適切な分数は仮分数よりも小さくなります。固有分数とは何ですか? 適正分数と仮分数: ルール

私たちは学校で勉強を始めるよりもはるかに早い段階で分数に遭遇します。丸ごとのリンゴを半分に切ると、果物の半分が得られます。もう一度切りましょう - 1/4になります。これらは分数です。そして、すべてが単純に見えました。大人向け。子供にとって（そしてこのテーマは小学校の終わりから勉強され始めます）、抽象的な数学の概念はまだ恐ろしいほど理解できず、教師はそれが何を意味するのかを明確に説明する必要があります。適切な分数そして、不規則、普通、小数、それらを使用してどのような操作を実行できるか、そして最も重要なことに、これらすべてが必要な理由も説明します。

分数とは何ですか?

知り合う新しいトピック学校では普通の分数から始めます。これらは、2 つの数字を上下に区切る水平線によって簡単に認識されます。上のものは分子、下のものは分母と呼ばれます。不適切な普通の分数と適切な普通の分数を書くための小文字のオプションもあります - スラッシュを使用して、たとえば、 1/2、4/9、384/183 のようにします。このオプションは、行の高さに制限があり、「2 階建て」の入力フォームを使用できない場合に使用されます。なぜ？はい、そのほうが便利だからです。これについては少し後で説明します。

普通の分数に加えて、小数の分数もあります。それらを区別するのは非常に簡単です。ある場合には水平線またはスラッシュが使用され、別の場合には一連の数値を区切るためにカンマが使用されます。例を見てみましょう: 2.9; 163.34; 1.953。数値を区切るための区切り文字として意図的にセミコロンを使用しました。最初のものは次のようになります:「2 ポイント 9」。

新しい概念

普通の分数に戻りましょう。 2 種類あります。

固有分数の定義は次のとおりです。分子が分母より小さい分数です。これがなぜ重要なのでしょうか? それでは見てみましょう！

あなたは半分に切られたリンゴをいくつか持っています。合計 - 5 つの部分。あなたは、リンゴを「2 個半」持っていますか、それとも「5 個半」持っていますか? もちろん、最初のオプションの方が自然に聞こえるので、友人と話すときに使用します。しかし、各人が得られる果物の数を計算する必要がある場合、会社に 5 人いる場合、5/2 という数字を書き留めて、それを 5 で割ります。数学的な観点から見ると、これはより明確になります。。

したがって、適切な分数と不適切な分数の名前の規則は次のとおりです。分数 (14/5、2/1、173/16、3/3) で全体の部分を区別できる場合、それは不適切です。 1/2、13/16、9/10 の場合のように、これができない場合は、正しくなります。

分数の主な性質

分数の分子と分母を同時に同じ数で乗算または除算しても、その値は変わりません。想像してみてください。彼らはケーキを 4 等分に切って、あなたに 1 つ渡しました。彼らは同じケーキを 8 つの部分に切り、あなたに 2 つ渡しました。それは本当に重要ですか？結局のところ、1/4 と 2/8 は同じものなのです。

削減

数学の教科書の問題や例の作成者は、書くのは面倒だが実際には省略できる分数を提示して生徒を混乱させようとすることがよくあります。これは適切な分数の例です。167/334 ですが、これは非常に「恐ろしく」見えるでしょう。しかし、実際には 1/2 と書くことができます。数値 334 は剰余なしで 167 で割り切れます。この演算を実行すると、2 が得られます。

帯分数

仮分数は帯分数として表現できます。こんな時です全体前方に持ってきて、水平線のレベルに書きます。実際、この式は合計の形式をとります: 11/2 = 5 + 1/2; 13/6 = 2 + 1/6 など。

全体を取り出すには、分子を分母で割る必要があります。除算の残りを上、線の上、および式の前に部分全体を書きます。したがって、整数単位 + 固有分数という 2 つの構造部分が得られます。

