複素数方程式の解決例の計算機。 複素数を使用した式、方程式、連立方程式
オンライン方程式解決サービスは、あらゆる方程式を解くのに役立ちます。 私たちのサイトを使用すると、方程式の答えを受け取るだけでなく、 詳細な解決策つまり、結果を取得するプロセスを段階的に表示します。 私たちのサービスは高校生にも役立ちます 中学校そして彼らの両親。 学生はテストや試験の準備をしたり、自分の知識をテストしたりすることができ、保護者は子供による数式の解法を監視することができます。 方程式を解く能力は学童にとって必須の要件です。 このサービスは、数学方程式の分野で独学し、知識を向上させるのに役立ちます。 その助けを借りて、二次方程式、三次方程式、無理数方程式、三角関数など、あらゆる方程式を解くことができます。 オンラインサービス正解に加えて、各方程式の詳細な解も得られるので、非常に貴重です。 オンラインで方程式を解く利点。 私たちのウェブサイトでは、どんな方程式も完全に無料でオンラインで解くことができます。 このサービスは完全に自動で行われ、コンピューターに何もインストールする必要はありません。データを入力するだけで、プログラムが解決策を提供します。 計算ミスやタイプミスは除外されます。 当社では、オンラインで方程式を解くのが非常に簡単です。あらゆる種類の方程式を解くには、必ず当社のサイトをご利用ください。 データを入力するだけで計算は数秒で完了します。 プログラムは人間の介入なしで独立して動作し、正確かつ詳細な回答が得られます。 一般形式での方程式の解。 このような方程式では、変数係数と目的の根が相互接続されます。 変数の最高べき乗によって、そのような方程式の次数が決まります。 これに基づいて、方程式には次を使用します。 さまざまな方法そして解決策を見つけるための定理。 このタイプの方程式を解くことは、一般形式で必要な根を見つけることを意味します。 当社のサービスを使用すると、最も複雑な代数方程式もオンラインで解くことができます。 あなたはのように得ることができます 一般的な解決策方程式と、あなたが示した方程式の商 数値係数 Web サイトで代数方程式を解くには、指定された方程式の左側と右側の 2 つのフィールドのみを正しく入力するだけで十分です。 可変係数を持つ代数方程式には無限の解があり、特定の条件を設定することにより、解の集合から部分的な解が選択されます。 二次方程式。 二次方程式は、a>0 の場合、ax^2+bx+c=0 の形式になります。 二次方程式を解くには、等式 ax^2+bx+c=0 が成り立つ x の値を見つけることが含まれます。 これを行うには、式 D=b^2-4ac を使用して判別値を見つけます。 判別式がゼロより小さい場合、方程式には実根がありません (根は複素数体からのものです)。 ゼロに等しいの場合、方程式には 1 つの実根があり、判別式が 0 より大きい場合、方程式には 2 つの実根があり、D= -b+-sqrt/2a の式で求められます。 オンラインで二次方程式を解くには、方程式の係数 (整数、分数、または小数) を入力するだけです。 方程式に減算記号がある場合は、方程式の対応する項の前にマイナス記号を付ける必要があります。 決める 二次方程式オンラインで、パラメータ、つまり方程式の係数の変数に応じて異なります。 一般的な解決策を見つけるための当社のオンライン サービスは、このタスクにうまく対処します。 線形方程式。 線形方程式 (または連立方程式) を解くために、実際には 4 つの主な方法が使用されます。 それぞれの方法について詳しく説明していきます。 置換方法。 置換法を使用して方程式を解くには、1 つの変数を他の変数に関して表現する必要があります。 この後、式はシステムの他の方程式に代入されます。 したがって、解法メソッドの名前が付けられました。つまり、変数の代わりに、その式が残りの変数に置き換えられます。 この方法は理解するのは簡単ですが、実際には複雑な計算が必要となるため、このような方程式をオンラインで解くと時間を節約し、計算を容易にすることができます。 方程式内の未知数の数を指定し、一次方程式のデータを入力するだけで、サービスが計算を実行します。 ガウス法。 この方法は、等価な三角形システムに到達するためのシステムの最も単純な変換に基づいています。 そこから、未知の部分が 1 つずつ決定されます。 実際には、このような方程式をオンラインで解く必要があります。 詳しい説明これにより、連立一次方程式を解くためのガウス法についてよく理解できるようになります。 連立一次方程式を正しい形式で書き留め、この連立方程式を正確に解くために未知数の数を考慮に入れます。 クレーマーの手法。 この方法は、システムが一意の解を持つ場合に連立方程式を解きます。 ここでの主な数学的操作は、行列行列式の計算です。 Cramer メソッドを使用して方程式を解くことはオンラインで実行され、完全かつ詳細な説明付きの結果が即座に表示されます。 システムに係数を入力し、未知の変数の数を選択するだけで十分です。 マトリックス方式。 この方法は、行列 A の未知数、列 X の未知数、および列 B の自由項の係数を収集することで構成されます。したがって、線形方程式系は次のように縮小されます。 行列方程式「AxX=B」と入力します。 この方程式は、行列 A の行列式がゼロ以外の場合にのみ固有の解を持ちます。それ以外の場合、システムには解が存在しないか、無限の数の解が存在します。 マトリックス法を使用して方程式を解くには、 逆行列 A.
