代数の授業 (10 年生) のテーマ: 数値関数のプレゼンテーション。 割り当ての定義と方法。 「数値関数の定義とその定義方法」 - レッスン

図はセット間の対応グラフを示しています ×= {あ;b;と;d;e},Y = (1; 2; 3; 4; 5)。 この対応関係は、セットのすべての要素が一致するわけではありません。 ×セットに対応する要素があります Y、しかし、もしあるとすれば、彼だけです。

あ= {あ;b;と) – セット内に対応する要素が存在する要素のセット Y。 セットの各要素に注意してください。 あセットの唯一の要素に対応します Y.

意味。 セット間の対応 ×そして Y、ここでセットの各要素は ×セットの最大 1 つの要素に対応します Y、関数対応または関数と呼ばれます。

機能は文字で示されます ラテン文字 f,g,hなどと書きます: で=f(×).

×– 独立変数または引数、独立変数が取るすべての値 – 関数の定義領域。

関数を与えてみよう fドメインあり あ×、 どこ ×– 関数出発セット f。 到着セットを表します Y.

要素 で Y、要素に対応します ×あ、関数の値と呼ばれます f そして書きます で=f(×).

意味。みんなたくさん で Y、これは関数値です f、関数の値の集合と呼ばれます f.

関数が数式で指定され、その定義域が指定されていない場合、関数の定義域は、数式が意味をなす引数のすべての値で構成されるとみなされます。

例。 関数を与えてみよう f(×) =。 関数定義ドメイン f(×）はセットです R \ {2}.

機能の指定方法

関数の解析的割り当て - 数式を使用した関数の割り当て で=f(×）、 どこ f(×) – 変数内の式 ×.

関数の表形式の仕様 - テーブルで使用可能な引数値に対する関数の値を示すテーブルが提供されます。

この方法は、ある量の別の量に対する依存性が実験的に判明する場合に実際によく使用されます。 便利であることが判明したため、 を使用すると、テーブルで使用可能な引数値に対する関数の値を計算せずに見つけることができます。

グラフィカルな関数仕様。 関数のグラフは座標平面のすべての点の集合であり、その横座標は引数の値に等しく、縦座標は関数の対応する値に等しい。

関数のプロパティ

意味偶数関数と奇数関数 で=f(×。 関数 × f(–×) = f(×).

意味偶数関数と奇数関数 で=f(×) は、どの要素に対しても偶数であると言われます ×) 要素の場合は奇数と呼ばれます f(–×) = – f(×).

関数の定義域からの等価性 ×偶数関数と奇数関数の両方に次のプロパティが必要です。 ××、 それ - ××.

偶関数のグラフは縦軸対称であり、奇関数のグラフは原点対称です。

機能の増減

意味偶数関数と奇数関数 で=f(×) は間隔で増加すると呼ばれます ×、もし × 1 ,× 2 ×、そのような × 1 <× 2、不等式が成り立つ f(× 1) < f(× 2).

意味偶数関数と奇数関数 で=f(×) は間隔で減少すると呼ばれます ×、もし × 1 ,× 2 ×、そのような × 1 <× 2、不等式が成り立つ f(× 1) > f(× 2).

意味。 この関数は特定の間隔で単調関数と呼ばれます あ、この間隔で増加または減少した場合。

数値関数関数の定義域（引数）と値の範囲が数値の集合である関数です。 、ここで、 、は数値セットです。

数値関数の例は、時間 (引数) に対する成長 (関数値) の依存性です (図 1)。

米。 1. 成長関数グラフ

各人に靴のサイズを割り当てる関数は、引数が数値ではないため、数値ではありません。

他のオブジェクトと同様に、関数は通常、学習しやすいように分類されています。 あなたは、一次関数、二次関数、対数関数など、さまざまな種類の関数に精通しています。 最も単純な関数、つまり線形関数を見てみましょう。