逆演算を実行することもできます。これを行うには、整数部分に分母を乗算し、その結果の値を分子に加算する必要があります。何も複雑なことはありません。

掛け算と割り算

奇妙なことに、分数の掛け算は足し算よりも簡単です。必要なのは、水平線を延長することだけです: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5。

割り算もすべて簡単です。(7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16 のように、分数を横に掛ける必要があります。

分数の加算

加算を実行する必要がある場合、またはその分母が異なる数字? 乗算と同じことを行うのは機能しません。ここでは、適切な分数の定義とその本質を理解する必要があります。条件を整える必要がある共通点つまり、両方の分数の底が同じ数値になるはずです。

これを行うには、分数の基本的な性質を使用する必要があります。つまり、両方の部分に同じ数値を掛けます。たとえば、2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = 1/2 となります。

項をどの分母に減らすかを選択するにはどうすればよいですか? これは、分数の分母の両方の数値の倍数である最小数値でなければなりません。1/3 と 1/9 の場合は 9 になります。 1/2 と 1/7 - 14 の場合、剰余なしで 2 と 7 で割り切れる小さい値はないためです。

使用法

それらは何のためにあるのでしょうか？仮分数? 結局のところ、すぐに部分全体を選択し、混合数を取得して完了する方がはるかに便利です。 2 つの分数を乗算または除算する必要がある場合は、不規則な分数を使用する方が有益であることがわかります。

次の例を見てみましょう: (2 + 3/17) / (37 / 68)。

まったくカットするものがないように見えます。しかし、足し算の結果を最初の括弧内に仮分数として書いたらどうなるでしょうか? 見てください: (37/17) / (37/68)

これで、すべてが所定の位置に収まりました。すべてが明らかになるように例を書いてみましょう: (37*68) / (17*37)。

分子と分母の 37 を消去し、最後に上下を 17 で割ってみましょう。仮分数と仮分数の基本的なルールを覚えていますか? 分子と分母を同時に行う限り、任意の数で乗算と除算を行うことができます。

したがって、答えは 4 になります。この例は複雑に見えましたが、答えには数字が 1 つだけ含まれています。こういうことは数学ではよく起こります。重要なことは、恐れず、簡単なルールに従うことです。

よくある間違い

実装する際、学生はよくある間違いを簡単に犯す可能性があります。通常、それらは不注意によって起こりますが、時には勉強した内容がまだ頭の中に適切に保存されていないという事実によって起こります。

多くの場合、分子の数値を合計すると、その個々の成分を削減したくなることがあります。例で言うと、(13 + 2) / 13 は括弧なし (横線あり) で書かれていますが、多くの学生は経験不足のため、上下の 13 を取り消します。しかし、これは重大な間違いであるため、いかなる状況でも行うべきではありません。加算の代わりに乗算記号がある場合、答えには数値 2 が得られます。ただし、加算を実行する場合、いずれかの項を使用した演算は許可されず、合計の演算のみが許可されます。

男性は分数の割り算でもよく間違えます。 2 つの適切な既約分数を取得して、互いに割ってみましょう: (5/6) / (25/33)。生徒はこれを混ぜ合わせて、結果の式を (5*25) / (6*33) として書くことができます。ただし、これは乗算で発生しますが、この場合はすべてが多少異なります: (5*33) / (6*25)。可能なものは減らします、そして答えは11/10になります。結果の仮分数を小数として 1.1 と書きます。

括弧

どのような数式でも、演算の順序は演算記号の優先順位と括弧の有無によって決まることに注意してください。他のすべての条件が等しい場合、アクションの順序は左から右に数えられます。これは分数にも当てはまります。分子または分母の式はこの規則に従って厳密に計算されます。

結局のところ、これはある数値を別の数値で割った結果です。均等に分割されていない場合は、分数になります。それだけです。

パソコンで分数を書く方法

なぜなら標準的な手段 2 つの「層」で構成される分数を作成できるとは限りません。生徒はさまざまなトリックに頼ることもあります。たとえば、分子と分母をペイントグラフィックエディタにコピーし、それらを貼り合わせて、分子と分母の間に水平線を描きます。もちろん、もっと簡単なオプションもあります。ちなみに、このオプションでは、多くの機能が提供されます。追加機能、将来的に役立つでしょう。