連邦教育庁
州立教育機関
高等専門教育
「ヴォロネジ州立教育大学」
アグレブラと幾何学部門
複素数
(選択したタスク)
大学院の資格を得る作業
専門 050201.65 数学
(追加の専門分野 050202.65 コンピューター サイエンス)
完成者:5年生
物理的および数学的
学部
科学監修者:
ヴォロネジ – 2008
1. はじめに……………………………………………………………………
2. 複素数(選択された問題)
2.1. 代数形式の複素数….…………………….…。
2.2. 複素数の幾何学的解釈…………..…
2.3. 複素数の三角関数形式
2.4. 複素数理論の 3 次および 4 次方程式の解への応用…………………………………………………………………………
2.5. 複素数とパラメータ……………………………………。
3. 結論…………………………………………………………………………。
4. 参考文献リスト………………………….…………………………
1. はじめに
数学プログラムでは 通学コース数論は、自然数、整数、有理数、無理数のセットの例を使用して紹介されます。 実数のセット上で、そのイメージが数直線全体を満たします。 しかし、すでに 8 年生では、負の判別式を使用して二次方程式を解くときに、実数の供給が十分ではありません。 したがって、複素数の助けを借りて実数のストックを補充する必要がありました。 負の数理にかなっています。
卒業テーマに「複素数」を選ぶ 資格のある仕事複素数の概念は、数体系、代数と幾何の両方の幅広い種類の問題の解決、あらゆる次数の代数方程式の解決、およびパラメーターを使用した問題の解決に関する生徒の知識を拡張するということです。
この論文では 82 の問題の解決策を検討します。
メインセクションの最初の部分「複素数」では、代数形式の複素数に関する問題の解決策を提供し、加算、減算、乗算、除算の演算、代数形式の複素数の共役演算、虚数単位の累乗を定義します。 、複素数の法、および複素数の平方根を抽出するルールも規定します。
2 番目の部分では、複素平面の点またはベクトルの形式での複素数の幾何学的解釈の問題が解決されます。
3 番目の部分では、三角関数形式での複素数の演算を検討します。 使用される公式は、Moivre と複素数の根の抽出です。
4 番目の部分は、3 次および 4 次の方程式を解くことに専念します。
最後のパート「複素数とパラメータ」の問題を解く際には、前のパートで与えられた情報が使用され、統合されます。 この章の一連の問題は、パラメーターを含む方程式 (不等式) によって定義される複素平面内の線族を決定することに専念しています。 演習の一部では、パラメーター (フィールド C 上) を使用して方程式を解く必要があります。 複素変数が複数の条件を同時に満たすタスクがあります。 このセクションの問題を解く際の特別な特徴は、問題の多くを 2 次の方程式 (不等式、系) の解法、無理数、パラメータ付きの三角関数に帰着させることです。
各パートの資料のプレゼンテーションの特徴は、最初の入力です。 理論的基礎、その後、問題解決における実際の応用が可能になります。
論文の最後には、使用した参考文献のリストがあります。 それらのほとんどは、理論的な内容を十分に詳細かつアクセスしやすい方法で提示し、いくつかの問題の解決策を検討し、次のことを提供します。 実践的なタスクのために 独立した決定. 特別な注意以下のような情報源を参照したいと思います。
1. ゴルディエンコ N.A.、ベリャエワ E.S.、ファーストフ V.E.、セレブリャコワ I.V. 複素数とその応用: 教科書。 。 材料 教材講義と実践演習の形式で行われます。
2. Shklyarsky D.O.、Chentsov N.N.、Yaglom I.M. 選択された問題と定理 小学校数学。 算術と代数学。 この本には、代数学、算術、数論に関連した 320 の問題が含まれています。 これらの課題は、標準的な学校の課題とは本質的に大きく異なります。
