関数の導関数の最大値を見つける方法。有界閉領域内の関数の最大値と最小値を見つけるにはどうすればよいですか? 主なタスクの種類

関数 $z=f(x,y)$ が定義され、ある有界な閉じた領域 $D$ 内で連続的であるとします。この領域の指定された関数が一次の有限偏導関数を持つものとします (おそらく、有限数の点を除く)。指定された閉領域内の 2 つの変数の関数の最大値と最小値を見つけるには、単純なアルゴリズムの 3 つのステップが必要です。

閉領域$D$内の関数$z=f(x,y)$の最大値と最小値を求めるアルゴリズム。

領域 $D$ に属する関数 $z=f(x,y)$ の臨界点を見つけます。重要なポイントで関数の値を計算します。
領域 $D$ の境界上で関数 $z=f(x,y)$ の動作を調べ、考えられる最大値と最小値の点を見つけます。取得した点での関数値を計算します。
前の 2 つの段落で取得した関数値から、最大値と最小値を選択します。

クリティカルポイントとは何ですか? 表示/非表示

下 重要なポイント両方の 1 次偏導関数がゼロに等しい点を意味します (つまり $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ および $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $)または、少なくとも 1 つの偏導関数が存在しません。

多くの場合、一次偏導関数がゼロに等しい点は、 静止点。したがって、静止点は臨界点のサブセットです。

例その1

線$x=3$、$y=0$、$y=xで囲まれた閉領域内の関数$z=x^2+2xy-y^2-4x$の最大値と最小値を求めます。 +1ドル。

上記に従っていきますが、最初に、文字 $D$ で示す特定の領域の描画を扱います。この領域を制限する 3 つの直線の方程式が与えられます。直線 $x=3$ は、縦軸 (Oy 軸) に平行な点 $(3;0)$ を通ります。直線$y=0$は横軸(Ox軸)の方程式です。さて、線 $y=x+1$ を作成するには、この線を引く 2 つの点を見つけます。もちろん、$x$ の代わりに、いくつかの任意の値を代入することもできます。たとえば、$x=10$ を代入すると、$y=x+1=10+1=11$ となります。直線 $y=x+1$ 上にある点 $(10;11)$ が見つかりました。ただし、線 $y=x+1$ が線 $x=3$ および $y=0$ と交差する点を見つける方がよいでしょう。なぜこの方が良いのでしょうか? なぜなら、線分 $y=x+1$ を作成するための 2 つの点を取得し、同時にこの線が指定された領域を制限する他の線とどの点で交差するかを調べることになるため、一石二鳥だからです。線分 $y=x+1$ は点 $(3;4)$ で線分 $x=3$ と交差し、線分 $y=0$ は点 $(-1;0)$ で交差します。解答の進行が補助的な説明でごちゃごちゃにならないように、この2点を求める問題をメモに残しておきます。

ポイント $(3;4)$ と $(-1;0)$ はどのように取得されたのでしょうか? 表示/非表示

線 $y=x+1$ と $x=3$ の交点から始めましょう。目的の点の座標は 1 番目と 2 番目の直線の両方に属しているため、未知の座標を見つけるには、連立方程式を解く必要があります。

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

このようなシステムの解決策は自明です。最初の方程式に $x=3$ を代入すると、$y=3+1=4$ が得られます。点 $(3;4)$ は、線 $y=x+1$ と $x=3$ の望ましい交点です。

次に、線 $y=x+1$ と $y=0$ の交点を見つけてみましょう。もう一度連立方程式を作成して解いてみましょう。

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

$y=0$ を最初の方程式に代入すると、$0=x+1$、$x=-1$ が得られます。点 $(-1;0)$ は、線 $y=x+1$ と $y=0$ (横軸) の望ましい交点です。

次のような図面を作成する準備がすべて整いました。

写真にはすべてが表示されているため、メモの問題は明白に思えます。ただし、図面は証拠として機能しないことに注意してください。図面は説明のみを目的としています。

私たちのエリアは、その境界を結ぶ線の方程式を使用して定義されました。明らかに、これらの線は三角形を定義しますよね? それとも全く明らかではないのでしょうか？あるいは、同じ線で囲まれた別の領域が与えられるかもしれません。

もちろん、条件にはそのエリアは閉鎖されていると書かれているので、表示されている写真は間違っています。ただし、このような曖昧さを避けるには、不等式によって領域を定義する方が良いでしょう。直線 $y=x+1$ の下にある平面の部分に興味があるでしょうか? OK、$y ≤ x+1$ です。私たちのエリアは $y=0$ の線より上にあるべきでしょうか? なるほど、$y ≥ 0$ ということですね。ちなみに、最後の 2 つの不等式は簡単に 1 つにまとめることができます: $0 ≤ y ≤ x+1$。

