「小数の比較」の授業です。有限小数と無限小数の比較: ルール、例、解決策

この記事では「」というトピックについて見ていきます。 比較小数 」まずは話し合いましょう一般原則小数の比較。この後、どの小数が等しいか、どの小数が等しくないかを調べます。次に、どの小数が大きいか、どの小数が小さいかを判断することを学びます。これを行うために、有限、無限の周期分数、および無限の非周期分数を比較するための規則を学習します。理論全体を例とともに説明します詳細な解決策。最後に、小数と自然数、普通分数、帯分数の比較を見てみましょう。

ここでは、正の小数部の比較についてのみ説明します (正の数と負の数を参照)。残りのケースについては、有理数と有理数の比較の記事で説明します。 実数の比較.

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小数を比較するための一般原則

この比較原理に基づいて、比較される小数を通常の分数に変換することなく小数を比較するためのルールが導出されます。これらのルールとその適用例については、次の段落で説明します。

同様の原理を使用して、有限小数または無限周期小数を自然数、常分数、および帯分数と比較します。比較される数値は、対応する常分数で置き換えられ、その後、常分数が比較されます。

に関して 無限の非周期小数の比較、その後、通常は有限の小数を比較することになります。これを行うには、比較の結果を取得できる、比較される無限の非周期小数の符号の数を考慮します。

等しい小数と等しくない小数

まずはご紹介します 等しい小数と等しくない小数の定義.

意味。

末尾の 2 つの小数部が呼び出されます。 等しい、対応する普通の分数が等しい場合、それ以外の場合、これらの小数は呼び出されます。 不平等.

この定義に基づいて、次のステートメントを正当化するのは簡単です。指定された小数の末尾にいくつかの数字の 0 を追加または破棄すると、それに等しい小数が得られます。たとえば、0.3=0.30=0.300=…、および 140.000=140.00=140.0=140 となります。

実際、右側の小数の末尾にゼロを追加または廃棄することは、対応する分子と分母を 10 で乗算または除算することに相当します。公分数。そして私たちは分数の基本的な性質を知っています。それは、分数の分子と分母に同じ自然数を掛けたり割ったりすると、元の分数と等しい分数が得られるということです。これは、小数の小数部の右側にゼロを追加または削除すると、元の分数と等しい小数が得られることを証明します。

たとえば、小数 0.5 は公分数 5/10 に対応し、右側にゼロを追加した後、小数 0.50 が対応し、これは公分数 50/100 に対応します。したがって、0.5=0.50となります。逆に、小数の分数 0.50 で右側の 0 を切り捨てると、分数 0.5 が得られます。つまり、通常の分数 50/100 から分数 5/10 になりますが、。したがって、0.50=0.5となります。

次に進みましょう 等しいおよび等しくない無限周期小数の決定.

意味。

2 つの無限周期分数 等しい、対応する普通の分数が等しい場合。それらに対応する通常の分数が等しくない場合、比較される周期的な分数も等しくなります。 等しくない.

からこの定義 3 つの結論が続きます。

周期小数の表記が完全に一致していれば、無限の周期小数は等しいことになります。たとえば、周期小数の 0.34(2987) と 0.34(2987) は等しいです。
比較される 10 進周期分数の周期が同じ位置から始まる場合、最初の小数の周期は 0、2 番目の分数の周期は 9、およびピリオド 0 の前の桁の値はその桁の値より 1 大きくなります。周期 9 より前の場合、そのような無限の周期小数は等しくなります。たとえば、周期的な分数 8,3(0) と 8,2(9) は等しく、分数 141,(0) と 140,(9) も等しいです。
他の 2 つの周期分数は等しくありません。以下に、等しくない無限周期小数の例を示します: 9,0(4) と 7,(21)、0,(12) と 0,(121)、10,(0) と 9,8(9)。

対処が残っています 等しいおよび等しくない無限の非周期小数。知られているように、このような小数は普通の分数に変換できません (そのような小数は無理数を表します)。したがって、無限の非周期小数の比較を普通の分数の比較に還元することはできません。

意味。

2 つの無限の非周期小数 等しい、記録が完全に一致する場合。

ただし、1 つ注意点があります。無限の非周期小数の「完成した」記録を見ることは不可能であるため、それらの記録が完全に一致していることを確信することは不可能です。どうしてこんなことになるのでしょうか？