Microsoft Wordを開きます。画面上部のパネルの 1 つは「挿入」と呼ばれるもので、それをクリックします。右側、ウィンドウを閉じるアイコンと最小化アイコンがある側に、「式」ボタンがあります。これこそまさに私たちが必要としているものなのです！

この機能を使用すると、画面上に長方形の領域が表示され、そこで任意の操作を行うことができます。数学的記号、キーボードにない、分数も古典的な形式で書きます。つまり、分子と分母を水平線で区切ります。適切な分数がこれほど簡単に書けることに驚かれるかもしれません。

数学を学ぶ

5 年生から 6 年生であれば、すぐに多くの教科で数学の知識 (分数を扱う能力も含む!) が必要になります。物理学におけるほとんどすべての問題、化学、幾何学、三角法で物質の質量を測定する場合、分数なしでは対処できません。すぐに、式を紙に書き出すことなく、頭の中ですべてを計算できるようになりますが、ますます多くのことが起こります。複雑な例。したがって、適切な分数とは何か、そしてそれをどのように扱うかを学び、次のことを続けてください。カリキュラム、時間通りに宿題をやれば成功します。

固有分数

クォーターズ

秩序性。 あるそして bそれらの間の 3 つの関係のうち 1 つだけを一意に識別できるルールがあります。< », « >" または " = "。このルールはと呼ばれます 順序付けルールおよびは次のように定式化されます: 2 つの非負の数およびは、2 つの整数およびと同じ関係によって関連付けられます。 2 つの非正の数あるそして b; は、2 つの非負の数とと同じ関係によって関連付けられます。もし突然あるネガティブではないけど、 b- 否定的な場合ある > b。
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分数の加算加算演算。あるそして bあらゆる有理数に対して いわゆる 合計ルール c 合計ルール。また、その数字自体が 呼ばれた額あるそして b数字 で表され、そのような数値を見つけるプロセスはと呼ばれます。合計 .
。合計ルールは次の形式になります。加算演算。あるそして bあらゆる有理数に対して 乗算演算。乗算規則 合計ルール c 合計ルール。また、その数字自体が 、それらに有理数を割り当てます。額あるそして b仕事 で表され、そのような数を見つけるプロセスはとも呼ばれます乗算 .
。乗算ルールは次のようになります。順序関係の推移性。ある , bそして 合計ルール有理数の任意の 3 倍の場合あるもし bそして bもし 合計ルール少ないあるもし 合計ルール、それある、そしてもし bそして b、そしてもし 合計ルール少ないある、そしてもし 合計ルール等しい
。 6435">加算の可換性。有理項の位置を変更しても和は変わりません。
加算の結合性。 3 つの有理数を加算する順序は結果に影響しません。
ゼロの存在。追加したときに他のすべての有理数を保持する有理数 0 があります。
反対の数字の存在。有理数には反対の有理数があり、それを加算すると 0 になります。
乗算の可換性。合理的な要素の場所を変更しても、製品は変わりません。
乗算の結合性。 3 つの有理数を乗算する順序は結果に影響しません。
ユニットの可用性。乗算したときに他のすべての有理数を保存する有理数 1 があります。
逆数の存在。有理数には逆有理数があり、それを掛けると 1 になります。
加算に対する乗算の分配性。乗算演算は、分配法則によって加算演算と調整されます。
順序関係を加算の演算で結び付ける。同じ有理数を有理不等式の左辺と右辺に加算できます。ある/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> あるアルキメデスの公理。

有理数が何であれ

有理数に固有の他のすべての性質は基本的な性質として区別されません。一般的に言えば、それらはもはや整数の性質に直接基づいているわけではありませんが、与えられた基本的な性質に基づいて、または何らかの数学的オブジェクトの定義によって直接証明することができるからです。。このような追加プロパティはたくさんあります。ここではそのうちのいくつかだけを列挙することに意味があります。

