おお！ ここは女子トイレじゃないの？
- 若い女性です！ ここは、昇天中の魂の無邪気な神聖さを研究するための実験室です。 上部にハローがあり、上向きの矢印。 他にどんなトイレがあるの？

メス…上のハローと下の矢印がオスです。

そんなデザインアートが一日に何度も目の前に現れたら、

そうすれば、突然車の中に奇妙なアイコンを見つけても不思議ではありません。

個人的には、うんこをしている人（1枚の写真）にマイナス4度が見えるように努めています（複数の写真の合成：マイナス記号、数字の4、度の指定）。 そして、私はこの女の子が物理学を知らない愚か者だとは思いません。 彼女はグラフィックイメージに対する強い固定観念を持っているだけです。 そして数学者は常にこれを私たちに教えてくれます。 ここに例を示します。

1A は「マイナス 4 度」や「1 度」ではありません。 これは「うんこマン」、または16進数表記の「26」という数字です。 この数値体系を常に使用している人々は、数字と文字を 1 つのグラフィック シンボルとして自動的に認識します。

の上 このレッスン足し算と引き算がカバーされます 代数分数と 分母が異なる。 足し算と引き算の方法はすでに知っています 公分数分母が異なります。 これを行うには、分数を次のように減らす必要があります。 共通点。 代数的な分数も同じ規則に従うことがわかります。 同時に、代数分数を公分母に還元する方法もすでに知っています。 分母の異なる分数の足し算と引き算は、中学 2 年生のコースで最も重要かつ難しいトピックの 1 つです。 また、このトピックは、今後学習する代数コースの多くのトピックに登場します。 レッスンの一環として、分母が異なる代数の分数の足し算と引き算のルールを学び、いくつかの典型的な例も分析します。

普通の分数の最も単純な例を見てみましょう。

例1.分数を追加します: 。

解決：

分数の足し算のルールを覚えておきましょう。 まず、分数を共通の分母に減らす必要があります。 普通分数の共通分母は次のとおりです。 最小公倍数元の分母の (LCM)。

意味

数値 と の両方で割り切れる最小の自然数。

LCM を見つけるには、分母を次のように分解する必要があります。 素因数を選択し、両方の分母の展開に含まれるすべての素因数を選択します。

; 。 この場合、数値の最小公倍数には 2 が 2 つと 3 が 2 つ含まれている必要があります。

共通分母を見つけた後、各分数の追加の因数を見つける必要があります (実際には、共通分母を対応する分数の分母で割ります)。

次に、各分数に、結果として得られる追加係数が乗算されます。 分数を取得するには 同じ分母, 前回のレッスンで学んだ足し算と引き算。

得られるものは次のとおりです。 .

答え：.

ここで、分母の異なる代数的な分数の加算を考えてみましょう。 まず、分母が数字である分数を見てみましょう。

例2。分数を追加します: 。

解決：

解のアルゴリズムは前の例と全く同じです。 これらの分数の共通分母と、それぞれの追加の因数を見つけるのは簡単です。

.

答え：.

それでは、定式化しましょう 異なる分母を持つ代数分数を加算および減算するためのアルゴリズム:

1. 分数の最小公倍数を求めます。

2. 各分数の追加の因数を見つけます (共通の分母を指定された分数の分母で割ることによって)。

3. 分子に対応する追加係数を掛けます。

4. 分母が似ている分数の加算と減算の規則を使用して、分数を加算または減算します。

次に、分母に文字式が含まれる分数の例を考えてみましょう。

例 3.分数を追加します: 。

解決：

両方の分母の文字式が同じであるため、数値の共通分母を見つける必要があります。 最終的な共通分母は次のようになります。 したがって、この例の解決策は次のようになります。

答え：.

例4.分数の引き算: 。

解決：

共通分母を選択するときに「ごまかし」ができない場合 (因数分解したり、省略した乗算公式を使用したりすることはできません)、両方の分数の分母の積を共通分母として取得する必要があります。

答え：.

