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3 つの未知数における 3 つの線形方程式系 2 つの未知数を含む一次方程式 (1 次方程式)定義1.

2 つの未知数を含む一次方程式 (1 次方程式)

x と y は次の形式の方程式に名前を付けます。

解決。等式 (2) から変数 y から変数 x までを表現してみましょう。

式 (3) から、式 (2) の解はすべて次の形式の数値のペアであることがわかります。 ここで、x は任意の数値です。注記。例 1 の解から分かるように、方程式 (2) は次のようになります。 無限に多くの解決策 (。ただし、次のことに注意してください。; 数字のペアではありません) はこの方程式の解です。式 (2) の任意の解を得るには、数値 x を任意の値として取り、式 (3) を使用して数値 y を計算できます。

2 つの未知数における 2 つの線形方程式系

定義3. 2 つの未知数を含む 2 つの線形方程式系 x と y は次の形式の方程式系を呼び出します。

どこある 1 , b 1 , c 1 , ある 2 , b 2 , c 2 – 与えられた数字。

定義4. 連立方程式 (4) の数値はある 1 , b 1 , ある 2 , b 2 と呼ばれる数字 c 1 , c 2 – 無料会員.

定義5. 連立方程式 (4) を解くことによってペアの番号に電話をかけます ( 。ただし、次のことに注意してください。; 数字のペアではありません) 、これは系 (4) の一方の方程式と他方方程式の両方の解です。

定義6. 2 つの方程式系は次のように呼ばれます。同等（同等）、最初の方程式系のすべての解が 2 番目の方程式系の解であり、2 番目の方程式系のすべての解が最初の系の解である場合。

連立方程式の等価性は記号「」を使用して示されます。

連立一次方程式はを使用して解きます。これについては例を用いて説明します。

例2。連立方程式を解く

解決。システム(5)を解決するには システムの 2 番目の方程式から未知数を取り除く× 。

この目的のために、まずシステム (5) を、システムの 1 番目と 2 番目の方程式の未知の x の係数が同じになる形式に変換します。

システム (5) の最初の方程式に 2 番目の方程式 (番号 7) の x の係数が乗算され、2 番目の方程式に最初の方程式 (番号 2) の x の係数が乗算される場合、システム (5)という形になります

ここで、システム (6) で次の変換を実行してみましょう。

2 番目の方程式から最初の方程式を減算し、システムの 2 番目の方程式を結果として得られる差で置き換えます。

その結果、系 (6) は等価な系に変換されます。

2 番目の方程式から次のことがわかります。 数字のペアではありません= 3、この値を最初の方程式に代入すると、次のようになります。

答え。 (-2 ; 3) 。

例 3. 連立方程式が適用されるパラメータ p のすべての値を求めます。

あ) には独自の解決策があります。

b) 無限に多くの解があります。

V）には解決策がありません。

解決。系 (7) の 2 番目の方程式から x から y までを表し、得られた式を x の代わりに系 (7) の最初の方程式に代入すると、次のようになります。

パラメーター p の値に応じて、システム (8) の解法を検討してみましょう。

未知数が 3 つある一次方程式。 3 つの未知数を含むディオファントス方程式

サイトの作成者が、2 つの変数を使用してディオファントスの線形方程式を解くようにボットに教えることができた後、未知数が 3 つある同様の方程式を解くようにボットに教えたいという欲求が生じました。私は本に没頭しなければなりませんでした。

2か月後、そこから抜け出した著者は、自分が何も理解していないことに気づきました。非常に賢い数学者は、人間として恥じ入るほど洗練された方法で数式を導き出すためのアルゴリズムを書きました。私は悲しかったが、それでも膨大な本の中に有用な考えを見つけ、この考えから 3 つの未知数を持つディオファントス方程式を解く方法の理解が得られた。

したがって、数学者ではないが、数学者になりたいと思っているすべての人に:)

