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統一国家試験の確率に関する問題の解き方。確率論の基本公式

イベント $A$ の確率は、$A$ にとって有利な結果の数と、同様に起こり得るすべての結果の数の比率です。

$P(A)=(m)/(n)$、ここで $n$ は考えられる結果の総数、$m$ はイベント $A$ にとって有利な結果の数です。

イベントの確率はセグメント $$ からの数値です

タクシー会社は$50$を用意しています乗用車。そのうち $35$ は黒、残りは黄色です。

黄色の車がランダムな呼び出しに応答する確率を求めます。

黄色い車の台数を調べてみましょう。

合計 50 ドルの車があり、50 台に 1 台が電話に応答します。黄色の車の価格は $15$、したがって、黄色の車が到着する確率は $(15)/(50)=(3)/(10)=0.3$ となります。

答え: $0.3$

反対の出来事

特定のテストで 2 つのイベントに互換性がなく、そのうちの 1 つが必然的に発生する場合、2 つのイベントは反対と呼ばれます。反対の事象の確率は合計すると 1 になります。事象 $A$ の反対の事象は $((A))↖(-)$ と書きます。

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

自主イベント

2 つのイベント $A$ と $B$ は、それぞれの発生確率が他のイベントが発生したかどうかに依存しない場合、独立していると呼ばれます。それ以外の場合、イベントは依存していると呼ばれます。

2 つの独立したイベント $A$ と $B$ の積の確率は、次の確率の積に等しくなります。

$P(A・B)=P(A)・P(B)$

イワン・イワノビッチは2つの異なる宝くじを購入しました。最初の宝くじが当たる確率は 0.15 ドルです。 2 番目の宝くじが当たる確率は $0.12$ です。イワン・イワノビッチは両方の抽選に参加する。抽選が互いに独立して行われると仮定して、両方の抽選でイワン・イワノビッチが勝つ確率を求めます。

確率 $P(A)$ - 最初のチケットが当たります。

確率 $P(B)$ - 2 番目のチケットが当たります。

2 つの独立したイベント $A$ と $B$ の積の確率は、次の確率の積に等しくなります。

イベント $A$ と $B$ は独立したイベントです。つまり、両方のイベントが発生する確率を見つけるには、確率の積を見つける必要があります。

$Р=0.15・0.12=0.018$

答え: $0.018$

互換性のないイベント

イベント $A$ とイベント $B$ の両方に有利な結果がない場合、2 つのイベント $A$ と $B$ は互換性がないと呼ばれます。 (同時には起こり得ない出来事) 2 の和の確率互換性のないイベント

$A$ と $B$ は、次のイベントの確率の合計に等しくなります。

代数学の試験では、学生はすべての試験問題の中から 1 つの問題を受け取ります。おそらくこれは「」に関する質問です。二次方程式"、$0.3$ に相当します。これが無理方程式の問題である確率は $0.18$ です。これら 2 つのトピックに同時に関連する質問はありません。学生が試験でこれら 2 つのトピックのいずれかに関する質問を受ける確率を求めます。

学生はトピック「二次方程式」またはトピック「無理数方程式」のいずれかに関する質問を受けるため、これらのイベントは互換性がないと呼ばれます。トピックを同時に見つけることはできません。 2 つの互換性のないイベント $A$ と $B$ の合計の確率は、これらのイベントの確率の合計に等しくなります。

$A$ と $B$ は、次のイベントの確率の合計に等しくなります。

$P = 0.3+0.18=0.48$

答え: $0.48$

共同イベント

2 つのイベントは、一方の発生が同じ試験内で他方の発生を排除しない場合、「同時」と呼ばれます。それ以外の場合、イベントは互換性がないと呼ばれます。

2 つの共同イベント $A$ と $B$ の合計の確率は、これらのイベントの確率の合計からそれらの積の確率を引いたものに等しくなります。

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

映画館では、2 台の同じ機械がコーヒーを販売しています。一日の終わりまでにマシンのコーヒーがなくなる確率は $0.6$ です。両方のマシンのコーヒーがなくなる確率は $0.32$ です。一日の終わりまでに少なくとも 1 台のマシンでコーヒーがなくなる確率を求めます。

イベントを次のように表します。

$A$ = 最初のマシンではコーヒーがなくなります、

$B$ = 2 台目のマシンではコーヒーがなくなります。

$A·B =$ 両方のマシンでコーヒーがなくなる、

$A + B =$ コーヒーは少なくとも 1 台のマシンでなくなります。

条件によれば、$P(A) = P(B) = 0.6; P(A・B) = 0.32 ドル。

イベント $A$ と $B$ は結合しており、2 つの結合イベントの合計の確率は、これらのイベントの確率の合計を、それらの積の確率で減算したものに等しくなります。