一般に、このような例を解くときに最も難しい作業は、共通点を見つけることです。

より複雑な例を見てみましょう。

例5.簡略化して: 。

解決：

共通分母を見つけるときは、まず元の分母の分母を因数分解してみます (共通分母を単純化するため)。

この特定のケースでは次のようになります。

次に、共通分母を決定するのは簡単です。 .

追加の要素を決定して、この例を解決します。

答え：.

次に、分母が異なる分数の足し算と引き算のルールを確立しましょう。

例6。簡略化して: 。

解決：

答え：.

例7。簡略化して: 。

解決：

.

答え：.

ここで、2 つではなく 3 つの分数を加算する例を考えてみましょう (結局のところ、分数の加算と減算の規則は もっと分数は変わりません）。

例8.簡略化して: 。

通常の分数で実行できる次の操作は引き算です。 この資料では、似た分母と異なる分母を持つ分数の差を正しく計算する方法、自然数から分数を引く方法、またはその逆の方法を見ていきます。 すべての例は問題とともに示されます。 分数の差が正の数になる場合のみを検討することを事前に明確にしておきます。

Yandex.RTB R-A-339285-1

分母が似ている分数の差を見つける方法

すぐに明確な例から始めましょう。8 つの部分に分割されたリンゴがあるとします。 皿に5つの部分を残し、そのうちの2つを取りましょう。 このアクションは次のように記述できます。

その結果、5 − 2 = 3 となるため、8 分の 3 が残ります。 5 8 - 2 8 = 3 8 であることがわかります。

このおかげで 簡単な例分母が同じ分数に対して減算ルールがどのように機能するかを正確に確認しました。 それを定式化しましょう。

定義 1

分母が似ている分数の差を求めるには、一方の分子からもう一方の分子を引き、分母は同じままにする必要があります。 この規則は、a b - c b = a - c b と書くことができます。

今後はこの式を使用していきます。

具体的な例を挙げてみましょう。

例1

分数 24 15 から共通分数 17 15 を引きます。

解決

これらの分数の分母は同じであることがわかります。 したがって、24 から 17 を引くだけで済みます。 7 を取得し、それに分母を追加すると、7 15 が得られます。

計算は次のように書くことができます: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

必要に応じて、減らすことができます 複素分数または、数えやすくするために間違った部分から全体を選択します。

例 2

間違いを見つけてください 37 12 - 15 12。

解決

上で説明した式を使用して計算してみましょう: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

分子と分母が 2 で割れることに気づくのは簡単です (これについては、すでに割り切れる記号を調べたときに説明しました)。 答えを短くすると、11 6 になります。 これは仮分数であり、そこから全体の部分を選択します: 11 6 = 1 5 6。

分母の異なる分数の差を求める方法

この数学的演算は、すでに上で説明したものに還元できます。 これを行うには、必要な分数を同じ分母に減らすだけです。 定義を定式化してみましょう。

定義 2

分母が異なる分数間の差を求めるには、それらを同じ分母に換算し、分子間の差を見つける必要があります。

これがどのように行われるかの例を見てみましょう。

例 3

2 9 から分数 1 15 を引きます。

解決

分母が異なるため、最小値まで減らす必要があります。 総合値。 この場合、最小公倍数は 45 です。 最初の分数には追加の係数 5 が必要で、2 番目の分数には 3 が必要です。

計算してみましょう: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

同じ分母を持つ 2 つの分数があり、前に説明したアルゴリズムを使用してそれらの違いを簡単に見つけることができます: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

解の概要は次のようになります: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45。

必要に応じて、結果を縮小したり、結果からパーツ全体を分離したりすることを怠らないでください。 で この例では私たちはそんなことをする必要はありません。

例 4

19 9 - 7 36 の違いを見つけてください。

解決

条件で示された分数を最小公倍数 36 に換算して、それぞれ 76 9 と 7 36 を取得しましょう。

答えを計算します: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

結果は 3 減算して 23 12 を得ることができます。 分子が分母より大きいということは、部分全体を選択できることを意味します。 最終的な答えは 1 11 12 です。