3 つの未知数を含むディオファントス方程式は次のようになります

整数はどこにありますか

何かを考えてみると一般的な解決策おそらく知らない人にとっては、最もありふれたものは次のように見えるでしょう

一般的な解を方程式に代入してみましょう

せっかちな読者は、これが何の役に立つのかと尋ねるでしょう。しかし、すべてを未知数でグループ化してみましょう。

見てください、右側には文字 d で指定されたある種の定数があります。

これは、それが t に依存しないことを意味します (これも変数であり、どのような値になりたいのかはわかりません)。

z にも依存しないと仮定するのが論理的です。つまり、

しかし、それは A 3 と B 3 の定数値に直接依存します。

結局私たちはどうなったのでしょうか？そして3つ手に入れました 2 つの未知数を含む典型的な古典的なディオファントス方程式、簡単かつ自然に解決できます。

決めてみましょうか？

最初の行で検索エンジンこの方程式を見つけました

最初の方程式は次のようになります

そのルーツ

k=-1 を例として、ゼロを削除してみましょう。 (必要に応じて、2 または 100 または -3 を選択できます) これは最終的な決定には影響しません。

2 番目の方程式を解く

そしてそのルーツ

ここでは k=0 とします (X と Y は値がゼロであっても一致しないため)

そして最後の 3 番目の方程式

ここの根っこはこんな感じです

見つかったすべての値を一般形式に代入してみましょう

それでおしまい！

すべてが非常に簡単かつ透過的に解決されることに注意してください。ボットの作成者が本で見つけたので、教師や有能な生徒は間違いなくこのテクニックを採用するでしょう。

もう 1 つの例は、ボットを使用してすでに解決されています。

追加： ボットを使用して同様の方程式を解くと、方程式をもう一度解くために変数を交換するように求めるエラーがボットから表示される場合があります。これは、中間計算中に解けない方程式が得られるためです。

例として

方程式を解こうとするとき

私たちの場合

どの値でも左側は常に (!!) なので、エラーが発生します。偶数、右側に奇数が表示されます。

しかし、これは元の方程式が解けないという意味ではありません。たとえば次のように、用語を別の順序で変更するだけで十分です

そして答えが得られます

連立一次方程式は、一緒に考慮されるいくつかの集合です。線形方程式.

システムには、任意の数の未知数を含む任意の数の方程式を含めることができます。

連立方程式の解は、その系のすべての方程式を満たす未知数の値のセット、つまり、それらを恒等式に変換することです。

解決策があるシステムは一貫性があると呼ばれ、そうでない場合は一貫性がないと呼ばれます。

このシステムを解決するにはさまざまな方法が使用されます。

させて
(方程式の数は未知数の数と同じです)。

クレーマー法

3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式系を解くことを考えてみましょう。

(7)

未知のものを見つけるために
Cramer の公式を適用してみましょう。

(8)

どこ - システムの行列式。その要素は未知数の係数です。

行列式の最初の列を置き換えることによって得られます。無料会員の欄：

同じく：

;
.

例1. Cramer の公式を使用して系を解きます。

解決策: 式 (8) を使用してみましょう。

;

答え：
.

あらゆるシステムに対応との一次方程式未知の部分は次のように言えます。

マトリックスソリューション

行列法を使用して、3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式からなる系 (7) を解くことを考えてみましょう。

行列乗算の規則を使用すると、この方程式系は次のように記述できます。
、どこ

マトリックスにしてみましょう非退化、つまり
。左側の行列方程式の両辺に行列を乗算します。
、行列の逆行列、次のようになります。
.

それを考えると
、我々は持っています

(9)

例2。行列法を使用して系を解きます。

解決策: 行列を導入しましょう:

- 未知数の係数から;

- 無料会員のコラム。

次に、システムは行列方程式として書くことができます。
.

式(9)を使ってみましょう。逆行列を求めてみましょう
式(6)によると:

;

したがって、

受け取った：

答え：
.

未知数の逐次消去法（ガウス法）

使用される方法の主な考え方は、未知のものを順番に排除することです。 3 つの未知数を含む 3 つの方程式系を使用して、この方法の意味を説明しましょう。

仮定してみましょう
（もし
次に、方程式の順序を変更し、最初の方程式として係数がゼロに等しくありません)。

最初のステップ: a) 方程式を除算します。
の上
; b) 結果の式に次の値を掛けます。
そしてから引きます
; c) 次に、結果に次の値を掛けます。
そしてから引きます
。最初のステップの結果、次のシステムが完成します。

第 2 ステップ: 方程式を扱います
そして
方程式とまったく同じ
.