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0.6 + 0.6 − 0.32 = 0.88$

でショッピングセンター 2 台の同一の機械がコーヒーを販売しています。機械のメンテナンスはセンター閉館後の夕方に行われます。「夕方までに最初のマシンのコーヒーがなくなる」という出来事が起こる確率は 0.25 であることが知られています。「夕方までに2台目のコーヒーがなくなる」という出来事が起こる確率は同じです。夕方までに両方のマシンのコーヒーがなくなる確率は 0.15 です。夕方までに両方のマシンにコーヒーが残っている確率を求めます。

解決。

イベントを考慮してください

A = 最初のマシンではコーヒーがなくなり、

B = 2 台目のマシンではコーヒーがなくなります。

A B = 両方のマシンでコーヒーがなくなる、

A + B = コーヒーは少なくとも 1 台のマシンでなくなります。

条件によると、P(A) = P(B) = 0.25; P(A・B) = 0.15。

イベント A と B は結合しており、2 つの結合イベントの合計の確率は、これらのイベントの確率の合計をその積の確率で減算したものに等しくなります。

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0.25 + 0.25 − 0.15 = 0.35。

したがって、コーヒーが両方のマシンに残るという逆の事象の確率は、1 − 0.35 = 0.65 となります。

答え: 0.65。

別の解決策を示しましょう。

コーヒーが最初のマシンに残る確率は、1 − 0.25 = 0.75 です。コーヒーが 2 台目のマシンに残る確率は、1 − 0.25 = 0.75 です。 1 台目または 2 台目のマシンにコーヒーが残る確率は、1 − 0.15 = 0.85 です。 P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) なので、次のようになります。 0.85 = 0.75 + 0.75 − ×、必要な確率はどこから来るのでしょうか？ × = 0,65.

注記。

イベント A と B は独立していないことに注意してください。実際、独立したイベントを生成する確率は、これらのイベントの確率の積、P(A・B) = 0.25・0.25 = 0.0625 に等しくなりますが、条件によれば、この確率は 0.15 に等しくなります。

エレナ・アレクサンドロヴナ・ポポワ 10.10.2018 09:57

教育学の候補者である准教授である私は、学童に付随する行事に関する課題を含めることはまったく愚かでばかげていると考えています。教師はこのセクションを知りません - 私は教師養成コースでテレビの講義をするように招待されました。このセクションはプログラムに含まれておらず、含めることもできません。正当な理由なく方法を発明する必要はありません。この種のタスクは簡単に削除できます。確率の古典的な定義に限定してください。その場合でも、まず学校の教科書を研究し、著者がこれについてどう書いているかを確認してください。ズバレバの5年生を見てください。彼女は記号さえ知らず、確率をパーセンテージで示します。そのような教科書で学んだ後でも、学生は確率がパーセンテージであると信じています。古典的な確率の決定には興味深い問題が数多くあります。これは小学生が問うべきことです。このような課題を導入したあなたの愚かさに対する大学教師の憤りには限りがありません。

工場でセラミックタイル製造されたタイルの 5% に欠陥があります。製品の品質管理中に、欠陥のあるタイルは 40% のみ検出されます。残りのタイルは販売用に送られます。購入時にランダムに選択されたタイルに欠陥がない確率を求めます。答えを百の位まで四捨五入してください。

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解決

製品の品質管理中に、生産されたタイルの 5% を占める不良タイルの 40% が特定され、販売されません。これは、生産されたタイルの 0.4 · 5% = 2% が販売されないことを意味します。生産された残りのタイル (100% - 2% = 98%) は販売されます。

製造されたタイルの 100% ～ 95% には欠陥がありません。購入したタイルに欠陥がない確率は 95%: 98% = \frac(95)(98)\約 0.97

答え

状態

バッテリーが充電されていない確率は 0.15 です。

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解決

店舗の顧客は、これらのバッテリーが 2 つ含まれるランダムなパッケージを購入します。このパッケージ内の両方のバッテリーが充電される確率を求めます。バッテリーが充電される確率は 1-0.15 = 0.85 です。「両方のバッテリーが充電される」という事象が起こる確率を求めてみましょう。「1番目のバッテリーが充電された」と「2番目のバッテリーが充電された」というイベントをAとBで表すことにします。 P(A) = P(B) = 0.85 が得られました。「両方のバッテリーが充電されている」というイベントはイベント A \cap B の交差点であり、その確率は次のとおりです。 0,7225.

答え

P(A\キャップ B) =

状態

P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 =出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。プロフィールレベル。」エド。 F. F. リセンコ、S. ユ。新しい確率は洗濯機

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解決

1年以内に彼は入学するだろう保証修理、0.065に等しい。ある都市では、年間 1,200 台の洗濯機が販売され、そのうち 72 台が保証工場に引き渡されました。この都市における「保証修理」イベントの発生の相対頻度がその確率とどれだけ異なるかを判断しますか?