一次関数の方程式: 、 、 は数値です。 グラフは直線です (図 2)。

米。 2. 一次関数のグラフ例

なぜ一次関数は単純と言えるのでしょうか? グラフが直線なので。 座標平面上の非垂直直線は線形関数を定義し、その逆も同様です。 幾何学において、直線は最も単純なオブジェクトの 1 つです。

さらに、私たちは生活の中で一次関数に遭遇し、使用することがよくあります。 たとえば、車が時速kmで走っているとします。 これは、最初の1時間で彼はkm、2番目の時間でkmなどを移動することを意味します。 つまり、引数 (時間) の同じ変化は、関数 (車の移動距離) の同じ変化につながります。

車の動きを説明しましょう。初期位置を とすると、一定の速度で数時間で距離を移動します。 次に、特定の時間における自動車の位置は次のように決定されます。 、ここで、 は関数の引数です。

この方程式は一次関数を表します。 2 つの瞬間を考えてみましょう:

関数の値の変化は、その引数の値の変化に比例することがわかります。

一次関数は、他の関数を局所的に近似する (記述する) ために使用できるため、また重要です。 たとえば、グラフ (図 3) (図 4) の一部を抜粋すると、直線に近いことがわかります。

米。 3. 関数のグラフ

米。 4. 図のグラフの一部。 3.

これを関数全体に対して行うと、区分的線形関数が得られました (図 5)。 これで、各線形セクションでの動作を説明できるようになりました。

米。 5. 区分的一次関数

短い直線セグメントを使用して曲線を近似する簡単な例は、学校のコンピュータ サイエンスで学習されます。カメは、LOGO プログラムでこの方法で円を描きます。 画面上に理想的な円を描くことが不可能であることは明らかです。画面には最小のセル (ピクセル) があります。 ポイントと呼んでいますが、それでもある程度の幅と長さがあります。 そして、滑らかな円を描くことが不可能であることは明らかです。実際、結果は非常に正確ですが、それでも近似になります。

画面上の写真を見ると、線が滑らかに見えます。 しかし、それを増やし始めると、遅かれ早かれ正方形 (ピクセル) が表示されるようになります (図 6)。

米。 6. 画面上の写真を拡大する

亀が描いた円にも同じことが見られます。 拡大してみると、実際に描かれているのは円ではなく、十分に大きな値を持つ正n角形であることがわかります(図7)。

米。 7. 円の拡大画像

生活の中で私たちはこの方法をよく使います。 例えば、鳥が飛んでいるのを見ているとき、私たちは無意識に鳥の速度を計算し、同じ速度でまっすぐ遠くに飛ぶと仮定します（図8）。 実際、私たちの予測は現実とは異なる場合がありますが、短期間ではかなり正確になるでしょう。

米。 8. 鳥の位置の計算ミスのイラスト

この種の分析を実行しているのは私たちだけではありません。 多くの動物は、そのような問題を解決する方法も知っています。たとえば、カエル​​が蚊を捕まえるとき、舌を吐き出す時間を確保するには、蚊がどの位置にいるかを予測できなければなりません。

より正確な測定のために、より精密な機器を使用します。 関数の場合、(一次関数と比較して) より正確なツールは二次関数です。 次に難しい機能と言えるでしょう。

二次関数の方程式: 、 、 および は数値です。

二次関数のグラフは放物線になります（図9）。

米。 9. 2次関数のグラフ例

二次関数を使用すると、未知の関数をより正確に近似できるため、より正確な予測が可能になります。

数値関数に関連してよく遭遇するもう 1 つの問題: 特定の点での関数の値はわかっていますが、これらの点の間で関数がどのように動作するかを理解する必要があります。 たとえば、いくつかの実験データがあります (図 10)。

米。 10. 実験結果

マークされた点の間の気温がどのように動作するかを理解するには、無限に測定を行うことはできないため、何らかの方法で関数がどのように動作するかを想定する必要があります。 線形近似 (図 11、グラフ A) または二次近似 (図 11、グラフ B) ができます。

米。 11. 線形近似と二次近似

このようなプロセスはと呼ばれます 補間.