その結果、元のシステムはいわゆる段階的形式に変換されます。

変換されたシステムから、すべての未知数が問題なく順番に決定されます。

コメント。実際には、連立方程式自体ではなく、係数、未知数、および自由項の行列を段階的な形式に還元する方が便利です。

例 3.ガウス法を使用してシステムを解きます。

ある行列から別の行列への遷移を等価記号 ~ を使用して書きます。

~
~
~
~

~
.

結果の行列を使用して、変換されたシステムを書き出します。

答え：
.

注: システムに固有の解がある場合、ステップシステムは三角形のシステム、つまり最後の方程式に未知の 1 つが含まれるシステムに縮小されます。不確実なシステム、つまり未知数の数が線形独立方程式の数よりも多いシステムの場合、最後の方程式には複数の未知数が含まれるため、三角システムは存在しません (システムには解は無限にあります）。システムに一貫性がない場合、それを段階的な形式に縮小した後、少なくとも 1 つのシステムが含まれることになります。フォームの値
つまり、すべての未知数の係数がゼロで、右辺が非ゼロである方程式 (システムには解がありません)。ガウス法は、任意の線形方程式系 (任意の線形方程式系) に適用できます。
そして ).

連立一次方程式の解に対する存在定理

ガウス法を使用して連立一次方程式を解く場合、この系が互換性があるか矛盾しているかという質問に対する答えは、計算の最後にのみ得られます。ただし、多くの場合、解自体を見つけることなく、方程式系の互換性または非互換性の問題を解決することが重要です。この質問に対する答えは、次のクロネッカーカペリの定理によって得られます。

システムを与えましょう
との一次方程式未知：

(10)

システム (10) が一貫しているためには、システム行列のランクが以下であることが必要かつ十分です。

拡張行列のランクと等しかった

さらに、もし
の場合、システム (10) には独自の解決策があります。もし
の場合、システムには無限の数の解が存在します。

線形方程式の同次系 (すべての自由項がゼロに等しい) を考えます。

このシステムにはゼロ解があるため、常に一貫性があります。

次の定理は、システムがゼロ以外の解を持つ条件を示します。

テレマ。均質な線方程式系がゼロ解を持つためには、その行列式が次の条件を満たすことが必要かつ十分です。ゼロに等しかった:

したがって、もし
、その場合、解決策はそれしかありません。もし
の場合、他の非ゼロ解は無限に存在します。この場合に、3 つの未知数を持つ 3 つの線形方程式の均質系の解を見つける方法の 1 つを示してみましょう。
.

証明できるのは、
、最初と 2 番目の方程式が非比例 (線形独立) である場合、3 番目の方程式は最初の 2 つの方程式の結果です。 3 つの未知数を含む 3 つの方程式からなる同次系の解は、3 つの未知数を含む 2 つの方程式の解に帰着します。任意の値を割り当てることができる、いわゆる自由な未知が表示されます。

例4.システムのすべての解を検索します。

解決。このシステムの決定要因

したがって、システムには解がありません。たとえば、最初の 2 つの方程式は比例ではないため、線形独立であることがわかります。 3 番目は最初の 2 つの結果です (最初の方程式に 2 番目の値を 2 倍追加するとわかります)。それを拒否すると、3 つの未知数を含む 2 つの方程式系が得られます。

たとえば、次のように仮定します。
、私たちは得ます

2 つの一次方程式系を解くと、次のように表されます。そしてを通して :
。したがって、システムの解決策は次のように記述できます。
、どこ - 任意の数。

例5.システムのすべての解を検索します。

解決。このシステムには独立した方程式が 1 つだけ存在することが簡単にわかります (他の 2 つはそれに比例します)。 3 つの未知数を含む 3 つの方程式からなる系は、3 つの未知数を含む 1 つの方程式に縮小されます。無料の不明が 2 つ表示されます。たとえば最初の方程式から求めると、
任意のそして、このシステムに対する解決策が得られます。解の一般的な形式は次のように書くことができます。そして - 任意の数字。

セルフテストの質問

システムを解くためのクレイマー則を定式化するとの一次方程式未知。

システムを解くマトリックスの本質は何ですか?

連立一次方程式を解くガウスの方法とは何ですか?