解全体を簡単にまとめると、19 9 - 7 36 = 1 11 12 となります。

公分数から自然数を引く方法

この操作は、通常の分数の単純な引き算に簡単に還元することもできます。 これは、自然数を分数として表すことによって実行できます。 例を挙げて説明しましょう。

例5

間違いを見つけてください 83 21 – 3 。

解決

3 は 3 1 と同じです。 次に、次のように計算できます: 83 21 - 3 = 20 21。

条件で仮分数から整数を減算する必要がある場合は、帯分数として書いて最初に整数を分離する方が便利です。 この場合、前の例は別の方法で解決できます。

分数 83 21 から全体の部分を分離すると、結果は 83 21 = 3 20 21 となります。

ここで、そこから 3 を引いてみましょう: 3 20 21 - 3 = 20 21。

自然数から分数を引く方法

このアクションは、前のアクションと同様に実行されます。自然数を分数として書き直し、両方を単一の分母にして、差を見つけます。 これを例で説明してみましょう。

例6

違いを見つけてください: 7 - 5 3 .

解決

7 を分数 7 1 にしましょう。 引き算を行って最終結果を変換し、その部分全体を分離します: 7 - 5 3 = 5 1 3。

計算を行う別の方法もあります。 これには、問題内の分数の分子と分母が大きな数である場合に使用できるいくつかの利点があります。

定義 3

減算する必要がある分数が適切であれば、減算元の自然数は 2 つの数値の合計として表され、そのうちの 1 つは 1 に等しいはずです。 この後、1 から必要な分数を引いて答えを得る必要があります。

例 7

1 065 - 13 62 の差を計算します。

解決

減算される分数は、分子が分母より小さいため、適切な分数になります。 したがって、1065 から 1 を引いて、必要な分数をそこから引く必要があります: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

今、私たちは答えを見つける必要があります。 減算の特性を使用すると、結果の式は 1064 + 1 - 13 62 と書くことができます。 括弧内の差を計算してみましょう。 これを行うには、単位を分数 1 1 として想像してみましょう。

1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 であることがわかります。

ここで、1064 について思い出して、答えを定式化しましょう: 1064 49 62。

私たちが使用するのは 古いやり方利便性が低いことを証明するためです。 これらは私たちが思いつく計算です:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

答えは同じですが、計算は明らかに複雑になります。

引き算が必要な場合を考えました 正しい分数。 間違っている場合は、帯分数に置き換えて、おなじみのルールに従って減算します。

例8

差分を計算します 644 - 73 5．

解決

2 番目の分数は仮分数なので、全体をそこから分離する必要があります。

ここで、前の例と同様に計算します: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

分数を扱うときの引き算の性質

引き算が持つ性質 自然数、普通の分数を引く場合にも当てはまります。 例題を解くときにそれらを使用する方法を見てみましょう。

例9

24 4 - 3 2 - 5 6 の間違いを見つけてください。

解決

数値から合計を減算する場合、同様の例をすでに解いているので、次のように進めます。 既知のアルゴリズム。 まず、差 25 4 - 3 2 を計算し、そこから最後の分数を引きます。

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

答えから全体の部分を分離して答えを変形してみましょう。 結果 - 3 11 12。

ソリューション全体の短い概要:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

式に分数と自然数の両方が含まれる場合は、計算時に種類ごとにグループ化することをお勧めします。

例 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 の差を求めます。

解決

減算と加算の基本的な性質を理解すると、数値を次のようにグループ化できます: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

計算を完了しましょう: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

注意してください！最終的な答えを書く前に、受け取った端数を短縮できるかどうかを確認してください。

分母が似ている分数の引き算、 例:

,

,

1 から適切な分数を引きます。

適切な単位から分数を引く必要がある場合、単位は仮分数の形式に変換され、その分母は減算された分数の分母と等しくなります。

1 から適切な分数を引く例:

減算される分数の分母 = 7 つまり、1 を仮分数 7/7 として表し、分母が似ている分数を引く規則に従ってそれを引きます。

整数から適切な分数を引きます。

分数の引き算のルール -整数から修正する (自然数):