2. 複素数(選択された問題)
2.1. 代数形式の複素数
数学や物理学における多くの問題の解決は、結局、代数方程式を解くことに帰着します。 次の形式の方程式
,ここで、a0、a1、…、an は実数です。 したがって、代数方程式の研究は数学における最も重要な問題の 1 つです。 たとえば、負の判別式をもつ二次方程式には実根がありません。 最も単純な方程式は次の方程式です。
.この方程式に解を求めるには、方程式の根を追加して実数の集合を拡張する必要があります。
.この根を次のように表しましょう
。 したがって、定義により、または、したがって、
。虚数単位といいます。 これと実数のペアの助けを借りて、形式の式がコンパイルされます。
結果として得られる式は、実数部と虚数部の両方を含むため、複素数と呼ばれます。
したがって、複素数は次の形式の式です。、 、 は実数であり、 という条件を満たす特定の記号です。 数値は複素数の実部と呼ばれ、数値は虚数部と呼ばれます。 記号 、 を使用してそれらを示します。
形式の複素数 は実数、 、 は実数であり、 という条件を満たす特定の記号です。 数値は複素数の実部と呼ばれ、数値は虚数部と呼ばれます。 記号 、 を使用してそれらを示します。
したがって、複素数のセットには実数のセットが含まれます。純粋に想像上のものと呼ばれます。 および の形式の 2 つの複素数は、実数部と虚数部が等しい場合、等しいと言われます。 等式の場合、 。
複素数の問題を解決するには、基本的な定義を理解する必要があります。 このレビュー記事の主な目的は、複素数とは何かを説明し、複素数に関する基本的な問題を解決する方法を提示することです。 したがって、複素数は次の形式の数値と呼ばれます。 z = a + bi、 どこ a、b- 実数。それぞれ複素数の実数部と虚数部と呼ばれ、次のことを示します。 a = Re(z)、b=Im(z).
私虚数単位といいます。 i 2 = -1。 特に、実数はすべて複素数と見なすことができます。 a = a + 0iここで、a は実数です。 もし a = 0そして b≠0、その場合、その数は通常、純粋な虚数と呼ばれます。
では、複素数の演算を紹介しましょう。
2 つの複素数を考えます z 1 = a 1 + b 1 iそして z 2 = a 2 + b 2 i.
考えてみましょう z = a + bi.
複素数の集合は実数の集合を拡張し、実数の集合は実数の集合を拡張します。 有理数等 この一連の投資は次の図で見ることができます: N – 自然数、Z - 整数、Q - 有理数、R - 実数、C - 複素数。
複素数の表現
代数表記。
複素数を考えてみましょう z = a + bi、この複素数の書き方はと呼ばれます。 代数的な。 この形式の記録については、前のセクションで詳しく説明しました。 次の視覚的な図は非常に頻繁に使用されます
三角関数の形式。
図からわかるように、この数字は z = a + bi別の方法で書くこともできます。 それは明らかです a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|したがって、 z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
を複素数の引数といいます。 この複素数の表現はと呼ばれます 三角関数形式。 三角関数形式の表記は非常に便利な場合があります。 たとえば、複素数の整数乗に使用すると便利です。 z = rcos(φ) + rsin(φ)i、 それ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i、この式はと呼ばれます モアブルの公式.