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

これらの不等式は領域 $D$ を定義し、曖昧さを許すことなく明確に定義します。しかし、これがメモの冒頭で述べた質問にどのように役立つでしょうか? これも役立ちます:) 点$M_1(1;1)$が領域$D$に属しているかどうかを確認する必要があります。この領域を定義する不等式に $x=1$ と $y=1$ を代入してみましょう。両方の不等式が満たされる場合、点は領域内にあります。少なくとも 1 つの不等式が満たされない場合、その点はその領域に属しません。それで：

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$。

どちらの不等式も有効です。点 $M_1(1;1)$ は領域 $D$ に属します。

次に、領域の境界における関数の動作を研究します。に行きましょう。まずは直線 $y=0$ から始めましょう。

直線 $y=0$ (横軸) は、$-1 ≤ x ≤ 3$ の条件の下で領域 $D$ を制限します。与えられた関数 $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ に $y=0$ を代入してみましょう。代入の結果得られる 1 つの変数 $x$ の関数を $f_1(x)$ と表記します。

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x。 $$

ここで、関数 $f_1(x)$ については、区間 $-1 ≤ x ≤ 3$ の最大値と最小値を見つける必要があります。この関数の導関数を見つけて、それをゼロにしましょう。

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

値 $x=2$ はセグメント $-1 ≤ x ≤ 3$ に属しているため、$M_2(2;0)$ も点のリストに追加します。さらに、セグメント $-1 ≤ x ≤ 3$ の端にある関数 $z$ の値を計算してみましょう。点 $M_3(-1;0)$ と $M_4(3;0)$ です。ちなみに、点 $M_2$ が検討中のセグメントに属していない場合は、当然のことながら、そのセグメント内の関数 $z$ の値を計算する必要はありません。

そこで、関数 $z$ の点 $M_2$、$M_3$、$M_4$ の値を計算してみましょう。もちろん、これらの点の座標を元の式 $z=x^2+2xy-y^2-4x$ に代入することもできます。たとえば、点 $M_2$ の場合、次のようになります。

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

ただし、計算は少し簡略化することができます。これを行うには、セグメント $M_3M_4$ に $z(x,y)=f_1(x)$ があることを覚えておく価値があります。これを詳しく書きます：

\begin(整列) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3。 \end(整列)

もちろん、通常はそのような詳細な記録は必要ありません。将来的には、すべての計算を簡単に書き留めることにします。

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

さて、直線$x=3$に目を向けてみましょう。この直線は、条件 $0 ≤ y ≤ 4$ の下で領域 $D$ を制限します。与えられた関数 $z$ に $x=3$ を代入してみましょう。この置換の結果、関数 $f_2(y)$ が得られます。

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3。 $$

関数 $f_2(y)$ の場合、区間 $0 ≤ y ≤ 4$ の最大値と最小値を見つける必要があります。この関数の導関数を見つけて、それをゼロにしましょう。

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

値 $y=3$ はセグメント $0 ≤ y ≤ 4$ に属しているため、以前に見つかった点に $M_5(3;3)$ も追加します。さらに、セグメント $0 ≤ y ≤ 4$ の端の点における関数 $z$ の値を計算する必要があります。点 $M_4(3;0)$ と $M_6(3;4)$ です。 $M_4(3;0)$ の時点で、$z$ の値がすでに計算されています。点 $M_5$ と $M_6$ における関数 $z$ の値を計算してみましょう。セグメント $M_4M_6$ には $z(x,y)=f_2(y)$ があるため、次のようになります。

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5。 \end(整列)

そして最後に、領域 $D$ の最後の境界、つまり直線$y=x+1$。この直線は、条件 $-1 ≤ x ≤ 3$ の下で領域 $D$ を制限します。 $y=x+1$ を関数 $z$ に代入すると、次のようになります。

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1。 $$

もう一度、1 つの変数 $x$ の関数があります。そして再び、区間 $-1 ≤ x ≤ 3$ でこの関数の最大値と最小値を見つける必要があります。関数 $f_(3)(x)$ の導関数を見つけて、それをゼロと等価にしてみましょう。

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

値 $x=1$ は、区間 $-1 ≤ x ≤ 3$ に属します。 $x=1$ の場合、$y=x+1=2$ となります。 $M_7(1;2)$ を点のリストに追加し、この時点での関数 $z$ の値を調べてみましょう。セグメント $-1 ≤ x ≤ 3$ の端の点、つまり点 $M_3(-1;0)$ と $M_6(3;4)$ は以前に考慮されており、それらの関数の値はすでに見つかりました。

