たくさん解くときは 数学の問題 、特に 10 年生より前に発生するものでは、目標につながる実行されるアクションの順序が明確に定義されています。 このような問題には、たとえば、一次および二次方程式、一次および二次不等式、 分数方程式二次方程式に帰着する方程式。 前述した各問題をうまく解決するための原則は次のとおりです。解決している問題の種類を確立し、望ましい結果につながる必要な一連のアクションを覚えておく必要があります。 答えて次の手順に従ってください。

特定の問題の解決が成功するか失敗するかは、主に、解く方程式の種類がどの程度正確に決定されるか、その解決のすべての段階の順序がどの程度正確に再現されるかに依存することは明らかです。 もちろん、この場合、同一の変換と計算を実行するスキルが必要です。

状況は異なります 三角方程式。この方程式が三角関数であるという事実を証明することは、まったく難しいことではありません。 正しい答えにつながる一連のアクションを決定するときに困難が生じます。

による 外観方程式では、そのタイプを判断することが難しい場合があります。 また、方程式の種類が分からなければ、数十の三角関数の公式から正しいものを選択することはほぼ不可能です。

三角方程式を解くには、次のことを試す必要があります。

1. 方程式に含まれるすべての関数を「同じ角度」にします。
2. 方程式を「同一関数」にします。
3. 等式の左辺を因数分解します。

考えてみましょう 三角方程式を解くための基本的な方法。

I. 最も単純な三角方程式への帰着

ソリューション図

ステップ1.急行 三角関数既知のコンポーネントを介して。

ステップ2。次の式を使用して関数の引数を見つけます。

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn、n ЄZ。

罪 x = a; x = (-1) n arcsin a + πn、n Є Z。

タン x = a; x = arctan a + πn、n Є Z。

ctg x = a; x = arcctg a + πn、n Є Z。

ステップ3。未知の変数を見つけます。

例。

2 cos(3x – π/4) = -√2。

解決。

1) cos(3x – π/4) = -√2/2。

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn、n Є Z。

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn、n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3、n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3、n Є Z。

答え: ±π​​/4 + π/12 + 2πn/3、n Є Z。

II. 変数の置換

ソリューション図

ステップ1.方程式を三角関数の 1 つに関して代数形式に変換します。

ステップ2。結果の関数を変数 t で表します (必要に応じて、t に制限を導入します)。

ステップ3。結果として得られる代数方程式を書き留めて解きます。

ステップ4。逆の交換を行います。

ステップ5。最も単純な三角方程式を解きます。

例。

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0。

解決。

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0。

2) sin (x/2) = t とします。ここで |t| ≤ 1。

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 または e = -3/2、条件 |t| を満たしていません。 ≤ 1。

4) sin(x/2) = 1。

5) x/2 = π/2 + 2πn、n Є Z;

x = π + 4πn、n Є Z。

答え: x = π + 4πn、n Є Z。

Ⅲ． 方程式次数削減法

ソリューション図

ステップ1.次数を減らす公式を使用して、この方程式を線形方程式に置き換えます。

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)。

ステップ2。結果の方程式を方法 I および II を使用して解きます。

例。

cos 2x + cos 2 x = 5/4。

解決。

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4。

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn、n Є Z;

x = ±π/6 + πn、n Є Z。

答え: x = ±π/6 + πn、n Є Z。

IV. 同次方程式

ソリューション図

ステップ1.この方程式を次の形式に変形します。

a) a sin x + b cos x = 0 ( 同次方程式第一級）

または景色へ

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (2 次の等次方程式)。

ステップ2。方程式の両辺を次の値で割ります。

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

そしてtan x の方程式を取得します。

a) atan x + b = 0;