• 整数部分を含む与えられた分数を不適切な分数に変換します。 正規項を取得します (分母が異なるかどうかは問題ではありません)。これを上記のルールに従って計算します。
• 次に、受け取った端数の差を計算します。 その結果、ほぼ答えが見つかるでしょう。
• 逆変換を実行します。つまり、不適切な分数を取り除き、分数内の部分全体を選択します。

整数から適切な分数を引く: 自然数を帯分数として表します。 それらの。 自然数の単位を仮分数の形式に変換します。分母は引き算された分数の分母と同じになります。

分数の引き算の例:

この例では、1 を仮分数 7/7 に置き換え、3 の代わりに次のように書きました。 帯分数そして小数部分から小数が減算されました。

分母の異なる分数の引き算。

あるいは、別の言い方をすると、 さまざまな分数を引く.

分母の異なる分数を引き算するためのルール。分母の異なる分数を減算するには、まずこれらの分数を最小公倍数 (LCD) まで減算し、その後で同じ分母の分数の場合と同様に減算を実行する必要があります。

いくつかの分数の共通分母は次のとおりです。 LCM (最小公倍数)これらの分数の分母である自然数。

注意！入っている場合 最終分数分子と分母に共通の因数がある場合、分数を減らす必要があります。 仮分数は帯分数として表すのが最適です。 可能な限り分数を減らさずに減算の結果を残すことは、例に対する不完全な解決策となります。

分母の異なる分数を引き算する手順。

• すべての分母の最小公倍数を求めます。
• すべての分数に追加の因数を入力します。
• すべての分子に追加の係数を掛けます。
• 結果の積を分子に書き込み、すべての分数の共通分母に署名します。
• 分数の分子を引き、差の下にある共通の分母に符号を付けます。

分子に文字がある場合も同様に分数の足し算・引き算が行われます。

分数の引き算、例:

帯分数の引き算。

で 引き算 混合分数(数字)それぞれ、整数部から整数部が減算され、小数部から小数部が減算されます。

帯分数を減算するための最初のオプション。

小数部の場合 同一被減数の小数部分の分母と分子 (減算します) ≥ 減数の小数部分の分子 (減算します)。

例えば：

帯分数を減算するための 2 番目のオプション。

小数部の場合 違う分母。 まず、小数部分を公分母にして、全体部分から全体部分を引き、小数部分から小数部分を引きます。

例えば：

帯分数を減算するための 3 番目のオプション。

被減数の小数部分は、減数の小数部分よりも小さいです。

例：

なぜなら 小数部の分母は異なります。つまり、2 番目のオプションと同様に、まず普通の分数を共通の分母にします。

被減数の小数部の分子は、減数の小数部の分子より小さいです。3 < 14. これは、部分全体から単位を取得し、この単位を同じ分母と分子を持つ仮分数の形に還元することを意味します。 = 18.

右側の分子に分子の合計を書き、右側の分子の括弧を開けます。つまり、すべてを乗算して同様の値を与えます。 分母の括弧は開きません。 積を分母に残すのが通例です。 得られるものは次のとおりです。

分数は 通常の数字、加算したり減算したりすることもできます。 ただし、分母があるため、整数の場合よりも複雑なルールが必要です。

同じ分母を持つ 2 つの分数がある、最も単純なケースを考えてみましょう。 それから：

同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を変更せずに分子を加算する必要があります。

同じ分母を持つ分数を引き算するには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母を変更しないままにする必要があります。

各式内で、分数の分母は等しいです。 分数の加算と減算の定義により、次のようになります。

ご覧のとおり、これは複雑なことではありません。分子を加算または減算するだけです。

しかし、そんな中でも 単純なアクション人は間違いを犯すものです。 最も忘れられがちなことは、分母は変わらないということです。 たとえば、足し算をすると、足し算も始まりますが、これは根本的に間違っています。