答え

P(A\キャップ B) =

状態

「洗濯機は 1 年以内に保証修理される」という事象の頻度は、

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解決

\frac(72)(1200) = 0.06。確率とは0.065-0.06=0.005異なります。「両方のバッテリーが充電される」という事象が起こる確率を求めてみましょう。「1番目のバッテリーが充電された」と「2番目のバッテリーが充電された」というイベントをAとBで表すことにします。 P(A) = P(B) = 0.85 が得られました。ペンに欠陥がある確率は 0.05 です。店内の顧客が 2 本のペンが入ったランダムなパッケージを購入します。このパッケージ内の両方のペンが良品である確率を求めてください。 0,9025.

答え

P(A\キャップ B) =

状態

写真は迷路です。カブトムシは迷路の「入口」地点に這い込みます。カブトムシは向きを変えたり、反対方向に這ったりすることができないため、分岐点ごとにまだ通っていない道のいずれかを選択します。先の経路の選択がランダムである場合、カブトムシはどのくらいの確率で出口 D に来ますか。

解決策を表示する

解決

カブトムシが移動できる方向の交差点に矢印を配置しましょう（図を参照）。

各交差点で、可能な 2 つの方向から 1 つの方向を選択し、交差点に到着するとカブトムシが選択した方向に移動すると想定します。

カブトムシが出口 D に到達するには、各交差点で赤い実線で示された方向を選択する必要があります。方向の選択は合計 4 回行われ、毎回、方向の選択が行われます。以前の選択。赤の実線の矢印が毎回選択される確率は次のとおりです。 \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

答え

P(A\キャップ B) =

状態

このセクションには 16 人の選手が参加しており、その中には友人のオリヤとマーシャの 2 人が含まれています。アスリートはランダムに 4 つの同じグループに割り当てられます。オリヤとマーシャが同じグループになる確率を求めます。

現在までに、数学における統一州試験問題の公開バンク (mathege.ru) に提示されており、その解法は確率の古典的な定義である 1 つの公式のみに基づいています。

数式を理解する最も簡単な方法は、例を使用することです。
例1.かごの中には赤いボールが9個、青いボールが3個あります。ボールの色が違うだけです。そのうちの 1 つをランダムに (見ずに) 取り出します。このようにして選ばれたボールが青になる確率はどれくらいでしょうか?

コメント。確率の問題では、何かが起こります (この場合、ボールを引くというアクション)。異なる結果- 結果。結果はさまざまな方法で見ることができることに注意してください。「何らかのボールを引き出した」というのも結果だ。「青いボールを引き抜きました」 - 結果。「すべての可能なボールの中からまさにこのボールを取り出した」 - この最も一般化されていない結果の見方は、基本的な結果と呼ばれます。確率を計算する式で意味されるのは基本的な結果です。

解決。次に、青いボールが選択される確率を計算してみましょう。
イベントA：「選んだボールが青だった」
総数考えられるすべての結果: 9+3=12 (描画できるすべてのボールの数)
イベント A に有利な結果の数: 3 (イベント A が発生したそのような結果の数、つまり青いボールの数)
P(A)=3/12=1/4=0.25
答え: 0.25

同じ問題で、赤いボールが選択される確率を計算してみましょう。
考えられる結果の総数は同じ 12 です。好ましい結果の数: 9。求められる確率: 9/12=3/4=0.75

あらゆる事象の確率は常に 0 から 1 の間にあります。
日常会話では (確率論ではありませんが)、出来事の確率がパーセンテージとして推定されることがあります。数学と会話のスコア間の移行は、100% を乗算 (または除算) することによって行われます。
それで、
さらに、起こり得ない出来事の確率はゼロです、信じられないほどです。たとえば、この例では、これはバスケットから緑色のボールを引き出す確率になります。 (式を使用して計算すると、好ましい結果の数は 0、P(A)=0/12=0 になります)
確率 1 には、オプションなしで絶対に確実に起こるイベントがあります。たとえば、「選択したボールが赤か青になる」という確率がタスクに適用されます。 (良好な結果の数: 12、P(A)=12/12=1)

確率の定義を説明する古典的な例を見てみましょう。どれも似たような統一国家試験のタスク確率論によれば、この公式を使用して解決されます。
赤と青のボールの代わりに、リンゴと梨、男の子と女の子、学習したチケットと未学習のチケット、特定のトピックに関する質問を含むチケットと含まないチケット (試作品)、欠陥のある高品質のバッグや庭のポンプ (プロトタイプ、) - 原則は変わりません。

それらは理論問題の定式化においてわずかに異なります統一国家試験の確率、特定の日にイベントが発生する確率を計算する必要があります。 ( 、 ) 前の問題と同様に、基本的な結果が何かを判断し、同じ公式を適用する必要があります。

例2。会議は3日間続きます。 1 日目と 2 日目はそれぞれ 15 名、3 日目は 20 名です。レポートの順番が抽選で決まった場合、M 先生のレポートが 3 日目に当たる確率はどのくらいですか?