無限の非周期小数を比較する場合、比較される分数の有限数の符号のみが考慮されるため、必要な結論を引き出すことができます。したがって、無限の非周期的な小数の比較は、有限の小数の比較に帰着します。

このアプローチを使用すると、問題の桁までの無限の非周期小数の等価性についてのみ議論できます。例を挙げてみましょう。無限の非周期小数 5.45839... と 5.45839... は、有限小数 5.45839 と 5.45839 が等しいため、最も近い 100,000 分の 1 に等しい。非周期小数の分数 19.54... と 19.54810375... は、分数 19.54 と 19.54 に等しいため、最も近い 100 分の 1 に等しくなります。

このアプローチでは、無限の非周期小数の不等式が非常に明確に確立されます。たとえば、無限の非周期小数 5.6789... と 5.67732... は、表記の違いが明らかであるため、等しくありません (有限小数 5.6789 と 5.6773 は等しくありません)。無限小数の 6.49354... と 7.53789... も等しくありません。

小数を比較するためのルール、例、解決策

2 つの小数が等しくないという事実を確認した後、多くの場合、これらの分数のうちどちらが大きいか、どちらが小さいかを調べる必要があります。次に、小数を比較するためのルールを見て、提起された質問に答えることができます。

多くの場合、比較対象の小数部全体を比較するだけで十分です。以下は真実です 小数を比較するためのルール: その小数より大きい、全体整数部分が小さい小数より大きいものと小さいもの。

この規則は、有限および無限小数の両方に適用されます。例の解決策を見てみましょう。

例。

小数の 9.43 と 7.983023… を比較してください。

解決。

明らかに、これらの小数は等しくありません。有限小数部 9.43 の整数部は 9 に等しく、無限非周期分数 7.983023... の整数部は 7 に等しくなります。 9>7 (自然数の比較を参照) なので、9.43>7.983023 となります。

答え：

9,43>7,983023 .

例。

小数部 49.43(14) と 1045.45029... はどちらが小さいですか?

解決。

周期分数の整数部分 49.43(14) は、無限の非周期小数部分 1045.45029... の整数部分より小さいため、49.43(14)<1 045,45029… .

答え：

49,43(14) .

比較する小数部の整数部が等しい場合、どちらが大きいか、どちらが小さいかを調べるには、小数部を比較する必要があります。 小数の小数部の比較はビット単位で行われます。- 10分の1からそれ以下のカテゴリーまで。

まず、2 つの有限小数を比較する例を見てみましょう。

例。

末尾の小数点 0.87 と 0.8521 を比較してください。

解決。

これらの小数の整数部分は等しい (0=0) ため、小数部分の比較に進みます。 10の位の値は等しく(8=8)、分数の100の位の値は、分数の100の位の値0.8521より0.87大きい(7>5)。したがって、0.87 > 0.8521 となります。

答え：

0,87>0,8521 .

場合によっては、小数点以下の桁数が異なる末尾小数部を比較するために、小数点以下の桁数が少ない分数の右側にいくつかのゼロを追加する必要があります。最終的な小数部の比較を開始する前に、いずれかの右側に特定の数のゼロを追加して、小数点以下の桁数を等しくすると非常に便利です。

例。

末尾の小数点 18.00405 と 18.0040532 を比較してください。

解決。

明らかに、これらの分数は表記が異なるため等しくありませんが、同時に等しい整数部分 (18 = 18) を持ちます。

これらの分数の小数部をビットごとに比較する前に、小数点以下の桁数を等しくします。これを行うには、分数 18.00405 の末尾に 2 桁の 0 を追加し、等しい小数の分数 18.0040500 を取得します。

分数 18.0040500 と 18.0040532 の小数点以下の桁の値は 100000 分の 1 まで等しく、分数 18.0040500 の 100 万分の 1 の値は、分数 18.0040532 の対応する桁の値より小さいです (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

答え：

18,00405<18,0040532 .

有限小数と無限小数を比較する場合、有限小数は周期 0 の等しい無限周期分数に置き換えられ、その後桁ごとに比較されます。

例。

有限 10 進数 5.27 と無限の非周期 10 進数 5.270013... を比較してください。

解決。

これらの小数部の整数部分は等しい。これらの分数の 10 の位と 100 の位の値は等しいため、さらに比較を行うために、有限小数を 5.270000.... の形式の周期 0 を持つ等しい無限周期分数に置き換えます。小数点第 5 位までは、小数点以下 5.270000... と 5.270013... の値は等しく、小数点第 5 位では 0 になります。<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

答え：

5,27<5,270013… .

