわかります。 タンジェントは他のすべての値を取ることができます。
接線は、単位円の第 1 四半期と第 3 四半期では正であり、第 2 四半期と第 4 四半期では負です。