b) atan 2 x + b arctan x + c = 0。

ステップ3。既知の方法を使用して方程式を解きます。

例。

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0。

解決。

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0。

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0。

3) tg x = t とすると、

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 または t = -4、つまり

tg x = 1 または tg x = -4。

最初の方程式 x = π/4 + πn から、n Є Z; 2 番目の方程式より x = -arctg 4 + πk、kЄZ。

答え: x = π/4 + πn、n Є Z; x = -arctg 4 + πk、k Є Z。

V. 三角関数の公式を用いた方程式の変形方法

ソリューション図

ステップ1.ありとあらゆるものを使って、 三角関数の公式、この方程式を方法 I、II、III、IV によって解かれる方程式に還元します。

ステップ2。既知の方法を使用して、結果の方程式を解きます。

例。

sin x + sin 2x + sin 3x = 0。

解決。

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0。

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 または 2cos x + 1 = 0;

最初の方程式から、2x = π/2 + πn、n Є Z; 2 番目の方程式 cos x = -1/2 より。

x = π/4 + πn/2、n Є Z となります。 2 番目の方程式 x = ±(π – π/3) + 2πk、k Є Z より。

結果として、x = π/4 + πn/2、n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk、k Є Z。

答え: x = π/4 + πn/2、n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk、k Є Z。

三角方程式を解く能力とスキルは非常に優れています。 重要なのは、彼らの発達には生徒側と教師側の両方に多大な努力が必要であるということです。

立体測定や物理学などの多くの問題は、三角方程式の解法に関連しています。このような問題を解くプロセスには、三角法の要素を研究することで得られる知識やスキルの多くが組み込まれています。

三角方程式数学の学習と個人の成長全般において重要な位置を占めます。

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最も単純な三角方程式は、原則として公式を使用して解きます。 最も単純な三角方程式は次のとおりであることを思い出してください。

シンクス = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x は求める角度です。
aは任意の数値です。

これらの最も単純な方程式の解をすぐに書き留めることができる公式を以下に示します。

正弦波の場合:

コサインの場合:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

接線の場合:

x = arctan a + π n、n ∈ Z

コタンジェントの場合:

x = arcctg a + π n、n ∈ Z

実際、これは最も単純な三角方程式を解く理論的な部分です。 しかも全部！） 何もない。 ただし、このトピックに関するエラーの数は、単にチャートから外れています。 特に例がテンプレートからわずかに逸脱している場合はそうです。 なぜ？

はい、多くの人がこれらの手紙を書き留めているので、 意味が全く理解できずに！彼は何かが起こらないように注意して書き留めています...) これは整理する必要があります。 人のための三角法か、それとも三角法のための人なのか!?)

考えてみましょう?

1 つの角度は次と等しくなります アークコス、 2番目： -arccos A.

そしてそれは常にこの方法でうまくいきます。どれについても A.

信じられない場合は、写真の上にマウスを置くか、タブレット上の写真に触れてください。) 番号を変更しました あ 何かネガティブなものに。 とにかく、一角を獲得しました アークコス、 2番目： -arccos A.

したがって、答えは常に 2 つの一連の根として書くことができます。

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

これら 2 つのシリーズを 1 つに結合してみましょう。

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

以上です。 最も単純な三角方程式をコサインで解くための一般式を取得しました。

これが超科学的な知恵ではないことを理解していただければ、 2 つの一連の回答の短縮版です。タスク「C」も処理できるようになります。 不等式の場合、与えられた区間から根を選択する場合...そこではプラス/マイナスを伴う答えは機能しません。 しかし、その答えを事務的に扱い、2 つの別々の答えに分解すれば、すべては解決します。）実際、それが私たちがそれを調査している理由です。 何を、どのように、どこで。

最も単純な三角方程式では

シンクス = a

2 つの一連の根も得られます。 いつも。 そしてこの2シリーズも収録可能です 一行で。 この行だけがより複雑になります。

x = (-1) n arcsin a + π n、n ∈ Z

しかし、本質は変わりません。 数学者は単純に、一連のルートに対して 2 つのエントリではなく 1 つのエントリを作成する式を設計しました。 それだけです！

数学者に確認してみませんか？ そしてあなたは決して知りません...)