無限小数の比較もプレースワイズで実行されます。、いくつかの数字の値が異なることが判明するとすぐに終了します。

例。

無限小数 6.23(18) と 6.25181815… を比較してください。

解決。

これらの分数の整数部分は等しく、10 の位の値も等しくなります。そして、周期分数 6.23(18) の 100 の位の値は、無限非周期小数 6.25181815... の 100 の位より小さいため、6.23(18)<6,25181815… .

答え：

6,23(18)<6,25181815… .

例。

無限周期小数 3,(73) と 3,(737) のどちらが大きいですか?

解決。

3,(73)=3.73737373... および 3,(737)=3.737737737... であることは明らかです。小数点第 4 位でビット単位の比較が終了します。ここには 3 があるためです。<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

答え：

3,(737) .

小数を自然数、分数、帯分数と比較します。

小数と自然数の比較結果は、与えられた分数の整数部分と与えられた自然数を比較することで得られます。この場合、まず周期 0 または 9 の周期分数をそれらに等しい有限小数に置き換える必要があります。

以下は真実です 小数と自然数を比較するための規則: 小数部の整数部分が指定された自然数より小さい場合、その分数全体はこの自然数より小さくなります。分数の整数部分が指定された自然数以上の場合、その分数は指定された自然数より大きくなります。

この比較ルールの適用例を見てみましょう。

例。

自然数 7 と小数部 8.8329… を比較してください。

解決。

指定された自然数は指定された小数部の整数部分より小さいため、この数値は指定された小数部よりも小さくなります。

答え：

7<8,8329… .

例。

自然数 7 と小数部 7.1 を比較してください。

このトピックでは、小数を比較するための一般的なスキームと、有限分数と無限分数を比較する原理の詳細な分析の両方を検討します。典型的な問題を解くことで理論部分を強化していきます。また、小数と自然数や帯分数、普通の分数との比較の例も見ていきます。

明確にしましょう。理論的には、以下では正の小数部分のみの比較を検討します。

Yandex.RTB R-A-339285-1

小数を比較するための一般原則

すべての有限小数および無限周期小数には、それらに対応する特定の常分数が存在します。したがって、有限および無限の周期分数の比較は、対応する常分数の比較として行うことができます。実際、このステートメントは、小数周期分数を比較するための一般原則です。

一般原則に基づいて、小数を比較するためのルールが定式化され、比較される小数を通常の小数に変換しないことが可能になります。

同じことは、小数周期分数を自然数または帯分数、普通分数と比較する場合にも言えます。指定された数値は、対応する普通分数に置き換える必要があります。

無限の非周期分数の比較について話している場合、通常は有限の小数の比較に帰着します。考慮のために、比較される無限の非周期小数の符号の数が取られ、それによって比較の結果を得ることが可能になる。

等しい小数と等しくない小数

定義 1

小数が等しい- これらは、対応する普通分数が等しい 2 つの有限小数です。それ以外の場合、小数点は次のようになります。 不平等.

この定義に基づいて、次のステートメントを正当化するのは簡単です。署名するか、逆に、指定された小数部の末尾にあるいくつかの数字 0 を破棄すると、それに等しい小数部が得られます。例: 0、5 = 0、50 = 0、500 = …。または: 130、000 = 130、00 = 130、0 = 130。基本的に、右側の分数の末尾にゼロを追加または削除することは、対応する普通の分数の分子と分母を 10 で乗算または 10 で割ることを意味します。これまでに述べたことに、分数の基本的な性質 (分数の分子と分母を同じ自然数で乗算または除算することにより、元の分数と等しい分数が得られます) を追加すると、上記のステートメントの証明が得られます。

たとえば、小数の 0.7 は公分数 7 10 に対応します。右側にゼロを追加すると、小数部 0, 70 が得られます。これは公分数 70 100, 7 70 100: 10 に対応します。 . つまり、0.7 = 0.70です。逆も同様です。小数部 0, 70 の右側のゼロを破棄すると、小数部 0, 7 が得られます。つまり、小数部 70 100 から小数部 7 10 に進みますが、7 10 = 70: 10 100 となります。 : 10 次に: 0, 70 = 0 , 7 。

ここで、等しいおよび不等な無限周期小数部の概念の内容を考えてみましょう。

定義 2

等しい無限周期分数は、対応する常分数が等しい無限周期分数です。それらに対応する普通分数が等しくない場合、比較のために与えられた周期分数も次のようになります。 不平等.