この作業は難しそうに思えます。コーヒーかすを使った占いのように思えるかもしれません。 実際、マークされた 2 つの点の間で関数がどのように動作するかはわかりません。 たとえば、そのグラフは次のようになります (図 12)。

米。 12. 関数グラフの「予期しない」動作

実際、何らかのモデルを使用して関数のグラフをポイントごとに再構築します。モデル内に急激なジャンプがなければ (たとえば、実験中)、関数は十分に滑らかであると仮定します。 すると、かなりの確率で、関数のグラフは図のようになると言えます。 11.

二次関数と一次関数は、多項式で指定されるという事実によって結合されます (このような関数は他にもあります)。

このような機能に加えて、物理学や生物学のさまざまなプロセスを説明する機能もあり、研究されています。 それらを設定し、そのプロパティを記述し、グラフを構築して、それらを操作することができます。 このような関数には、たとえば、指数関数、対数関数、および三角関数が含まれます。 それらについては次のレッスンで説明します。

数値関数 数値セット間のこの対応はと呼ばれます ×そしてたくさんの R実数。集合の各数値が含まれます。 ×セット内の単一の数値と一致します R.多くの ×呼ばれた 関数のドメイン 。 機能は文字で示されます f、g、hなどの場合 f- セット上で定義された関数 ×、次に実数 そう、番号に対応する ×たくさんあります ×、と表記されることが多い f(x)そして書きます
y = f(x)。変数 ×これを引数と呼びます。 フォームの数字のセット f(x)呼ばれた 機能範囲

関数は数式を使用して指定します。 例えば 、y = 2× - 2. 式を使用して関数を指定するときに、その定義域が指定されていない場合は、関数の定義域が式の定義域であるとみなされます。 f(x).

例えば。関数が公式で与えられる場合、その定義域は数値 2 を除いた実数のセットになります ( x = 2、その場合、この分数の分母はゼロになります)。

数値関数は、座標平面上のグラフを使用して視覚的に表現できます。 グラフは、横座標を持つ座標平面上の点の集合です。 ×そして縦座標 f(x)みんなのために ×たくさんの人から X.したがって、関数のグラフは、 y = x + 2、セットで定義されています R、は直線 (図 1) であり、同じ集合上で定義された関数のグラフは放物線 (図 2) です。

グラフを作成するには、対応する値のテーブルを使用できます。 ×そして で:

1) 機能のため y = x + 2

2) 機能のため

座標平面上のすべての点のセットが何らかの関数のグラフを表すわけではありません。 定義領域からの引数の各値について、関数は値を 1 つだけ持つ必要があるため、縦軸に平行な直線は関数のグラフとまったく交差しないか、1 点でのみ交差します。 この条件が満たされない場合、座標平面上の点のセットは関数のグラフを定義しません。

たとえば、図の曲線は次のようになります。 3.

関数はグラフまたはテーブルを使用して指定できます。 たとえば、次の表は、気温の時間帯への依存性を示しています。 この依存関係は関数です。各時間値は次のとおりです。 t単一の気温値に対応します p.

t(時間単位)
p(度単位)

関数とは何ですか? 意味。 あるセットの各要素が別のセットの単一の要素に関連付けられている対応関係は、関数と呼ばれます。 y = f(x), x Є X と書きます。変数 x は独立変数または引数と呼ばれます。 独立変数のすべての許容値のセットは関数の定義域であり、D(y) で示されます。 変数 y は従属変数です。 従属変数のすべての値のセットは関数の値の範囲であり、E(y) と表されます。

関数の指定方法 関数の指定方法は4つあります。 1. 表形式の方法。 テーブルで利用可能な引数の値の関数値を計算せずに求めることができるので便利です。 Х2345 У 分析方法。 関数は 1 つ以上の式で指定されます。 この方法は、関数を研究し、その特性を確立するために不可欠です。 Y=2 x+5、y= x² -5 x+1、y= |x+5|。 3. グラフィックメソッド。 関数は、座標平面上の幾何モデルによって指定されます。 4. 記述的方法。 他の方法では作業が難しい場合に使用すると便利です。