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集合の可算性

有理数の番号付け

有理数の数を推定するには、そのセットの基数を見つける必要があります。有理数の集合が可算であることを証明するのは簡単です。これを行うには、有理数を列挙するアルゴリズム、つまり、有理数と自然数のセットの間に全単射を確立するアルゴリズムを与えるだけで十分です。

これらのアルゴリズムの中で最も単純なものは次のようになります。普通の分数の無限の表が編集されます。私それぞれの - 行目 j分数が配置されている番目の列。明確にするために、このテーブルの行と列には 1 から始まる番号が付けられていると仮定します。表のセルはで示されます。私- セルが配置されているテーブルの行の番号、および j- 列番号。

結果として得られるテーブルは、次の正式なアルゴリズムに従って「スネーク」を使用して走査されます。

これらのルールは上から下に検索され、最初の一致に基づいて次の位置が選択されます。

このような走査の過程で、新しい有理数はそれぞれ別の有理数に関連付けられます。自然数。つまり、分数 1/1 は数値 1 に、分数 2/1 は数値 2 に、というように割り当てられます。既約分数のみに番号が付けられることに注意してください。既約性の正式な兆候は、分数の分子と分母の最大公約数が 1 に等しいことです。

このアルゴリズムに従って、すべての正の有理数を列挙できます。これは、正の有理数のセットが可算であることを意味します。各有理数にその反対を割り当てるだけで、正と負の有理数のセット間で全単射を確立するのは簡単です。それ。負の有理数の集合も可算です。それらの和集合も可算集合の性質によって可算です。有理数の集合は、可算集合と有限集合の和集合として数えることもできます。

有理数の集合の可算性についての記述は、一見すると自然数の集合よりもはるかに広範であるように見えるため、多少の混乱を引き起こす可能性があります。実際にはそうではなく、すべての有理数を列挙するのに十分な自然数が存在します。

有理数の欠如

このような三角形の斜辺は、いかなる方法でも表すことができません。有理数

1 / の形式の有理数 n全般的に n任意の少量を測定できます。この事実は、有理数を使用してあらゆる幾何学的距離を測定できるという誤解を招く印象を与えます。これが真実ではないことを示すのは簡単です。

ピタゴラスの定理から、直角三角形の斜辺は、その脚の二乗の和の平方根として表されることがわかります。それ。二等辺三角形の斜辺の長さ直角三角形単位脚が等しい、つまり二乗が 2 の数値。

数値が有理数で表現できると仮定すると、次のような整数が存在します。 メートルそしてそのような自然数 n、それ、そして分数は既約、つまり数値です メートルそして n- 相互に単純です。

の場合、、つまり メートル 2 = 2n 2. したがって、その数は、 メートル 2 は偶数ですが、2 の積です奇数奇数、つまり数値そのもの メートルそれも偶数。それで自然数が存在する k、次のような数 メートル次の形式で表すことができます メートル = 2k。数字の四角形 メートルこの意味で メートル 2 = 4k 2、しかしその一方で、 メートル 2 = 2n 2 は 4 を意味します k 2 = 2n 2、または n 2 = 2k 2. 番号については前に示したように メートル、これは数値を意味します n- たとえ メートル。しかし、両方が二等分されるため、それらは相対的に素ではありません。結果として生じる矛盾は、それが有理数ではないことを証明します。

「分数」という言葉を聞くと鳥肌が立つ人も多いでしょう。学校のことや数学で解いた課題を覚えているからです。これは果たさなければならない義務でした。適切な分数と仮分数を含む問題をパズルのように扱うとどうなるでしょうか? 結局のところ、多くの大人はデジタルと日本語クロスワード。私たちはルールを理解しました、それで終わりです。ここでも同じです。理論を掘り下げるだけで、すべてがうまくいきます。そして、その例はあなたの脳を訓練する方法になります。

分数にはどのような種類があるのでしょうか?