この定義により、次の結論を導き出すことができます。

指定された周期小数の表記が一致する場合、そのような分数は等しいことになります。たとえば、周期小数部 0.21 (5423) と 0.21 (5423) は等しいです。

指定された 10 進周期分数で周期が同じ位置から始まる場合、最初の分数の周期は 0、2 番目の分数の周期は 9 になります。期間 0 に先行する桁の値が期間 9 に先行する桁の値より 1 大きい場合、そのような無限の周期小数は等しくなります。たとえば、周期的な分数 91, 3 (0) と 91, 2 (9)、および分数 135, (0) と 134, (9) は等しいです。

他の 2 つの周期分数は等しくありません。例: 8、0 (3) および 6、(32)。 0 、(42) および 0 、(131) など。

等しいおよび等しくない無限の非周期小数を考慮する必要があります。このような分数は、無理数となり、通常の分数に変換することはできません。したがって、無限の非周期的な小数の比較は、通常の小数の比較には還元されません。

定義 3

等しい無限非周期小数- これらは非周期的な小数であり、そのエントリは完全に一致します。

論理的な質問は、そのような端数の「完成した」レコードを確認できない場合、どのようにレコードを比較するかということです。無限の非周期小数を比較する場合、結論を導くために、比較のために指定された分数の特定の有限数の符号のみを考慮する必要があります。それらの。基本的に、無限の非周期小数を比較することは、有限の小数を比較することになります。

このアプローチにより、問題の桁までの無限の非周期分数の等価性を主張することが可能になります。たとえば、小数 6, 73451... と 6, 73451... は、最も近い 100,000 分の 1 に等しくなります。最後の小数部 6, 73451 と 6, 7345 は等しい。小数部 20, 47... および 20, 47... は、最も近い 100 分の 1 に等しいため、小数部 20、47 と 20、47 などは等しいです。

無限の非周期分数の不等式は、表記法に明らかな違いがあるため、非常に具体的に確立されます。たとえば、分数 6, 4135... と 6, 4176... または 4, 9824... と 7, 1132... などは等しくありません。

小数を比較するためのルール。解決例

2 つの小数が等しくないことが判明した場合は、通常、どちらが大きいか、どちらが小さいかを判断する必要もあります。上記の問題を解決できる、小数を比較するためのルールを考えてみましょう。

多くの場合、比較のために与えられた小数部全体を比較するだけで十分です。

定義 4

小数部は整数部分が大きい方が大きいです。小さい分数とは、全体の部分が小さいものです。

この規則は、有限および無限小数の両方に適用されます。

例1

小数部 7, 54 と 3, 97823.... を比較する必要があります。

解決

与えられた小数が等しくないことは明らかです。それらの全体部分はそれぞれ 7 と 3 に等しくなります。なぜなら 7 > 3、次に 7、54 > 3、97823…。

答え： 7 , 54 > 3 , 97823 … .

比較のために与えられた分数の整数部分が等しい場合、問題の解決策は小数部分を比較することになります。小数部分の比較は、10 の位から下位まで少しずつ実行されます。

まず、有限の小数を比較する必要がある場合を考えてみましょう。

例 2

最終的な小数部 0.65 と 0.6411 を比較する必要があります。

解決

明らかに、与えられた分数の整数部分は等しい (0 = 0)。小数部分を比較してみましょう。10の位では値は等しい（6 = 6）が、100の位では小数の値0.65が小数の100の位の値0.6411より大きくなります（5 > 4）。。したがって、0.65 > 0.6411 となります。

答え： 0 , 65 > 0 , 6411 .