前のレッスンでは、サインを使用した三角方程式の解法 (公式なし) について詳しく説明しました。

その答えは、次の 2 つの一連のルートになりました。

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

同じ方程式を公式を使用して解くと、答えが得られます。

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

実際、これは未完成の答えです。) 学生はそれを知っている必要があります。 逆正弦 0.5 = π /6。完全な答えは次のようになります。

x = (-1)n π/6+ π n、n ∈ Z

ここでそれが起こります 興味深い質問。 返信方法 ×1; ×2 （これが正解です！）そして孤独を乗り越えて × （これが正解です！） - それらは同じものですか？ 今すぐ分かります。)

答えを次のように置き換えます。 ×1 価値観 n =0; 1; 2; などを数えると、一連の根が得られます。

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 等々。

応答として同じ置換を行うと、 ×2 、次のようになります。

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 等々。

では値を代入してみましょう n (0; 1; 2; 3; 4...) を単一の一般式に代入します。 × 。 つまり、マイナス 1 を 0 乗し、次に 1 乗、2 乗などとします。 もちろん、第 2 項には 0 を代入します。 1; 2 3; 4など そして私たちは数えます。 系列が得られます。

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 等々。

見ることができるのはこれだけです。) 一般式から次のことがわかります。 全く同じ結果 2 つの答えも別々にあります。 すべてを一度に、順番に。 数学者たちは騙されなかった。)

正接と余接を使った三角方程式を解く公式も確認できます。 しかし、私たちはそうしません。）それらはすでに単純です。

この置換とチェックをすべて具体的に書き出しました。 ここで 1 つの単純な点を理解することが重要です。初等の三角方程式を解くための公式があります。 回答の簡単な要約。この簡潔さのために、余弦解にプラス/マイナスを挿入し、正弦解に (-1) n を挿入する必要がありました。

これらの挿入は、基本方程式の答えを書き留めるだけのタスクにはまったく干渉しません。 しかし、不等式を解く必要がある場合、またはその答えに対して何かをする必要がある場合、つまり区間上のルートを選択したり、ODZ をチェックしたりする必要がある場合、これらの挿入は人を簡単に動揺させる可能性があります。

それで、どうすればいいでしょうか？ はい、答えを 2 つのシリーズで書くか、三角円を使用して方程式/不等式を解きます。 そうすれば、これらの挿入はなくなり、生活が楽になります。）

要約することができます。

最も単純な三角方程式を解くために、既製の答えの公式があります。 4個。 方程式の解を即座に書き留めるのに適しています。 たとえば、次の方程式を解く必要があります。

sinx = 0.3

簡単に： x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

問題ない： x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

簡単に： x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

残り 1 つ: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

もしあなたが知識に輝いて、即座に答えを書くとしたら:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

それならあなたはすでに輝いています、これは...あれ...水たまりからのものです。) 正解: 解決策はありません。 理由がわかりませんか? 逆余弦とは何かを読んでください。 さらに、元の方程式の右側にサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、- の表形式の値がある場合、 1; 0; √3; 1/2; √3/2 等 - アーチを通る答えは未完成になります。 アーチはラジアンに変換する必要があります。

そして不平等に出会ったら、

答えは次のとおりです。

x πn、n ∈ Z

まれにナンセンスがあります、はい...) ここでは、三角円を使用して解く必要があります。 対応するトピックで行うこと。

これらの行を勇敢に読んだ人のために。 皆さんの多大な努力に感謝せずにはいられません。 あなたへのボーナス。）

ボーナス：

憂慮すべき戦闘状況で公式を書き留めるとき、熟練のオタクでもどこで公式を書き留めるか混乱することがよくあります。 πn、 そしてどこで 2π n. ここでは簡単なトリックを紹介します。 で みんな数式の価値 ん。 逆余弦を使用する唯一の式を除いて。 そこに立っているのです 2πn。 二ピーン。 キーワード - 二。この同じ式には次のものがあります。 二冒頭にサイン。 プラスとマイナス。 そしてそこに、そしてそこに - 二。