実証的な形式。
考えてみましょう z = rcos(φ) + rsin(φ)i- 三角関数形式の複素数、別の形式で記述します z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ、最後の等式はオイラーの公式から導かれるので、次のようになります。 新しいユニフォーム複素数表記: z = re iφと呼ばれる 示唆的な。 この表記形式は、複素数のべき乗にも非常に便利です。 z n = r n e inφ、 ここ n必ずしも整数である必要はなく、任意の実数にすることができます。 この表記形式は、問題を解決するためによく使用されます。
高等代数学の基本定理
二次方程式 x 2 + x + 1 = 0 があると想像してみましょう。 明らかに、この方程式の判別式は負であり、実根はありませんが、この方程式には 2 つの異なる複素根があることがわかります。 したがって、高等代数の基本定理は、n 次の多項式には少なくとも 1 つの多項式があると述べています。 複雑なルート。 このことから、多重度を考慮すると、n 次の多項式には正確に n 個の複素根があることがわかります。 この定理は数学において非常に重要な結果であり、広く使用されています。 この定理の単純な帰結は、単一度 n の異なる根が正確に n 個存在するということです。
主なタスクの種類
このセクションでは主なタイプについて説明します 単純な作業複素数に。 従来、複素数に関する問題は次のカテゴリに分類できます。
- 複素数に対して単純な算術演算を実行します。
- 複素数の多項式の根を求めます。
- 複素数の累乗。
- 複素数から根を抽出します。
- 複素数を使用して他の問題を解決します。
では、考えてみましょう 一般的なテクニックこれらの問題の解決策。
複素数を使用した最も単純な算術演算は、最初のセクションで説明したルールに従って実行されますが、複素数が三角関数形式または指数関数形式で表されている場合は、それらを代数形式に変換し、既知のルールに従って演算を実行できます。
多項式の根を求めることは、通常、二次方程式の根を求めることになります。 二次方程式があるとします。その判別式が非負であれば、その根は実数となり、よく知られた公式に従って求めることができます。 判別式が負の場合、つまり、 D = -1・a 2、 どこ あるが特定の数値である場合、判別式は次のように表すことができます。 D = (ia) 2したがって、 √D = i|a|, その後、二次方程式の根に既知の公式を使用できます。
例。 先ほどの二次方程式 x 2 + x + 1 = 0 に戻りましょう。
判別式 - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
これで、ルートを簡単に見つけることができます。
複素数の累乗は、いくつかの方法で実行できます。 代数形式の複素数を小さい累乗 (2 または 3) にする必要がある場合は、直接乗算によってこれを行うことができますが、累乗が大きい場合 (問題ではそれがはるかに大きくなることがよくあります)、次のようにする必要があります。この数値を三角関数または指数形式で書き、既知の方法を使用します。
例。 z = 1 + i を考えて、それを 10 乗します。
z を指数形式で書きましょう: z = √2 e iπ/4。
それから z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
代数形式に戻りましょう: z 10 = -32i。
複素数からの根の抽出は、べき乗の逆演算であるため、同様の方法で実行されます。 根を抽出するには、指数形式で数値を記述することがよく使用されます。
例。 統一度 3 のすべての根を見つけてみましょう。 これを行うには、方程式 z 3 = 1 のすべての根を見つけ、指数形式で根を探します。
方程式に r 3 e 3iφ = 1 または r 3 e 3iφ = e 0 を代入してみましょう。
したがって、r = 1、3φ = 0 + 2πk、したがって φ = 2πk/3 となります。
φ = 0、2π/3、4π/3 では異なる根が得られます。
したがって、1、e i2π/3、e i4π/3 は根です。
または代数形式では次のようになります。
最後のタイプの問題には、非常に多様な問題が含まれており、それらを解決するための一般的な方法はありません。 このようなタスクの簡単な例を示します。
金額を調べる sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
この問題の定式化では複素数については説明していませんが、複素数の助けを借りて簡単に解決できます。 これを解決するには、次の表現が使用されます。
この表現を和に代入すると、問題は通常の等比数列の和に帰着します。
結論
複素数は数学で広く使用されています。このレビュー記事では、複素数の基本的な演算を検討し、いくつかの種類の標準的な問題を説明し、複素数の機能をより詳細に研究するための一般的な方法を簡単に説明しました。専門的な文献を使用します。
文学
方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 わかりやすくするために、次の問題を解いてみましょう。
\ の場合 \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] を計算します。
まず第一に、一方の数値は代数形式で表現され、もう一方の数値は三角関数形式で表現されるという事実に注目しましょう。 簡略化して次の形式にする必要があります
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6).\]
式 \ は、まずモブレの公式を使用して乗算と 10 乗を行うことを示しています。 この公式は、複素数の三角関数形式に対して定式化されます。
得られるものは次のとおりです。
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
三角関数形式で複素数を乗算するルールに従って、次のことを行います。
私たちの場合:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
分数 \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] を正しくすると、\[(8\pi rad.) を 4 回転「ねじる」ことができるという結論に達します。 \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
答え: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
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