小数点以下の桁数が異なる有限小数を比較する問題によっては、小数点以下の桁数が少ない分数の右側に必要な数のゼロを追加する必要があります。この方法で、比較を開始する前であっても、指定された分数の小数点以下の桁数を等しくしておくと便利です。

例 3

最終的な小数部 67, 0205 と 67, 020542 を比較する必要があります。

解決

これらの分数は明らかに等しくありません。彼らの記録は異なります。さらに、それらの整数部分は等しく、67 = 67 となります。与えられた分数の小数部分のビット単位の比較を開始する前に、小数点以下の桁数が少ない分数の右側にゼロを追加して、小数点以下の桁数を等しくしましょう。次に、比較用の分数、67, 020500 と 67, 020542 を取得します。ビット単位の比較を実行すると、10 万分の 1 の部分で小数点 67.020542 の値が小数点 67.020500 の対応する値より大きいことがわかります (4 > 0)。したがって、67、020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

答え： 67 , 0205 < 67 , 020542 .

有限小数と無限小数を比較する必要がある場合、有限小数は周期 0 の無限小数に置き換えられます。次に、ビットごとの比較が実行されます。

例 4

有限小数部 6, 24 と無限非周期小数部 6, 240012 ... を比較する必要があります。

解決

与えられた分数の整数部分が等しい (6 = 6) ことがわかります。 10 分の 1 と 100 分の 1 の位では、両方の分数の値も等しくなります。結論を導き出すために、有限小数を周期 0 の等しい無限小数に置き換えて比較を続けると、6、240000 ... が得られます。小数点第 5 位まで到達すると、差は 0 になります。< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

答え: 6、24< 6 , 240012 … .

無限小数を比較する場合、場所ごとの比較も使用されます。これは、指定された分数のどこかの値が異なることが判明したときに終了します。

例5

無限小数 7, 41 (15) と 7, 42172.... を比較する必要があります。

解決

指定された分数には等しい整数部分があり、10 の位の値も等しいですが、100 の位の部分に違いが見られます。< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

答え： 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

例6

無限周期分数 4, (13) と 4, (131) を比較する必要があります。

解決：

等式は明確かつ真です: 4, (13) = 4, 131313... および 4, (133) = 4, 131131... 整数部分とビット単位の小数部分を比較し、小数点以下 4 桁目に不一致 (3 > 1) を記録します。次に、4, 131313... > 4, 131131...、および 4, (13) > 4, (131) となります。

答え： 4 , (13) > 4 , (131) .

小数を自然数と比較した結果を得るには、指定された分数の全体部分を指定された自然数と比較する必要があります。周期 0 または 9 の周期分数は、最初にそれらに等しい有限小数の形式で表す必要があることに注意してください。

定義5

与えられた小数の整数部分が与えられた自然数より小さい場合、分数全体は与えられた自然数に対して小さくなります。指定された分数の整数部分が指定された自然数以上の場合、その分数は指定された自然数より大きくなります。

例 7

自然数8と小数9、3142…を比較する必要があります。

解決：

指定された自然数は、指定された小数部 (8) の整数より小さいです。< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

答え： 8 < 9 , 3142 … .

例8

自然数5と小数5、6を比較する必要があります。

解決

指定された分数の整数部分が指定された自然数に等しい場合、上記の規則に従って、5< 5 , 6 .

答え： 5 < 5 , 6 .

例9

自然数 4 と周期小数部 3 (9) を比較する必要があります。

解決

指定された小数部の周期は 9 です。これは、比較する前に、指定された小数部を有限またはそれに等しい自然数に置き換える必要があることを意味します。この場合: 3、(9) = 4。したがって、元のデータは等しいです。

答え: 4 = 3、(9)。

小数を分数または帯分数と比較するには、次のことを行う必要があります。

公分数を書くか、帯分数 10 進数として取得し、10 進数の比較を実行するか、
- 小数を公分数として書き込み (無限の非周期分数を除く)、指定された公分数または帯分数との比較を実行します。

例 10

小数0.34と公分数1 3を比較する必要があります。

解決

2 つの方法で問題を解決しましょう。

与えられた普通分数 1 3 を等周期小数の形式で書いてみましょう: 0, 33333... 次に、小数部 0, 34 と 0, 33333... を比較する必要があります。 0, 34 > 0, 33333 ... が得られます。これは、0, 34 > 1 3 を意味します。
与えられた小数 0、34 を、それに等しい普通の分数として書きましょう。つまり、0、34 = 34,100 = 17,50 となります。普通の分数を比べてみましょう分母が異なるすると、 17 50 > 1 3 が得られます。したがって、0、34 > 1 3 となります。

答え： 0 , 34 > 1 3 .