クロネッカー・カペリの定理を述べます。

同次一次方程式系に対する非ゼロの解が存在するための必要十分条件を定式化します。

自己解決の例

システムのすべての解を見つけます。

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

どのような値を決定するかそして方程式系

a) 独自の解決策を持っています。

b) 解決策がない。

c) 無限に多くの解があります。

16.
; 17.
;

次の均一系のすべての解を求めます。

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

例への回答

1.
; 2.
; 3. ￣; 4.

5.
- 任意の数。

6.
、どこ - 任意の数。

7.
; 8.
; 9. ￣; 10. ￣;

11.
、どこ - 任意の数。

12. 、ここでそして - 任意の数字。

13.
; 14.
どこそして - 任意の数字。

15. ￣; 16.a)
; b)
; V)
.

17.a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20.、ここで - 任意の数。

21. 、ここで - 任意の数。

22. 、ここで - 任意の数。

23. 、ここでそして - 任意の数字。

方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。未知数が 3 つある方程式は、数学ではよくあることです。このタイプの方程式を解く方法はかなりたくさんありますが、ほとんどの場合、その大部分はさらに 2 つの方程式/条件で補われます。

解法の選択は、特定の方程式に直接依存します。

システムに 3 つの未知数のうち 2 つしかない場合、このシステムに対する最も便利な解決策は、一部の変数を他の変数で表現し、それらを 3 つの未知数を含む方程式に代入することです。これはすべて、未知数が 1 つだけある常方程式に変換するために行われ、その解は未知数の代わりに代入できる数値を与え、他のすべての未知数についての最終結果が得られます。ある方程式から別の方程式を引くことで解ける連立方程式があります。これは以下で可能ですその場合

式の 1 つに変数/値を乗算できる場合、減算によっていくつかの未知数を減らすことができます。ただし、数値の乗算や減算を行う場合は、式の両側で演算を実行する必要があることに注意してください。

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複雑さを数秒で実現します。ソルバーにデータを入力するだけです。

数字のペアではありません (2 - これを行うには、まずシステム (8) の最初の方程式を考慮します。) (2 + これを行うには、まずシステム (8) の最初の方程式を考慮します。) = 2 + これを行うには、まずシステム (8) の最初の方程式を考慮します。

(9)

p もし

の場合、方程式 (9) は一意の解を持ちます。したがって、次のような場合には、 、システム (7)

p これを行うには、まずシステム (8) の最初の方程式を考慮します。独自のソリューションを持っています

= - 2 の場合、式 (9) は次の形式になります。。したがって、系 (7) の解は次のようになります。 無限集合みんな 数字のペア

ここで、y は任意の数値です。

p これを行うには、まずシステム (8) の最初の方程式を考慮します。= 2 の場合、式 (9) は次の形式になります。

解決策がないということは、そのシステムを意味します (7) 解決策がない.

3 つの未知数における 3 つの線形方程式系

定義7. 3 つの未知数を含む 3 つの線形方程式系 x、y、z は次の形式を持つ方程式系を呼び出します。

どこある 1 , b 1 , c 1 , d 1 , ある 2 , b 2 , c 2 , d 2 , ある 3 , b 3 , c 3 , d 3 – 与えられた数字。

定義8. 連立方程式 (10) では、数値はある 1 , b 1 , c 1 , ある 2 , b 2 , c 2 , ある 3 , b 3 , c 3 呼ばれた未知数の係数、そして数字 d 1 , d 2 , d 3 – 無料会員.

定義9. 連立方程式 (10) を解くことによって 3つの数字の名前を付ける (。ただし、次のことに注意してください。; 数字のペアではありません ; z) , これらをシステム (10) の 3 つの方程式のそれぞれに代入すると、正しい等式が得られます。

例4. 連立方程式を解く

解決。を使用して系 (11) を解きます。未知数を逐次消去する方法.