取り除く 悪い習慣分母を追加するのは非常に簡単です。 引き算するときも同じことを試してください。 その結果、分母はゼロになり、分数は (突然!) 意味を失います。

したがって、足し算や引き算の際、分母は変わらないということを、必ず覚えておいてください。

多くの人は、負の分数をいくつか足すときにも間違いを犯します。 どこにマイナスを入れてどこにプラスを入れるかという記号が混乱しています。

この問題も非常に簡単に解決できます。 分数の符号の前のマイナスは常に分子に転送でき、またその逆も可能であることを覚えておくだけで十分です。 そしてもちろん、次の 2 つの簡単なルールを忘れないでください。

1. プラスとマイナスはマイナスになります。
2. 2 つの否定が肯定になります。

具体的な例でこれらすべてを見てみましょう。

タスク。 式の意味を調べます。

最初のケースではすべてが単純ですが、2 番目のケースでは、分数の分子にマイナスを加えてみましょう。

分母が違う場合はどうするか

分母が異なる分数を直接加算することはできません。 少なくとも私はこの方法を知りませんでした。 ただし、元の分数は、分母が同じになるようにいつでも書き換えることができます。

分数を変換する方法はたくさんあります。 そのうち 3 つは「分数の公分母化」のレッスンで説明するので、ここでは詳しく説明しません。 いくつかの例を見てみましょう。

タスク。 式の意味を調べます。

最初のケースでは、「十字」法を使用して分数を共通の分母に減らします。 2 番目では、NOC を探します。 6 = 2 · 3 であることに注意してください。 9 = 3 · 3。これらの展開の最後の因数は等しく、最初の因数は互いに素です。 したがって、LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18 となります。

分数に整数部分がある場合はどうするか

分母の違いは最大の悪ではありません。 加数部分で部分全体が強調表示されると、さらに多くのエラーが発生します。

もちろん、そのような分数には独自の加算および減算アルゴリズムがありますが、それらは非常に複雑であり、長い研究が必要です。 より良い使い方 簡単な図、以下に与えられます:

1. 整数部分を含むすべての分数を不適切な分数に変換します。 正規項を (分母が異なる場合でも) 取得します。これは、上で説明したルールに従って計算されます。
2. 実際に、得られた分数の和または差を計算します。 その結果、実際に答えが見つかります。
3. 問題で必要なのはこれだけである場合は、逆変換を実行します。 部分全体を強調表示することで、不適切な分数を取り除きます。

への移行ルール 仮分数部分全体のハイライト表示については、「分数とは」のレッスンで詳しく説明します。 覚えていない場合は、必ず繰り返してください。 例:

タスク。 式の意味を調べます。

ここではすべてがシンプルです。 各式内の分母は等しいので、残っているのはすべての分数を不適切な分数に変換してカウントすることだけです。 我々は持っています：

計算を簡素化するために、最後の例ではいくつかの明らかな手順を省略しました。

最後の 2 つの例に関する小さなメモ。強調表示された分数が減算されます。 全体。 2 番目の小数の前にあるマイナスは、その一部だけではなく、小数全体が減算されることを意味します。

この文をもう一度読み、例を見て、考えてみましょう。 ここは初心者が認めるところ 莫大な量エラー。 彼らはそのような仕事を与えるのが大好きです テスト。 また、間もなく公開されるこのレッスンのテストでも、これらに何度か遭遇します。

概要: 一般的な計算スキーム

結論として、2 つ以上の分数の和または差を見つけるのに役立つ一般的なアルゴリズムを示します。

1. 1 つ以上の分数に整数部分がある場合、これらの分数を不適切な分数に変換します。
2. 自分にとって都合のよい方法で、すべての分数を共通の分母にまとめます (もちろん、問題の作成者がこれを行った場合を除きます)。
3. 分母が似ている分数の加算と減算のルールに従って、結果の数値を加算または減算します。
4. 可能であれば、結果を短くしてください。 分数が間違っている場合は、部分全体を選択してください。

問題の最後、答えを書き留める直前にその部分全体を強調表示する方が良いことに注意してください。