例 11

無限非周期小数4,5693…と帯分数を比較する必要がある 4 3 8 .

解決

無限の非周期小数を帯分数として表すことはできませんが、帯分数を次のように変換することは可能です。仮分数、そして次に、それをそれに等しい小数の形式で書き留めます。それから： 4 3 8 = 35 8 と

それらの。： 4 3 8 = 35 8 = 4.375。小数部: 4, 5693 ... と 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) を比較して、次の結果を取得します: 4, 5693 ... > 4 3 8。

答え： 4 , 5693 … > 4 3 8 .

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新しい知識を習得し、定着させるためのレッスン

主題 : 小数の比較

ダンバーエワ・ヴァレンティーナ・マトヴェーヴナ

数学の先生

MAOU「中等学校No.25」ウラン・ウデ

主題。小数を比較します。

教訓的な目標:生徒に 2 つの小数を比較するように教えます。生徒たちに比較の法則を紹介します。より大きな（より小さな）分数を見つける能力を開発します。

教育目的。例題を解く過程で生徒の創造的な活動を発展させます。選択することで数学への興味を育みます。さまざまな種類タスク。知性と創意工夫を養い、柔軟な思考を養います。生徒が自分の仕事の結果について自己批判的になる能力を引き続き開発してください。

レッスン用の機材。 配布資料。シグナルカード、タスクカード、カーボン紙。

視覚補助。タスクテーブル、ルールポスター。

レッスンの種類。新しい知識の吸収。新しい知識の定着。

授業計画

組織的な瞬間。 1分

検査宿題。 3分

繰り返し。 8分

説明新しいトピック。 18～20分

統合。 25～27分

作業をまとめます。 3分

宿題。 1分

エクスプレスディクテーション。 10～13分

レッスンの進行状況.

1. 組織の瞬間.

2.宿題の確認。ノートのコレクション。

3. 繰り返し（口頭で）。

a) 普通の分数を比較します (信号カードを使用します)。

4/5 と 3/5。 4/4 と 13/40。 1と3/2。 4/2と12/20。 3 5/6 と 5 5/6。

b) 4 ユニット、2 ユニット....はどのカテゴリーにありますか?

57532, 4081

c) 自然数を比較する

99と1111。 5 4 4と5 3 4, 556 そして55 9 ; 4 366と 7 366;

同じ桁数の数値を比較するにはどうすればよいですか?

(同じ桁数の数値は、最上位桁からビット単位で比較されます。ポスタールール)。

1 と 1、10 と 10 など、同じ名前の数字の方が大きい数字が「競合」すると想像できます。

4. 新しいトピックの説明.

A)何の記号 (>、< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.

ポスター課題

3425, 672678 ? 3425, 672478

14, 24000 ? 14, 24

この質問に答えるには、小数を比較する方法を学ぶ必要があります。

12, 3 < 15,3

72.1 > 68.4 なぜですか?

2 つの小数のうち、整数部分が大きい方が大きいです。

13,5 > 13,4

0, 327 > 0,321

なぜ？

比較される分数の整数部分が互いに等しい場合、それらの小数部分は桁で比較されます。

3. 0,800 ? 0,8

1,32 ? 1,3

しかし、これらの数字が異なる量? 右側の小数部に 1 つ以上のゼロが追加されても、小数部の値は変わりません。

逆に、小数がゼロで終わる場合、これらのゼロは破棄でき、小数の値は変わりません。

3 つの小数を見てみましょう。

1,25 1,250 1,2500

それぞれどう違うのでしょうか？

レコードの末尾のゼロの数のみ。

それらはどのような数字を表しているのでしょうか?

これを調べるには、各分数の桁の項の合計を書き留める必要があります。

1,25 = 1+ 2/10 + 5/100

1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25

1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100

すべての等式では、同じ和が右側に書かれます。これは、3 つの分数がすべて同じ数値を表すことを意味します。それ以外の場合、これら 3 つの分数は等しくなります: 1.25 = 1.250 = 1.2500。

小数分数は、通常の分数と同様に座標線上で表現できます。たとえば、小数点 0.5 を座標線上に表現します。まず、これを普通分数の形で表してみましょう: 0.5 = 5/10。次に、光線の先頭から単位セグメントの 10 分の 5 を確保しておきます。点A(0.5)を取得します

等しい小数は、座標線上では同じ点で表されます。

小さい小数部は座標線上で大きい方の左側にあり、大きい方は小さい方の右側にあります。

b) 教科書とルールに従って取り組みます。

ここで、説明の冒頭で提起された質問に答えてみてください。記号 (>、< или =) следует заменить вопросительный знак.