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

解決策の 2 番目のステップが完了しました。 7 つの値を受け取りました。

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

話を戻しましょう。 3 番目の段落で取得した数値から最大値と最小値を選択すると、次のようになります。

$$z_(分)=-4; \; z_(最大)=6.$$

問題は解決したので、あとは答えを書き留めるだけです。

答え: $z_(分)=-4; \; z_(最大)=6$。

例その2

$x^2+y^2 ≤ 25$ の範囲で関数 $z=x^2+y^2-12x+16y$ の最大値と最小値を求めます。

まず、図面を作成しましょう。方程式 $x^2+y^2=25$ (これは指定された領域の境界線です) は、原点 (つまり、点 $(0;0)$) を中心とし、半径が5. 不等式 $x^2 +y^2 ≤ $25 は、言及された円の内側および上のすべての点を満たします。

に従って行動させていただきます。偏導関数を求めて臨界点を見つけてみましょう。

$$ \frac(\部分 z)(\部分 x)=2x-12; \frac(\部分 z)(\部分 y)=2y+16。 $$

求められた偏導関数が存在しない点はありません。両方の偏微分値が同時にゼロに等しくなる点を調べてみましょう。静止点を見つけてみましょう。

$$ \left \( \begin(整列) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(整列) \right. \;\; \left \( \begin(整列) & x =6;\\ & y=-8。\end(整列) \right $$。

静止点 $(6;-8)$ を取得しました。ただし、見つかった点は領域 $D$ に属しません。これは、描画に頼らなくても簡単に示すことができます。領域 $D$ を定義する不等式 $x^2+y^2 ≤ 25$ が成り立つかどうかを確認してみましょう。 $x=6$、$y=-8$ の場合、$x^2+y^2=36+64=100$、つまり不等式 $x^2+y^2 ≤ 25$ は成り立ちません。結論: 点 $(6;-8)$ は領域 $D$ に属しません。

したがって、領域 $D$ 内には臨界点はありません。次に進みましょう... 与えられた領域の境界における関数の動作を研究する必要があります。円 $x^2+y^2=25$ 上で。もちろん、$y$ を $x$ で表現し、その結果の式を関数 $z$ に代入することもできます。円の方程式から $y=\sqrt(25-x^2)$ または $y=-\sqrt(25-x^2)$ が得られます。たとえば、指定された関数に $y=\sqrt(25-x^2)$ を代入すると、次のようになります。

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5。 $$

さらなる解決策は、前の例 1 の領域の境界における関数の動作の研究と完全に同じになります。しかし、この状況ではラグランジュ法を適用する方が合理的であるように私には思えます。このメソッドの最初の部分のみに注目します。ラグランジュ法の最初の部分を適用した後、関数 $z$ の最小値と最大値を調べる点を取得します。

ラグランジュ関数を作成します。

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25)。 $$

ラグランジュ関数の偏導関数を見つけて、対応する連立方程式を構成します。

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ラムダ x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ラムダ y.\\ \left \( \begin (整列) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 です。 \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $

この系を解くために、$\lambda\neq -1$ をすぐに指摘しましょう。なぜ $\lambda\neq -1$ なのでしょうか? $\lambda=-1$ を最初の方程式に代入してみましょう。

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6。 $$

結果として生じる矛盾 $0=6$ は、値 $\lambda=-1$ が受け入れられないことを示します。出力: $\lambda\neq -1$。 $x$ と $y$ を $\lambda$ で表現してみます。

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ラムダ)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda)。 \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\ラムダ)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ラムダ)。 \end(整列)

$\lambda\neq -1$ という条件を特に規定した理由がここで明らかになるかと思います。これは、式 $1+\lambda$ を干渉することなく分母に当てはめるために行われました。つまり、分母が $1+\lambda\neq 0$ であることを確認します。

$x$ と $y$ の結果の式をシステムの 3 番目の方程式に代入してみましょう。 $x^2+y^2=25$ で:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ラムダ)^2)+\frac(64)((1+\ラムダ)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ラムダ)^2)=25 ; \; (1+\ラムダ)^2=4。 $$

結果の等価性から、$1+\lambda=2$ または $1+\lambda=-2$ となります。したがって、パラメータ $\lambda$ には 2 つの値、つまり $\lambda_1=1$、$\lambda_2=-3$ があります。したがって、$x$ と $y$ の 2 つのペアの値が得られます。

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4。 \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4。 \end(整列)

したがって、可能な条件付き極値の 2 つの点が得られました。 $M_1(3;-4)$ と $M_2(-3;4)$。関数 $z$ の点 $M_1$ と $M_2$ の値を見つけてみましょう。

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125。 \end(整列)

最初のステップと 2 番目のステップで取得した値から最大値と最小値を選択する必要があります。しかし、この場合、選択肢は少ないです:) 次のものがあります。

$$ z_(分)=-75; \; z_(最大)=125。 $$

答え: $z_(分)=-75; \; z_(最大)=$125。

機能させましょう y =f(×)区間 [ a、b]。知られているように、このような関数はこのセグメントで最大値と最小値に達します。関数はセグメントの内部ポイントのいずれかでこれらの値を取得できます。 a、b]、またはセグメントの境界上にあります。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけるには [ a、b] 必要：