それが何なのかから始めましょう。分数とは、1 の一部を持つ数値です。 2 つの形式で書くことができます。最初のものは「普通」と呼ばれます。つまり、水平または斜めの線があるものです。除算記号に相当します。

この表記法では、線の上の数値を分子と呼び、線の下の数値を分母と呼びます。

普通分数の中には、仮分数と仮分数が区別されます。前者の場合、分子の絶対値は常に分母より小さくなります。間違ったものは、すべてが逆であるため、そのように呼ばれます。固有の分数の値は常に 1 より小さくなります。間違っているものは常にこの数値より大きくなります。

帯分数、つまり整数と小数部分を持つ数もあります。

2 番目の録音タイプは、 10進数。彼女については別の会話があります。

仮分数は帯分数とどう違うのですか?

本質的には、何もありません。これらは同じ番号の異なる録音です。仮分数は簡単な手順で簡単に計算できるようになります。帯分数。そしてその逆も同様です。

それはすべて特定の状況によって異なります。タスクでは仮分数を使用した方が便利な場合があります。また、場合によっては、それを帯分数に変換する必要がある場合もあります。そうすれば、例は非常に簡単に解決されます。したがって、仮分数と帯分数のどちらを使用するかは、問題を解く人の観察力に依存します。

帯分数は整数部と小数部の和とも比較されます。さらに、2 番目の値は常に 1 未満です。

帯分数を仮分数として表すにはどうすればよいですか?

に書かれた複数の数字を使用してアクションを実行する必要がある場合は、さまざまな種類、その後、それらを同じにする必要があります。 1 つの方法は、数値を仮分数として表すことです。

この目的のために、次のアルゴリズムを実行する必要があります。

分母に全体の部分を掛けます。
分子の値を結果に加算します。
答えは線の上に書きます。
分母はそのままにします。

以下に、帯分数から仮分数を書く方法の例を示します。

17 1/4 = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 1/2 = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2。

仮分数を帯分数として書くにはどうすればよいですか?

次のテクニックは、上で説明したテクニックの逆です。つまり、すべての帯分数が仮分数に置き換えられる場合です。アクションのアルゴリズムは次のようになります。

分子を分母で割って余りを求めます。
混合したものの全体の代わりに商を書きます。
残りは線の上に配置する必要があります。
約数が分母になります。

このような変換の例:

76/14; 76:14 = 5 余り 6; 答えは 5 の整数と 6/14 になります。この例の小数部分は 2 減らす必要があり、結果は 3/7 になります。最終的な答えは 5 ポイント 3/7 です。

108/54; 除算後、剰余なしで 2 の商が得られます。これは、すべての仮分数を帯分数として表現できるわけではないことを意味します。答えは整数 - 2 になります。

整数を仮分数に変換するにはどうすればよいですか?

そのようなアクションが必要な状況があります。既知の分母で仮分数を取得するには、次のアルゴリズムを実行する必要があります。

整数に必要な分母を掛けます。
この値を線の上に書き込みます。
分母をその下に置きます。

最も単純なオプションは、分母が 1に等しい。そうすれば、何も掛ける必要はありません。例で指定された整数を単純に書き込み、その行の下に 1 を置くだけで十分です。

例: 5 を分母が 3 の仮分数にします。5 に 3 を掛けると 15 になります。この数字が分母になります。この課題の答えは分数です: 15/3。

異なる数値の問題を解決するための 2 つのアプローチ

この例では、2 つの整数 3/5 と 14/11 の合計と差、および 2 つの数値の積と商を計算する必要があります。

最初のアプローチでは帯分数は仮分数として表されます。

上記の手順を実行すると、値 13/5 が得られます。

合計を求めるには、分数を次のように減らす必要があります。同じ分母。 13/5 に 11 を掛けると 143/55 になります。 14/11 を 5 倍すると、70/55 のようになります。合計を計算するには、分子 143 と 70 を加算し、分母 1 つを含む答えを書き留めるだけです。 213/55 - この仮分数が問題の答えです。