5. 統合。

№1

比較する： シグナルカードの操作

85.09と67.99

55.7 と 55.700

0.0025 および 0.00247

98.52メートルと65.39メートル

149.63kgと150.08kg

3.55℃および3.61℃

6.784 時間と 6.718 時間

№ 2

小数を書きます

a) 小数点以下 4 桁、0.87 に等しい

b) 小数点以下 5 桁、0.541 に等しい

c) 小数点以下 3 桁、35 に等しい

d) 小数点以下 2 桁、8.40000 に等しい

2 人の学生が個別のボードに取り組んでいます

№ 3

スメカルキンは数値を比較するタスクを完了する準備をし、いくつかの数値のペアをノートにコピーしました。これらの数値の間には、> または<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:

a) 4.3** および 4.7**

b) **、412 および *、9*

c) 0.742 および 0.741*

d)*、***および**、**

e) 95.0** および *4.*3*

スメカルキンは、数字を塗りつぶしてもタスクを完了できたことを気に入った。結局のところ、課題の代わりに謎が与えられました。彼自身が、汚れた数字のなぞなぞを考え出し、あなたに提供することにしました。以下のエントリでは、一部の数字がぼかされています。これらが何の数字であるかを推測する必要があります。

a) 2.*1 および 2.02

b) 6.431 および 6.4*8

c) 1.34 および 1.3*

d) 4.*1 および 4.41

d) 4.5*8 および 4.593

e) 5.657* および 5.68

タスクはポスターと個々のカードに記載されています。

設置された各標識を確認し、正当化する。

№ 4

私は断言します：

a) 3.7 は 3.278 より小さい

結局のところ、最初の数値は 2 番目の数値よりも桁数が少なくなります。

b) 25.63 は 2.563 に等しい

結局のところ、それらは同じ順序で同じ番号を持っています。

私の発言を訂正してください

「反例」（口頭）

№ 5

数字の間にある自然数は何ですか? （書面で）。

a) 3、7、6.6

b) 18.2 および 19.8

c) 43 および 45.42

d) 15 と 18

6. レッスンの概要。

2 つの小数を異なる整数と比較するにはどうすればよいですか?

2 つの小数を同じ整数と比較するにはどうすればよいですか?

小数点以下の桁数が同じ 2 つの小数をどのように比較しますか?

7. 宿題。

8. 口述筆記を高速化します。

数字を短く書きます

0,90 1,40

10,72000 61,610000

分数を比較する

0.3と0.31 0.4と0.43

0.46と0.5 0.38と0.4

55.7 および 55.700 88.4 および 88.400

順番に並べる

降順昇順

3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453

数字の間にある自然数は何ですか?

7.5 および 9.1 3.25 および 5.5

84 および 85.001 0.3 および 4

不等式を真にする数値を入力します。

15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3

6,99 6,8

ボードからの急行ディクテーションをチェックする

追加のタスク。

1. 近所の人に例を 3 つ書いてチェックしてください!

文学：

ストラティラトフ PV 「数学教師の勤務体系について」モスクワ「啓蒙」1984年

カバレフスキー Yu.D. 」独立した仕事数学を学習中の学生たち」1988

ブラノバ L.M.、ドゥドニツィン Yu.P. 「数学のテスト課題」、

モスクワ「献身」1992

V.G. コバレンコ」教訓的なゲーム数学の授業で」モスクワ「啓蒙」1990

ミナエバ S.S. 「教室での計算と、課外活動数学で」モスクワ「啓蒙」1983

このレッスンでは、分数を互いに比較する方法を学びます。これは、より複雑な問題のクラス全体を解決するために必要な、非常に便利なスキルです。

まず、分数の等価性の定義を思い出させてください。

ad = bc の場合、分数 a /b と c /d は等しいと言われます。

5 24 = 8 15 = 120 なので、5/8 = 15/24。
3 18 = 2 27 = 54 なので、3/2 = 27/18。

それ以外の場合はすべて、分数は等しくなく、次のステートメントのいずれかが当てはまります。

分数 a/b は分数 c/d より大きいです。
分数 a /b は分数 c /d より小さくなります。

a /b − c /d > 0 の場合、分数 a /b は分数 c /d より大きいと言われます。

x /y − s /t の場合、分数 x /y は分数 s /t より小さいと言われます。< 0.