まずこれを行うには システムの 2 番目と 3 番目の方程式から未知のものを除外します。システム (11) で次の変換を実行することにより、y を取得します。

システムの最初の方程式は変更しないままにしておきます。
2 番目の方程式に最初の方程式を追加し、システムの 2 番目の方程式を結果の合計で置き換えます。
3 番目の方程式から最初の方程式を減算し、システムの 3 番目の方程式を結果として得られる差で置き換えます。

その結果、系 (11) は等価な系に変換されます。

今 システムの 3 番目の方程式から未知数を取り除くシステム (12) で次の変換を実行することにより、x を取得します。

システムの 1 番目と 2 番目の方程式は変更しないままにします。
3 番目の方程式から 2 番目の方程式を減算し、システムの 3 番目の方程式を結果として得られる差で置き換えます。

その結果、系 (12) は等価な系に変換されます。

システムから (13) 私たちは一貫して見つけます

z = - 2 ; 。ただし、次のことに注意してください。 = 1 ; 数字のペアではありません = 2 .

答え。 (1; 2; -2) 。

例5. 連立方程式を解く

解決。このシステムから便利な情報を取得できることに注意してください。結果、システムの 3 つの方程式をすべて追加します。

レッスン内容

2 変数の一次方程式

学童は学校で昼食を食べるのに200ルーブルを持っています。ケーキは 25 ルーブル、コーヒーは 1 杯 10 ルーブルです。 200ルーブルでケーキとコーヒーを何杯買えますか?

ケーキの数を次のように表しましょう。 。ただし、次のことに注意してください。、そしてコーヒーのカップ数 数字のペアではありません。この場合、ケーキのコストは式 25 で表されます。 。ただし、次のことに注意してください。、10 杯分のコーヒーのコスト 数字のペアではありません .

25×—価格 ×ケーキ
10y —価格 yコーヒーカップ

合計金額は200ルーブルでなければなりません。次に、2 つの変数を含む方程式が得られます。 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありません

25。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200

この方程式には根がいくつありますか?

すべては生徒の食欲次第です。彼がケーキ 6 個とコーヒー 5 カップを買う場合、方程式の根は数字 6 と 5 になります。

値 6 と 5 のペアは、方程式 25 の根であると言われています。 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 。 (6; 5) として記述され、最初の数字が変数の値になります。 。ただし、次のことに注意してください。、2番目 - 変数の値 数字のペアではありません .

式 25 を逆にする根は 6 と 5 だけではありません。 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 でアイデンティティになります。希望に応じて、学生は同じ 200 ルーブルでケーキ 4 個とコーヒー 10 杯を購入できます。

この場合、式 25 の根は 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 は値のペア (4; 10) です。

さらに、小学生はコーヒーをまったく買わずに、200ルーブル全額でケーキを買うかもしれません。次に、方程式 25 の根 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 は値 8 と 0 になります

またはその逆、ケーキは買わずに、200 ルーブル全額でコーヒーを買ってください。次に、方程式 25 の根 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 値は 0 と 20 になります

方程式 25 の可能な根をすべてリストしてみましょう。 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 。価値観に同意しましょう 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありません整数の集合に属します。そして、これらの値をゼロ以上とします。

。ただし、次のことに注意してください。∈Z、Y∈ Z;
× ≧ 0, y ≧ 0

これは学生自身にとっても便利です。たとえば、ホールケーキを数個と半分のケーキを購入するよりも、ホールケーキを購入する方が便利です。また、コーヒーをカップ数杯と半分ずつ飲むよりも、カップ全体でコーヒーを飲むほうが便利です。

奇数の場合に注意してください 。ただし、次のことに注意してください。いかなる状況下でも平等を達成することは不可能である 数字のペアではありません。次に、値 。ただし、次のことに注意してください。次の数字は 0、2、4、6、8 になります。 。ただし、次のことに注意してください。簡単に判断できます 数字のペアではありません

したがって、次の値のペアを受け取りました。 (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). これらのペアは式 25 の解または根です。 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200。彼らはこの方程式を恒等式に変えます。

次の形式の方程式 ax + by = c呼ばれた 2 つの変数をもつ一次方程式。この方程式の解または根は値のペアです( ×; y）、それがアイデンティティに変わります。

2 つの変数を含む線形方程式が次の形式で記述される場合にも注意してください。 ax + b y = c 、それから彼らはそれが書かれていると言います 正規の（通常の）形。