1) 区間内の関数の臨界点を見つけます ( a、b);

2) 見つかった臨界点における関数の値を計算します。

3) セグメントの端の関数の値を計算します。つまり、 ×=あそしてx = b;

4) 関数のすべての計算値から、最大値と最小値を選択します。

例。関数の最大値と最小値を見つける

セグメント上で。

重要なポイントを見つける:

これらの点はセグメントの内側にあります。 y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

時点で ×= 3 そしてその時点で ×= 0.

凸性と変曲点の関数の検討。

関数 y = f (×) 呼ばれた凸状その間 (ある, b) 、そのグラフがこの区間内の任意の点で引かれた接線の下にあり、次のように呼ばれる場合 下に凸（凹）、グラフが接線の上にある場合。

凸面が凹面に、またはその逆に置き換わる点をといいます。 変曲点.

凸性と変曲点を調べるアルゴリズム:

1. 第 2 種臨界点、つまり 2 次導関数がゼロに等しいか存在しない点を見つけます。

2. 数直線上に重要な点をプロットし、それを区間に分割します。各区間の二次導関数の符号を見つけます。の場合、関数は上に凸であり、の場合、関数は下に凸です。

3. 第 2 種臨界点を通過するときに符号が変化し、この時点で 2 次微分値がゼロに等しい場合、この点は変曲点の横座標になります。その縦座標を求めます。

関数のグラフの漸近線。漸近線の関数の研究。

意味。関数のグラフの漸近線はと呼ばれます 真っ直ぐこれには、グラフ上の点が原点から無限に移動するにつれて、グラフ上の任意の点からこの線までの距離がゼロになる傾向があるという特性があります。

漸近線には 3 つのタイプがあります。 垂直、水平、傾斜。

意味。直線はこう呼ばれます 垂直漸近線機能グラフィックス y = f(x)、この時点での関数の片側極限の少なくとも 1 つが無限大に等しい場合、つまり

ここで、は関数の不連続点です。つまり、関数は定義領域に属しません。

例。

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

×= 2 – ブレークポイント。

意味。真っ直ぐ y =あ呼ばれた 水平漸近線機能グラフィックス y = f(x)で、もし

例。

×
y

意味。真っ直ぐ y =k× +b (k≠ 0) と呼ばれます 斜めの漸近線機能グラフィックス y = f(x)で、どこで

関数を研究し、グラフを構築するための一般的なスキーム。

機能調査アルゴリズムy = f(x) :

1. 関数のドメインを見つける D (y).

2. (可能であれば) グラフと座標軸の交点を見つけます (可能であれば)。 ×= 0 および y = 0).

3. 関数の偶数と奇数を調べます ( y (‒ ×) = y (×) ‒ パリティ; y(‒ ×) = ‒ y (×) ‒ 奇数）。

4. 関数のグラフの漸近線を見つけます。

5. 関数の単調性の区間を見つけます。

6. 関数の極値を見つけます。

7. 関数グラフの凸（凹）と変曲点の間隔を求めます。

8. 実施した調査に基づいて、関数のグラフを作成します。

例。関数を調べてグラフを作成します。

1) D (y) =

×= 4 – ブレークポイント。

2) いつ × = 0,

(0; ‒ 5) – との交点おお.

で y = 0,

3) y(‒ ×)= 一般形式 (偶数でも奇数でもない) の関数。

4) 漸近線を調べます。

a) 垂直

b) 水平

c) 斜めの漸近線を見つけます。

‒斜線漸近方程式

5) この式では、関数の単調性の区間を見つける必要はありません。

これらの臨界点は、関数の定義領域全体を区間 (˗∞; ˗2)、(˗2; 4)、(4; 10)、および (10; +∞) に分割します。得られた結果を次の表の形式で示すと便利です。

セグメント上の連続関数の最大値と最小値を見つけるためのアルゴリズム:

1) セグメントに属する関数のすべての臨界点を見つけます。

2) これらの点とセグメントの終点での関数の値を計算します。

3) 得られた値から最大値と最小値を選択します。

例8.1。関数の最大値と最小値を見つける
セグメント上で
.

解決。 1) 関数の臨界点を見つけます。

,




.

セグメント上
分母は消えません。したがって、分子がゼロに等しい場合に限り、分数はゼロに等しくなります。




.

手段、
– 機能の重要なポイント。このセグメントに属します。

臨界点における関数の値を見つけてみましょう。

2) セグメントの終わりにある関数の値を見つけます。

, .

3) 取得した値から最大値と最小値を選択します。

,
.