指定：

したがって、分数の比較は結局、引き算になります。質問: 「以上」(>) と「未満」(<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

コクマルガラスのフレア部分は常に大きい方の番号を指します。
コクマルガラスの鋭い鼻は常に低い数字を指します。

数値を比較する必要がある問題では、数値の間に「∨」記号が配置されることがよくあります。これは鼻を下げた暁であり、どちらの数字が大きいかはまだ決まっていないことを示唆しているようです。

タスク。数値を比較します:

定義に従って、分数を互いに減算します。

各比較では、分数を共通の分母に減らす必要がありました。具体的には、十字法を使用して最小公倍数を求めます。意図的にこれらの点には焦点を当てませんでしたが、何かが明確でない場合は、「分数の足し算と引き算」のレッスンを見てください。とても簡単です。

小数の比較

小数の場合は、すべてがはるかに単純になります。ここでは何も減算する必要はなく、数字を比較するだけです。数値の重要な部分が何であるかを覚えておくと良いでしょう。忘れてしまった人には、「小数の掛け算と割り算」のレッスンを繰り返すことをお勧めします。これも数分で終わります。

正の小数点 X に次のような小数点以下の桁が含まれる場合、正の小数点 X は正の小数点 Y より大きくなります。

分数 X のこの場所の数字は、分数 Y の対応する数字より大きいです。

分数 X と Y のこれより上位の桁はすべて同じです。

12.25 > 12.16。最初の 2 桁は同じ (12 = 12)、3 番目の桁の方が大きい (2 > 1)。
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

つまり、小数点以下の桁を 1 つずつ調べて違いを探します。この場合、数値が大きいほど、より大きな分数に対応します。

ただし、この定義には明確化が必要です。たとえば、小数点以下の桁をどのように書いて比較するか? 覚えておいてください: 10 進数形式で書かれた数値には、左側に任意の数のゼロを追加できます。さらにいくつかの例を次に示します。

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300.5 > 0.0025、なぜなら 0.0025 = 0000.0025 - 3 つのゼロが左側に追加されました。これで、違いが最初の桁から始まることがわかります: 2 > 0。

もちろん、ゼロを含む与えられた例には明らかにやりすぎがありましたが、重要なのはまさにこれです。左側の欠落しているビットを埋めてから比較するのです。

タスク。分数を比較する:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

定義により、次のようになります。

0.029 > 0.007。最初の 2 桁が一致すると (00 = 00)、差が始まります (2 > 0)。
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0.00003 > 0.0000099。ここでは、ゼロを慎重に数える必要があります。両方の分数の最初の 5 桁は 0 ですが、最初の小数には 3 があり、2 番目の小数には 0 があります。明らかに、3 > 0;
1700.1 > 0.99501。 2 番目の小数部分を、左側に 3 つのゼロを追加して 0000.99501 として書き換えてみましょう。これで、すべてが明らかです。1 > 0 - 違いは最初の桁で検出されます。

残念ながら、小数を比較するための指定されたスキームは普遍的ではありません。この方法では比較のみが可能です 正の数。一般的な場合、動作アルゴリズムは次のとおりです。

正の分数は常に負の分数より大きくなります。
上記のアルゴリズムを使用して、2 つの正の部分が比較されます。
2 つの負の分数は同じ方法で比較されますが、最後に不等号が反転されます。

え、弱くない？それでは見てみましょう具体的な例-そしてすべてが明らかになります。

タスク。分数を比較する:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
−0.192 > −0.39。分数がマイナスの場合、2桁目が異なります。 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > −11,3. 正数常にもっとネガティブです。
19.032 > 0.091。 2 番目の小数部分を 00.091 の形式に書き換えるだけで、最初の桁ですでに違いが生じていることがわかります。
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45。違いは最初のカテゴリーにあります。