§3 関数のプロパティ 単調性: 増加; 関数のゼロの減少（関数の値がゼロに等しい引数の値） 連続性 周期性 偶数の奇数 極値：最大点、最小点の凸性 関数の最大値と最小値 定数符号の区間（関数の値がゼロになる区間）関数は正の値のみ、または負の値のみを受け取ります)

A. y=k/x (k 0) の形式の関数は、反比例と呼ばれます。 反比例のグラフ (双曲線) は、関数 y = 1/x のグラフからストレッチ (および k を使用) を使用して取得されます。

関数 y = |x| y=|x |= x の場合 x 0 -x の場合

0. O. 分数線形関数のグラフは、反比例のグラフをシフトして得られる双曲線です。" title=" 分数線形関数 O. の形の関数を分数線形関数といいますここで、c>0 O. グラフ分数線形関数 - シフトを使用して反比例グラフから得られる双曲線。" class="link_thumb"> 11 !}分数線形関数 O。c>0 の形式の関数は分数線形と呼ばれます。 O. 分数一次関数のグラフは、シフトを使用した反比例のグラフから得られる双曲線です。 0. O. 線形分数関数のグラフ - シフトを使用した反比例のグラフから得られた双曲線。"> 0. O. 線形分数関数のグラフ - シフトを使用した反比例のグラフから得られた双曲線。 "> 0. O. 分数線形関数のグラフは、反比例のグラフからシフトを使って得られる双曲線です。" title="分数線形関数 O. の形の関数を分数関数といいます。 -linear、c>0 O. 分数線形関数のグラフ - シフトを使用して反比例グラフから得られる双曲線。"> title="分数線形関数 O。c>0 の形式の関数は分数線形と呼ばれます。 O. 分数一次関数のグラフは、シフトを使用した反比例のグラフから得られる双曲線です。"> !}

関数のドメインを見つける

関数の値の集合 1.у= 2sin²x-cos2x 解: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 答え: -1 y 3 2 .y = |cosx| 解決策: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1、|cosx| 1 1 答え: -1 y 1 3. 関数はグラフで与えられます。 この関数には複数の値を指定します。 E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]

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スライドのキャプション:

数値関数。 割り当ての定義と方法。

思い出してみましょう。数値セットと、そのセットの各要素に特定の番号を割り当てることができる規則が与えられた場合、定義域を持つ関数が与えられると言います。 – 関数の定義域。 – 独立変数または引数。 – 従属変数; すべての値の集合は関数の値の範囲と呼ばれ、 で表されます。

関数が与えられ、形式のすべての点 a が座標平面上にマークされている場合、これらの点の集合は関数のグラフ と呼ばれます。

一部の関数のグラフは直線になります

放物線

双曲線

関数のグラフがわかれば、幾何学的変換を使用して関数のグラフを作成できます。 これを行うには、関数グラフをベクトルに並列転送する必要があります。つまり、右に if、左に if、上に if、そして下に if に転送します。

例 -4 0 1 2 3 4

関数を設定する – 任意に選択した値に基づいて対応する値を計算できるルールを指定します。 ほとんどの場合、このルールは (たとえば) 式に関連付けられます。 関数を指定するこの方法は分析的と呼ばれます。

例 座標平面上の線とする

したがって、セグメント上に関数が定義されます。 関数を指定するこの方法はグラフィカルと呼ばれます。 関数が分析的に指定され、そのグラフを構築できた場合、実際には、関数を指定する分析的方法からグラフィカルな方法に移行したことになることに注意してください。

関数を指定する表形式の方法では、引数値の有限セットに対する関数の値を示すテーブルを使用します。 例: 5 7 8 9 10 12 5 7 4 6 5 7 8 9 10 12 5 7 4 6

言語による機能指定法とは、機能を指定するためのルールを言葉で説明する方法である。