9. 量の最大値と最小値を求める問題

数量の最小値と最大値の計算を伴う問題を解くときは、まず、問題内のどの数量について最小値または最大値を見つける必要があるかを決定する必要があります。この値が研究対象の関数になります。次に、関数の適用が依存する変化に関係する量の 1 つを独立変数として取り、関数をそれを通じて表現する必要があります。この場合、研究対象の関数が最も単純に表現される値を独立変数として選択する必要があります。この後、独立変数の一定の変化間隔で結果の関数の最小値と最大値を見つける問題が解決されます。これは通常、問題の本質から確立されます。

例9.1。半径の球に内接することができる最大体積の円錐の高さを求めます。 .

R 決断。底面の半径、円錐の高さ、体積をそれぞれ指定します。 ,そして、書きましょう
。そしてこの等式は 2 つの変数への依存性を表します ; これらの量の 1 つを除外してみましょう。
。これを行うには、直角三角形から

(直角の頂点から斜辺に下ろした垂線の二乗に関する定理を使用して):

図 6 – 例 9.1 の図。
.

または値の置換

円錐の体積の式に代入すると、次のようになります。ボリュームが半径のボールに内接する円錐、この円錐の高さの関数があります。内接円錐の体積が大きくなる高さを求めるということは、、関数は

1)
,

2)
,
,
には最大値があります。最大の関数を探しています。
図 6 – 例 9.1 の図。
,

3)
.

、どこ代わりに代用する
初めに
、その後

、次のようになります。
最初のケースでは、最小値 (
で
)、2 番目に必要な最大値 (
).

で
したがって、いつ , 半径のボールに内接する円錐

が一番ボリュームが大きいです。 P. 例9.2 60 金網長さのフェンスが必要ですメートル

解決。家の壁に隣接する長方形の領域 (図 7)。最大の面積を得るには、プロットの長さと幅はどれくらいにすべきでしょうか? 金網長さのフェンスが必要ですプロットの幅を設定します 金網長さのフェンスが必要です 2 、およびその地域

、それから：

図 7 – 例 9.2 の図。そして価値観
負の値にすることはできないため、乗数は
.

、A 四角機能があります

.
、その増加と減少の間隔を決定します。
;
、次の場合に機能が増加します。
、次の場合には機能が低下します。
。したがって、ポイントは、
が最大点です。これは区間に属する唯一の点であるため、
、そしてその時点で

機能が最も重要です。
したがって、プロットの面積は、幅が次の場合に最大（最大）になります。うーん、 そして長さ.

メートル例9.3。 面積が次の長方形の部屋の寸法はどれくらいであるべきか 2 36メートル

その周囲が最小になるようにしますか？解決 。長さをこうしましょううーん、 そして長さ次に長方形の幅

、および周囲: 外周長さの関数があります :
.

、すべての正の値に対して定義

その増加と減少の間隔を決定してみましょう。
導関数の符号は差の符号によって決まります

。その間

.

、そしてその間に
したがって、ポイントは、
が最大点です。これは区間に属する唯一の点であるため、
が最低点です。これが区間に属する唯一の点であるため、次のようになります。

関数の値が最小になります。 6 金網長さのフェンスが必要ですしたがって、長方形の周囲長は、その長さが次の場合に最小値 (最小値) になります。と幅 m = 6 メートル、

つまり正方形の場合です。

関数の最大値または最小値を見つけるには、次のことを行う必要があります。

指定されたセグメントにどの静止点が含まれているかを確認します。
ステップ 3 のセグメントの端と静止点での関数の値を計算します。
得られた結果から最大値または最小値を選択します。

最大点または最小点を見つけるには、次のことを行う必要があります。

関数 $f"(x)$ の導関数を求めます
方程式 $f"(x)=0$ を解いて静止点を見つけます。
関数の導関数を因数分解します。
座標線を描画し、その上に静止点を配置し、ステップ 3 の表記を使用して、結果として得られる区間の導関数の符号を決定します。
ルールに従って最大点または最小点を見つけます。ある点で導関数の符号がプラスからマイナスに変化する場合、これが最大点になります (マイナスからプラスに変化する場合、これは最小点になります)。実際には、区間上の矢印のイメージを使用すると便利です。導関数が正の区間では、矢印は上向きに描かれ、その逆も同様です。

いくつかの初等関数の導関数の表:

関数	デリバティブ
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1))、n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$シンク$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

微分の基本ルール

1. 和と差の導関数は各項の導関数に等しい

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

関数 $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ の導関数を求めます。

和と差の微分値は各項の微分値に等しい

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. 製品の派生品。

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ の導関数を求めます

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. 商の導関数

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ の導関数を求めます。

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. 複素関数の導関数は、外部関数の導関数と内部関数の導関数の積に等しい。