それで、あなたが書いた場合 二逆余弦の前に符号を付けると、最後に何が起こるかを覚えやすくなります 二ピーン。 そしてその逆も起こります。 その人はサインを見落とすだろう ± 、最後まで到達し、正しく書き込みます 二ぴえん、それで我に返るよ。 この先に何かがある 二サイン！ その人は振り出しに戻って間違いを修正します！ このような。）

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

三角方程式を解く概念。

• 三角方程式を解くには、三角方程式を 1 つ以上の基本的な三角方程式に変換します。 三角方程式を解くことは、最終的には 4 つの基本的な三角方程式を解くことになります。

三角方程式を解くための基本公式。 三角関数の方程式を解く。 三角方程式の解き方 お客様のプライバシーを維持することは当社にとって重要です。 このため、当社はお客様の情報の使用および保管方法を説明するプライバシー ポリシーを作成しました。 当社のプライバシー慣行を確認し、ご質問がある場合はお知らせください。 個人情報の収集と利用 個人情報とは、特定の個人を識別したり連絡したりするために使用できるデータを指します。 当社にご連絡いただく際には、いつでも個人情報の提供を求められる場合があります。 以下は、当社が収集する個人情報の種類とそのような情報の使用方法の例です。 当社が収集する個人情報は次のとおりです。 当サイトでお申し込みをいただく際、お名前、電話番号、住所などの様々な情報を収集させていただく場合がございます。 電子メール等 お客様の個人情報の使用方法: 当社が収集したもの 個人情報これにより、当社がお客様に連絡し、独自のオファー、プロモーション、その他のイベントや今後のイベントについてお知らせすることができます。 当社は、重要な通知や連絡を送信するためにお客様の個人情報を使用する場合があります。 また、当社は、当社が提供するサービスを改善し、お客様に当社のサービスに関する推奨事項を提供するために、監査、データ分析、さまざまな調査の実施などの内部目的で個人情報を使用する場合があります。 あなたが賞品の抽選、コンテスト、または同様のプロモーションに参加する場合、当社はそのようなプログラムを管理するためにあなたが提供した情報を使用することがあります。 第三者への情報開示 当社はお客様から受け取った情報を第三者に開示することはありません。 例外: 必要な場合 - 法律、司法手続きに従って、 トライアル、および/または公的要請またはロシア連邦政府機関からの要請に基づいて、個人情報を開示します。 また、セキュリティ、法執行、またはその他の公共の重要な目的のために開示が必要または適切であると当社が判断した場合、当社はお客様に関する情報を開示することがあります。 組織再編、合併、または売却の場合、当社は収集した個人情報を該当する後継の第三者に譲渡することがあります。 個人情報の保護 当社は、お客様の個人情報を紛失、盗難、悪用、および不正アクセス、開示、改ざん、破壊から保護するために、管理上、技術上、物理的な予防措置を講じます。 会社レベルでのプライバシーの尊重 お客様の個人情報の安全を確保するために、当社はプライバシーとセキュリティの基準を従業員に伝達し、プライバシー慣行を厳格に実施します。	より複雑な三角方程式 方程式 罪 x = a, コス x = a, tg x = a, ctg x = a は最も単純な三角方程式です。 この段落では、 具体的な例より複雑な三角方程式を見ていきます。 彼らの解決策は、原則として、最も単純な三角方程式を解くことになります。 例 1 。 方程式を解く 罪2 ×=cos ×罪2 ×. この方程式のすべての項を左辺に移し、結果の式を因数分解すると、次が得られます。 罪2 ×(1 - cos ×) = 0. 2 つの式の積は、因子の少なくとも 1 つが満たされている場合に限り、ゼロに等しくなります。 ゼロに等しい、もう一方は何でも受け入れます 数値定義されている限り。 もし 罪2 × = 0 、次に 2 ×= n π ; × = π / 2n. もし 1 - コス × = 0 、その後、cos × = 1; × = 2kπ . したがって、ルートの 2 つのグループが得られました。 × = π / 2n; × = 2kπ 。 n = 4k の場合、次の式があるため、ルートの 2 番目のグループは明らかに最初のグループに含まれています。 × = π / 2nに訴える × = 2kπ . したがって、答えは 1 つの式で書くことができます。 × = π / 2n、 どこ n- 任意の整数。 この方程式は、sin 2 で削減しても解けないことに注意してください。 ×。 実際、リダクション後は 1 - cos x = 0 が得られます。 ×= 2k π 。 したがって、たとえば、いくつかのルートを失うことになります。 π / 2 , π , 3π/ 2 . 例2。方程式を解く 分数は、分子がゼロに等しい場合にのみゼロに等しくなります。 それが理由です 罪2 × = 0 、どこから2 ×= n π ; × = π / 2n. これらの価値観から × これらの値を無関係なものとして破棄する必要があります。 罪× ゼロになります (分母がゼロの分数には意味がありません。ゼロによる除算は未定義です)。 これらの値は次の倍数です。 π 。 式では × = π / 2nそれらは偶数で得られます n。 したがって、この方程式の根は次の数値になります。 × = π / 2 (2k + 1)、 ここで、k は任意の整数です。 例 3 。 方程式を解く 2 罪2 ×+7コス × - 5 = 0. 表現しましょう 罪2 × を通して コス× : 罪2 × = 1 - cos 2× 。 次に、この方程式は次のように書き換えることができます。 2 (1 - cos 2 ×) + 7cos × - 5 = 0 、 または 2コス2 ×- 7コス × + 3 = 0. 指定する コス× を通して で、二次方程式に到達します。 2у 2 - 7у + 3 = 0、 その根は数値 1/2 と 3 です。これは、どちらかの cos が意味します。 ×= 1 / 2、または cos ×= 3. ただし、後者は、どの角度の余弦も絶対値で 1 を超えないため、不可能です。 それを認めることは依然として残っている コス × = 1 / 2 、 どこ × = ± 60° + 360° n. 例 4 。 方程式を解く 2 罪 ×+3コス × = 6. 罪以来 ×そしてcos ×絶対値が 1 を超えない場合、式は 2 罪 ×+3コス × より大きい値を取ることはできません 5 。 したがって、この方程式には根がありません。 例 5 。 方程式を解く 罪 ×+cos × = 1 この方程式の両辺を二乗すると、次のようになります。 罪2 ×+2罪 ×コス ×+cos2 × = 1, しかし 罪2 × + cos2 × = 1 。 それが理由です 2 罪 ×コス × = 0 。 もし 罪 × = 0 、 それ × = nπ ; もし コス × 、 それ × = π / 2 + kπ 。 これら 2 つのグループの解は 1 つの式で書くことができます。 × = π / 2n この方程式の両辺を二乗したので、得られた根の中に無関係な根が存在する可能性があります。 このため、この例では、これまでのすべての例とは異なり、チェックを行う必要があります。 すべての意味 × = π / 2n 4つのグループに分けることができます 1) × = 2kπ . (n = 4k) 2) × = π / 2 + 2kπ . (n = 4k + 1) 3) × = π + 2kπ . (n = 4k + 2) 4) × = 3π/ 2 + 2kπ . (n = 4k + 3) で × = 2kπ罪 ×+cos ×= 0 + 1 = 1。したがって、 × = 2kπはこの方程式の根です。 で × = π / 2 + 2kπ。 罪 ×+cos ×= 1 + 0 = 1 つまり × = π / 2 + 2kπ- この方程式の根でもあります。 で × = π + 2kπ罪 ×+cos ×= 0 - 1 = - 1。したがって、値は × = π + 2kπはこの方程式の根ではありません。 同様に、次のことが示されます × = 3π/ 2 + 2kπ。 根ではありません。 したがって、この方程式には次の根があります。 × = 2kπそして × = π / 2 + 2mπ。、 どこ kそして メートル- 任意の整数。