差を求めるときは、同じ数字を引きます: 143 - 70 = 73。答えは分数になります: 73/55。

13/5 と 14/11 を掛けるとき、それらを公分母に減らす必要はありません。分子と分母をペアで乗算するだけで十分です。答えは 182/55 となります。

分割についても同様です。のために正しい決断割り算を掛け算に置き換え、約数を逆にする必要があります: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70。

2番目のアプローチでは仮分数は帯分数になります。

アルゴリズムのアクションを実行すると、14/11 は、整数部分が 1、小数部分が 3/11 の帯分数に変わります。

合計を計算するときは、整数部分と小数部分を別々に加算する必要があります。 2 + 1 = 3、3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55。最終的な答えは 3 ポイント 48/55 です。最初のアプローチでは、端数は 213/55 でした。帯分数に変換することで正しさを確認できます。 213 を 55 で割ると、商は 3 になり、余りは 48 になります。答えが正しいことは簡単にわかります。

減算する場合、「+」記号は「-」に置き換えられます。 2 - 1 = 1、33/55 - 15/55 = 18/55。確認するには、前のアプローチの答えを帯分数に変換する必要があります。73 を 55 で割ると、商は 1、余りは 18 になります。

積と商を求めるには、帯分数を使用するのは不便です。ここでは常に仮分数に進むことをお勧めします。

「分数」という言葉を聞くと鳥肌が立つ人も多いでしょう。学校のことや数学で解いた課題を覚えているからです。これは果たさなければならない義務でした。適切な分数と仮分数を含む問題をパズルのように扱うとどうなるでしょうか? 結局のところ、多くの大人がデジタルと日本語のクロスワードを解いています。私たちはルールを理解しました、それで終わりです。ここでも同じです。理論を掘り下げるだけで、すべてがうまくいきます。そして、その例はあなたの脳を訓練する方法になります。

分数にはどのような種類があるのでしょうか?

この表記法では、線の上の数値を分子と呼び、線の下の数値を分母と呼びます。

帯分数、つまり整数と小数部分を持つ数もあります。

2 番目のタイプの表記は小数です。彼女については別の会話があります。

仮分数は帯分数とどう違うのですか?

本質的には、何もありません。これらは同じ番号の異なる録音です。仮分数は簡単な手順で簡単に帯分数になります。そしてその逆も同様です。

帯分数は整数部と小数部の和とも比較されます。さらに、2 番目の値は常に 1 未満です。

帯分数を仮分数として表すにはどうすればよいですか?

異なる形式で書かれた複数の数値を使用してアクションを実行する必要がある場合は、それらを同じにする必要があります。 1 つの方法は、数値を仮分数として表すことです。

この目的のために、次のアルゴリズムを実行する必要があります。

分母に全体の部分を掛けます。
分子の値を結果に加算します。
答えは線の上に書きます。
分母はそのままにします。

以下に、帯分数から仮分数を書く方法の例を示します。

17 1/4 = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 1/2 = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2。

仮分数を帯分数として書くにはどうすればよいですか?

分子を分母で割って余りを求めます。
混合したものの全体の代わりに商を書きます。
残りは線の上に配置する必要があります。
約数が分母になります。

このような変換の例:

整数を仮分数に変換するにはどうすればよいですか?

そのようなアクションが必要な状況があります。既知の分母で仮分数を取得するには、次のアルゴリズムを実行する必要があります。

整数に必要な分母を掛けます。
この値を線の上に書き込みます。
分母をその下に置きます。

最も単純なオプションは、分母が 1 に等しい場合です。そうすれば、何も掛ける必要はありません。例で指定された整数を単純に書き込み、その行の下に 1 を置くだけで十分です。

例: 5 を分母が 3 の仮分数にします。5 に 3 を掛けると 15 になります。この数字が分母になります。この課題の答えは分数です: 15/3。

異なる数値の問題を解決するための 2 つのアプローチ

この例では、2 つの整数 3/5 と 14/11 の合計と差、および 2 つの数値の積と商を計算する必要があります。

最初のアプローチでは帯分数は仮分数として表されます。

上記の手順を実行すると、値 13/5 が得られます。

合計を求めるには、分数を同じ分母に減らす必要があります。 13/5 に 11 を掛けると 143/55 になります。 14/11 を 5 倍すると、70/55 のようになります。合計を計算するには、分子 143 と 70 を加算し、分母 1 つを含む答えを書き留めるだけです。 213/55 - この仮分数が問題の答えです。