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

関数 $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ の最小点を求めます

1. 関数の ODZ を見つけます: $x+11>0; x>-11$

2. 関数 $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ の導関数を求めます。

3. 導関数をゼロに等しくして静止点を見つけます。

$(2x+21)/(x+11)=0$

分子がゼロで分母がゼロでない場合、分数はゼロに等しくなります。

$2x+21=0; x≠-11$

4. 座標線を描き、その上に静止点を配置し、結果として得られる区間の導関数の符号を決定してみましょう。これを行うには、右端の領域の任意の数値 (たとえば、ゼロ) を導関数に代入します。

$y"(0)=(2・0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. 最小点では、導関数の符号がマイナスからプラスに変わります。したがって、点 $-10.5$ が最小点になります。

答え: $-10.5$

セグメント $[-5;1]$ 上の関数 $y=6x^5-90x^3-5$ の最大値を見つけます

1. 関数 $y'=30x^4-270x^2$ の導関数を求めます。

2. 導関数をゼロとみなして静止点を見つけます

$30x^4-270x^2=0$

括弧内の合計係数 $30x^2$ を取り出してみましょう

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

各要素をゼロにしましょう

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. 指定されたセグメント $[-5;1]$ に属する静止点を選択します

静止点 $x=0$ と $x=-3$ が最適です

4. ステップ 3 のセグメントの端と静止点での関数の値を計算します。

実際には、導関数を使用して関数の最大値と最小値を計算するのが非常に一般的です。このアクションは、コストを最小限に抑え、利益を増やし、生産の最適な負荷を計算する方法を見つけるとき、つまりパラメーターの最適な値を決定する必要がある場合に実行されます。このような問題を正しく解決するには、関数の最大値と最小値が何であるかをよく理解する必要があります。

通常、これらの値は特定の間隔 x 内で定義されます。これは、関数のドメイン全体またはその一部に対応する場合があります。セグメント [a; b ] 、および開区間 (a ; b)、(a ; b ]、[ a ; b)、無限区間 (a ; b)、(a ; b ]、[ a ; b) または無限区間 - ∞ ; a 、 (- ∞ ; a ] 、 [ a ; + ∞) 、 (- ∞ ; + ∞) 。

この資料では、1 つの変数 y=f(x) y = f (x) で明示的に定義された関数の最大値と最小値を計算する方法を説明します。

基本的な定義

いつものように、基本的な定義の定式化から始めましょう。

定義 1

特定の区間 x における関数 y = f (x) の最大値は、値 m a x y = f (x 0) x ∈ X です。これは、任意の値 x x ∈ X に対して、x ≠ x 0 で不等式 f (x) が成立します。 ≤ f (x) 有効 0) 。

定義 2

特定の区間 x における関数 y = f (x) の最小値は、値 m i n x ∈ X y = f (x 0) です。これは、任意の値 x ∈ X、x ≠ x 0 に対して、不等式 f(X f (x) ≥ f (x 0) 。

これらの定義は非常に明白です。さらに単純に、次のように言えます。関数の最大値は、横軸 x 0 の既知の区間での最大値であり、最小値は、x 0 での同じ区間で許容される最小値です。

定義 3

静止点とは、導関数が 0 になる関数の引数の値です。

なぜ静止点を知る必要があるのでしょうか? この質問に答えるには、フェルマーの定理を思い出す必要があります。このことから、静止点は微分可能関数の極値 (つまり、その極小値または極大値) が位置する点であることがわかります。したがって、この関数は、静止点の 1 つにおいて、特定の間隔で最小値または最大値を正確に取得します。

関数は、関数自体が定義され、その一次導関数が存在しない点で最大値または最小値をとることもあります。

このトピックを研究するときに生じる最初の疑問は、どのような場合でも、指定された間隔での関数の最大値または最小値を決定できるかということです。いいえ、特定の間隔の境界が定義領域の境界と一致する場合、または無限の間隔を扱っている場合は、これを行うことはできません。また、特定のセグメントまたは無限大にある関数が無限に小さい値または無限に大きい値を取ることもあります。このような場合、最大値および/または最小値を決定することはできません。

これらの点は、グラフに描くとより明確になります。

最初の図は、セグメント [ - 6 ; 6]。

2 番目のグラフに示されているケースを詳しく調べてみましょう。セグメントの値を [ 1 ; に変更しましょう。 6 ] そして、関数の最大値は、横軸が区間の右境界にある点で達成され、最小値は静止点で達成されることがわかります。

3 番目の図では、点の横座標はセグメント [ - 3 ; 2]。これらは、特定の関数の最大値と最小値に対応します。

それでは4枚目の写真を見てみましょう。この関数では、開区間 (-6 ; 6) 上の静止点で m a x y (最大値) と min i n y (最小値) を受け取ります。