ここでの基本的な結果は何でしょうか? – 教授のレポートに、スピーチに対して考えられるすべてのシリアル番号の 1 つを割り当てます。 15+15+20=50 名が抽選に参加します。したがって、M 教授のレポートは 50 件のうちの 1 件を受ける可能性があります。これは、基本的な結果が 50 個しかないことを意味します。
好ましい結果は何ですか? - 教授が3日目に講演することが判明したもの。つまり、最後の 20 個の数字です。
式によれば、確率 P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
答え: 0.4

ここでのくじ引きは、人々と秩序ある場所との間にランダムな対応関係が確立されることを表しています。例 2 では、特定の人物がどの場所を占めることができるかという観点からマッチングを検討しました。同じ状況を反対側からアプローチすることもできます。つまり、どの人々がどのような確率で特定の場所 (プロトタイプ、、、 ) に到達できるかということです。

例 3.抽選にはドイツ人５人、フランス人８人、エストニア人３人が含まれる。最初 (/2 番目/7 番目/最後 – 関係ありません) がフランス人である確率はどれくらいですか。

基本結果の数は、くじ引きによって特定の場所に入ることができるすべての人の数です。 5+8+3=16人です。
好ましい結果 - フランス語。 8人。
必要な確率: 8/16=1/2=0.5
答え: 0.5

プロトタイプは少し異なります。コイン () とサイコロ () に関する問題がまだ残っていますが、これはもう少し創造的です。これらの問題の解決策はプロトタイプのページで見つけることができます。

ここでは、コインやサイコロを投げる例をいくつか紹介します。

例4.コインを投げたとき、表が出る確率はどのくらいでしょうか?
結果は 2 つあります - 表または裏。 (コインが端に着地することはないと考えられています) 有利な結果は裏、1 です。
確率 1/2=0.5
答え: 0.5。

例5。コインを2回投げたらどうなるでしょうか？両方とも表になる確率はどれくらいですか?
重要なことは、2 枚のコインを投げるときにどの基本的な結果を考慮するかを決定することです。 2 枚のコインを投げた後、次のいずれかの結果が発生する可能性があります。
1) PP – 2回とも表でした
2) PO – 初回表、2回目表
3) OP – 1 回目は表、2 回目は裏
4) OO – 両方とも表が出た
他に選択肢はありません。これは、基本的な結果が 4 つあることを意味します。最初の 1 つだけが有利です。
確率: 1/4=0.25
答え: 0.25

コインを 2 回投げて裏が出る確率はどれくらいですか?
基本的な結果の数は同じ 4 です。好ましい結果は 2 番目と 3 番目の 2 です。
尾が 1 つになる確率: 2/4=0.5

このような問題では、別の公式が役立つ場合があります。
コインを 1 回投げるとき可能なオプション結果が 2 つあり、2 回投げた場合の結果は 2 2 = 2 2 = 4 (例 5 と同様)、3 回投げた場合は 2 2 2 = 2 3 = 8、4 回投げた場合は 2 2 2 2 =2 4 = となります。 16, ... N 回のスローの場合、考えられる結果は 2·2·...·2=2 N になります。

したがって、5 回のコイントスで 5 つの表が出る確率を求めることができます。
基本的な結果の総数: 2 5 = 32。
好ましい結果: 1. (RRRRRR – 5 回すべて表)
確率: 1/32=0.03125

ダイスについても同様です。 1 回投げると、6 通りの結果が得られます。つまり、2 回投げた場合は 6 6 = 36、3 回投げた場合は 6 6 6 = 216 となります。

例6。サイコロを投げます。偶数が出る確率はどれくらいですか?

合計結果: 面の数に応じて 6。
良好: 3 つの結果。 (2、4、6)
確率: 3/6=0.5

例7。私たちはサイコロを 2 つ投げます。合計が10になる確率は何ですか? (百の位まで四捨五入)

1 つのサイコロに対して 6 つの可能な結果があります。これは、2 人の場合、上記のルールに従って、6・6 = 36 になることを意味します。
合計が 10 になるためには、どのような結果が有利でしょうか?
10 は、1 から 6 までの 2 つの数値の合計に分解する必要があります。これは、10=6+4 と 10=5+5 の 2 つの方法で実行できます。これは、キューブに対して次のオプションが可能であることを意味します。
(1 回目は 6、2 回目は 4)
(最初は 4、2 番目は 6)
(最初は 5、2 番目は 5)
合計 3 つのオプション。必要な確率: 3/36=1/12=0.08
答え: 0.08

他の種類の B6 問題については、今後の「解決方法」の記事で説明します。