差を求めるときは、同じ数字を引きます: 143 - 70 = 73。答えは分数になります: 73/55。

13/5 と 14/11 を掛けるとき、それらを公分母に減らす必要はありません。分子と分母をペアで乗算するだけで十分です。答えは 182/55 となります。

分割についても同様です。正しく解くには、割り算を掛け算に置き換え、約数を反転する必要があります: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70。

2番目のアプローチでは仮分数は帯分数になります。

アルゴリズムのアクションを実行すると、14/11 は、整数部分が 1、小数部分が 3/11 の帯分数に変わります。

積と商を求めるには、帯分数を使用するのは不便です。ここでは常に仮分数に進むことをお勧めします。

仮分数

クォーターズ

秩序性。 あるそして bそれらの間の 3 つの関係のうち 1 つだけを一意に識別できるルールがあります。< », « >" または " = "。このルールはと呼ばれます 順序付けルールおよびは次のように定式化されます: 2 つの非負の数およびは、2 つの整数およびと同じ関係によって関連付けられます。 2 つの非正の数あるそして b; は、2 つの非負の数とと同じ関係によって関連付けられます。もし突然あるネガティブではないけど、 b- 否定的な場合ある > b。
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分数の加算加算演算。あるそして bあらゆる有理数に対して いわゆる 合計ルール c 合計ルール。また、その数字自体が 呼ばれた額あるそして b数字 で表され、そのような数値を見つけるプロセスはと呼ばれます。合計 .
。合計ルールは次の形式になります。加算演算。あるそして bあらゆる有理数に対して 乗算演算。乗算規則 合計ルール c 合計ルール。また、その数字自体が 、それらに有理数を割り当てます。額あるそして b仕事 で表され、そのような数を見つけるプロセスはとも呼ばれます乗算 .
。乗算ルールは次のようになります。順序関係の推移性。ある , bそして 合計ルール有理数の任意の 3 倍の場合あるもし bそして bもし 合計ルール少ないあるもし 合計ルール、それある、そしてもし bそして b、そしてもし 合計ルール少ないある、そしてもし 合計ルール等しい
。 6435">加算の可換性。有理項の位置を変更しても和は変わりません。
加算の結合性。 3 つの有理数を加算する順序は結果に影響しません。
ゼロの存在。追加したときに他のすべての有理数を保持する有理数 0 があります。
反対の数字の存在。有理数には反対の有理数があり、それを加算すると 0 になります。
乗算の可換性。合理的な要素の場所を変更しても、製品は変わりません。
乗算の結合性。 3 つの有理数を乗算する順序は結果に影響しません。
ユニットの可用性。乗算したときに他のすべての有理数を保存する有理数 1 があります。
逆数の存在。有理数には逆有理数があり、それを掛けると 1 になります。
加算に対する乗算の分配性。乗算演算は、分配法則によって加算演算と調整されます。
順序関係を加算の演算で結び付ける。同じ有理数を有理不等式の左辺と右辺に加算できます。ある/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> あるアルキメデスの公理。

有理数が何であれ

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集合の可算性

有理数の番号付け

結果として得られるテーブルは、次の正式なアルゴリズムに従って「スネーク」を使用して走査されます。

これらのルールは上から下に検索され、最初の一致に基づいて次の位置が選択されます。

このような探索の過程で、新しい有理数はそれぞれ別の自然数に関連付けられます。つまり、分数 1/1 は数値 1 に、分数 2/1 は数値 2 に、というように割り当てられます。既約分数のみに番号が付けられることに注意してください。既約性の正式な兆候は、分数の分子と分母の最大公約数が 1 に等しいことです。