間隔 [ 1 ; 6) の場合、その関数の最小値は静止点で達成されると言えます。最大の価値は私たちにはわかりません。 x = 6 が区間に属する場合、関数は x が 6 に等しい最大値を取る可能性があります。これはまさにグラフ 5 に示されているケースです。

グラフ 6 では、この関数は区間 (- 3; 2 ] の右側の境界で最小値を取得しますが、最大値について明確な結論を引き出すことはできません。

図 7 では、横座標が 1 に等しい静止点で関数が max y を持つことがわかります。関数は右側の区間の境界で最小値に達します。マイナス無限大では、関数の値は y = 3 に漸近します。

区間 x ∈ 2 を取ると、 + ∞ の場合、指定された関数が最小値も最大値も取らないことがわかります。 x が 2 になる傾向がある場合、直線 x = 2 は垂直漸近線であるため、関数の値はマイナス無限大になる傾向があります。横軸がプラスの無限大になる傾向がある場合、関数の値は漸近的に y = 3 に近づきます。これはまさに図 8 に示すケースです。

この段落では、特定のセグメント上の関数の最大値または最小値を見つけるために実行する必要がある一連のアクションを示します。

まず、関数の定義域を見つけます。条件に指定したセグメントが含まれているか確認してみましょう。
次に、このセグメントに含まれる一次導関数が存在しない点を計算してみましょう。ほとんどの場合、それらは引数がモジュラス符号の下で記述される関数、または指数が分数有理数であるべき乗関数で見つかります。
次に、どの静止点が指定されたセグメントに含まれるかを調べます。これを行うには、関数の導関数を計算し、それを 0 とみなして、結果の方程式を解き、適切な根を選択する必要があります。静止点が 1 つも得られない場合、または静止点が指定されたセグメントに該当しない場合は、次のステップに進みます。
与えられた静止点 (存在する場合)、または一次導関数が存在しない点 (存在する場合) で関数がどのような値を取るかを決定するか、x = a およびの値を計算します。 x = b。
5. 多数の関数値があるので、その中から最大値と最小値を選択する必要があります。これらは、見つける必要がある関数の最大値と最小値になります。

問題を解決するときにこのアルゴリズムを正しく適用する方法を見てみましょう。

例1

状態：関数 y = x 3 + 4 x 2 が与えられます。セグメント [ 1 ; ] の最大値と最小値を決定します。 4 ] および [-4 ; -1] 。

解決：

与えられた関数の定義領域を見つけることから始めましょう。この場合、0 を除くすべての実数の集合になります。言い換えると、D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ 。条件で指定された両方のセグメントは定義領域内になります。

ここで、分数微分の規則に従って関数の導関数を計算します。

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 ×3

関数の導関数はセグメントのすべての点に存在することがわかりました [1; 4 ] および [-4 ; -1] 。

次に、関数の静止点を決定する必要があります。これを方程式 x 3 - 8 x 3 = 0 を使用して実行してみましょう。実ルートは 1 つだけ、つまり 2 です。これは関数の静止点となり、最初のセグメント [1; 4]。

最初のセグメントの終わりとこの時点での関数の値を計算してみましょう。 x = 1、x = 2、および x = 4 の場合:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

関数 m a x y x ∈ [ 1 ; の最大値が次のとおりであることがわかりました。 4 ] = y (2) = 3 は x = 1 で達成され、最小の m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 の場合。

2 番目のセグメントには単一の静止点が含まれていないため、指定されたセグメントの終端でのみ関数値を計算する必要があります。

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

これは、 m a x y x ∈ [ - 4 ; を意味します。 - 1 ] = y (- 1) = 3 , min i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 。

答え：セグメント [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , min i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3、セグメント [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , min i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 。

画像を参照してください:

この方法を学習する前に、片側極限と無限遠極限を正しく計算する方法を確認し、それらを求める基本的な方法を学習することをお勧めします。開いた区間または無限区間で関数の最大値および/または最小値を見つけるには、次の手順を順番に実行します。

まず、指定された間隔がこの関数の定義領域のサブセットであるかどうかを確認する必要があります。
必要な区間に含まれ、一次導関数が存在しないすべての点を決定してみましょう。これらは通常、引数がモジュラス符号で囲まれている関数、および分数有理指数を持つべき乗関数で発生します。これらの点が不足している場合は、次のステップに進むことができます。
次に、どの静止点が指定された間隔内に収まるかを判断してみましょう。まず、導関数を 0 とみなして方程式を解き、適切な根を選択します。静止点が 1 つも存在しない場合、またはそれらが指定された間隔内に収まらない場合は、直ちに次のアクションに進みます。これらは間隔のタイプによって決まります。

間隔が [ a ; b) の場合、点 x = a における関数の値と片側極限 lim x → b - 0 f (x) を計算する必要があります。
区間が (a; b ] の形式の場合、点 x = b および片側極限 lim x → a + 0 f (x) における関数の値を計算する必要があります。
区間が (a ; b) の形式の場合、片側極限 lim x → b - 0 f (x) 、 lim x → a + 0 f (x) を計算する必要があります。
間隔が [ a ; + ∞) の場合、点 x = a での値と、プラス無限大 lim x → + ∞ f (x) での極限を計算する必要があります。
区間が (- ∞ ; b ] の場合、点 x = b での値とマイナス無限大 lim x → - ∞ f (x) での極限を計算します。
- ∞の場合; b の場合、片側極限 lim x → b - 0 f (x) とマイナス無限大での極限 lim x → - ∞ f (x) を検討します。
- ∞の場合; + ∞ の場合、マイナスおよびプラスの無限大 lim x → + ∞ f (x) 、lim x → - ∞ f (x) の極限を検討します。

最後に、取得した関数の値と制限に基づいて結論を引き出す必要があります。ここでは多くのオプションを利用できます。したがって、片側制限がマイナス無限大またはプラス無限大に等しい場合、関数の最小値と最大値については何も言えないことがすぐにわかります。以下に典型的な例を一つ見ていきます。詳細な説明は、何が何であるかを理解するのに役立ちます。必要に応じて、資料の最初の部分の図 4 ～ 8 に戻ることができます。

例 2

条件: 与えられた関数 y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 。区間内の最大値と最小値を計算します - ∞ ; - 4、- ∞; - 3 、 (- 3 ; 1 ] 、 (- 3 ; 2) 、 [ 1 ; 2) 、 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) 。

その周囲が最小になるようにしますか？

まず最初に、関数の定義領域を見つけます。分数の分母には二次三項式が含まれており、これは 0 になってはなりません。

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

条件で指定されたすべての区間が属する関数の定義域を取得しました。

次に、関数を微分して次を取得しましょう。

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 × 2 + × - 6 × 2 + × - 6 2

したがって、関数の導関数は、その定義領域全体にわたって存在します。

静止点の検索に進みましょう。関数の導関数は x = -1 2 で 0 になります。これは、 (- 3 ; 1 ] と (- 3 ; 2) の範囲にある静止点です。

区間 (- ∞ ; - 4 ] の x = - 4 での関数の値と、マイナス無限大での極限を計算してみましょう。

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 です。 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 であるため、これは m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 を意味します。これでは、次の最小値を一意に決定することはできません。関数がマイナス無限大で漸近的に近づくのはこの値であるため、-1 よりも小さい制約があると結論付けることしかできません。

2 番目の区間の特徴は、その中に単一の静止点も単一の厳密な境界も存在しないことです。したがって、関数の最大値も最小値も計算できなくなります。マイナス無限大で制限を定義し、引数が左側で - 3 になる傾向があるため、値の間隔のみが得られます。

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

これは、関数値が間隔 - 1 に配置されることを意味します。 +∞

3 番目の区間で関数の最大値を見つけるには、x = 1 の場合、静止点 x = - 1 2 での値を決定します。また、引数が右側の 3 になる傾向がある場合の片側極限を知る必要もあります。

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 。 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 。 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

この関数は、静止点 m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 で最大値を取ることがわかりました。最小値については、決定できません。私たちが知っているすべて、 -4 までの下限の存在です。

区間 (- 3 ; 2) については、前の計算の結果を取得し、左側の 2 に向かう場合の片側制限が何に等しいかを再度計算します。

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 。 444 リム x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 リム x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = リム x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3・0 - 4 = - 4

これは、m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 を意味し、最小値は決定できず、関数の値は下から数字 - 4 によって制限されます。。

前の 2 つの計算で得られた結果に基づいて、区間 [ 1 ; 2) この関数は x = 1 で最大値を取得しますが、最小値を見つけることは不可能です。

区間 (2 ; + ∞) では、関数は最大値にも最小値にも到達しません。間隔 - 1 から値を取得します。 + ∞ 。

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 で関数の値が何に等しくなるかを計算すると、 m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 であり、プラス無限大における与えられた関数は直線 y = - 1 に漸近します。

各計算で得られた結果を、指定された関数のグラフと比較してみましょう。図では、漸近線は点線で示されています。

関数の最大値と最小値の検索について説明したかったのはこれだけです。ここで説明した一連のアクションは、必要な計算をできるだけ早く簡単に行うのに役立ちます。ただし、最初に関数がどの間隔で減少し、どの間隔で増加するかを調べてから、さらに結論を導き出すことが役立つことがよくあることを覚えておいてください。こうすることで、関数の最大値と最小値をより正確に決定し、得られた結果を正当化することができます。

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