2 変数の一部の線形方程式は正準形式に変換できます。

たとえば、次の方程式 2(16。ただし、次のことに注意してください。+ 3y − 4) = 2(12 + 8。ただし、次のことに注意してください。 − 数字のペアではありません) 思い浮かぶことができる ax + by = c。この方程式の両側の括弧を開いて、 32。ただし、次のことに注意してください。 + 6数字のペアではありません − 8 = 24 + 16。ただし、次のことに注意してください。 − 2数字のペアではありません。未知数を含む項を方程式の左側にグループ化し、未知数を含まない項を右側にグループ化します。それから、私たちは得ます 32×− 16。ただし、次のことに注意してください。+ 6数字のペアではありません+ 2数字のペアではありません = 24 + 8 。同様の項を両側に提示すると、式 16 が得られます。 。ただし、次のことに注意してください。+ 8数字のペアではありません= 32. この方程式は次の形式に簡略化されます。 ax + by = cそして正規です。

前に説明した式 25 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 も、正準形式の 2 つの変数を含む線形方程式です。この方程式のパラメータはある , bそして cは、それぞれ値 25、10、および 200 に等しくなります。

実は方程式は ax + by = c無数の解決策があります。方程式を解く 25。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200, 整数のセットでのみその根を探しました。その結果、この方程式を恒等式に変える値のペアがいくつか得られました。しかし、多くの場合有理数方程式25 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 では無限に多くの解が存在します。

新しい値のペアを取得するには、次の値の任意の値を取得する必要があります。 。ただし、次のことに注意してください。、次に表現します 数字のペアではありません。たとえば、変数を考えてみましょう 。ただし、次のことに注意してください。値 7。次に、1 つの変数を含む方程式が得られます。 25×7 + 10数字のペアではありません= 200 その中で表現できるもの 数字のペアではありません

させて 。ただし、次のことに注意してください。= 15。次に、方程式 25。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 は 25 × 15 になります + 10数字のペアではありません= 200. ここから次のことが分かります 数字のペアではありません = −17,5

させて 。ただし、次のことに注意してください。= −3 。次に、方程式 25。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 は 25 × (−3) になります + 10数字のペアではありません= 200. ここから次のことが分かります 数字のペアではありません = −27,5

2 つの変数をもつ 2 つの線形方程式系

方程式については ax + by = c任意の値を何度でも取ることができます 。ただし、次のことに注意してください。の値を見つけます 数字のペアではありません。個別に考えると、そのような方程式には無数の解が存在します。

しかし、変数が 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありませんは 1 つではなく 2 つの方程式で結ばれています。この場合、それらはいわゆる 2 変数の線形方程式系。このような連立方程式は 1 組の値 (言い換えれば「1 つの解」) を持つことができます。

システムにまったく解決策がない場合もあります。線形方程式系には、まれな例外的なケースにおいて無数の解が存在することがあります。

値が次の場合、2 つの線形方程式はシステムを形成します。 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありませんこれらの各式に代入します。

一番最初の方程式 25 に戻りましょう。 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 。この方程式の値のペアの 1 つは (6; 5) のペアでした。これは、200 ルーブルでケーキ 6 個とコーヒー 5 杯が買える場合です。

ペア (6; 5) が方程式 25 の唯一の解となるように問題を定式化しましょう。 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 。これを行うには、同じものを接続する別の方程式を作成しましょう。 。ただし、次のことに注意してください。ケーキと 数字のペアではありませんコーヒーのカップ。

問題の本文を次のように述べます。

「学生はケーキ数個とコーヒー数杯を200ルーブルで買いました。ケーキは 25 ルーブル、コーヒーは 1 杯 10 ルーブルです。ユニットごとのケーキの数がわかっている場合、学生はケーキとコーヒーを何杯購入しましたかより多くの量コーヒー一杯？

最初の方程式はすでにあります。これは式 25 です 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 。次に、条件の方程式を作成しましょう 「ケーキの数はコーヒーのカップ数より一単位多いです」 .

ケーキの数は、 。ただし、次のことに注意してください。、コーヒーのカップ数は 数字のペアではありません。このフレーズは次の方程式を使って書くことができます x−y= 1. この式は、ケーキとコーヒーの差が 1 であることを意味します。

x = y+ 1 。この式は、ケーキの数がコーヒーのカップ数より 1 つ多いことを意味します。したがって、平等を得るには、コーヒーのカップ数に 1 を加えます。これは、最も単純な問題を研究するときに考慮したスケールのモデルを使用すると簡単に理解できます。

2 つの方程式が得られます: 25 。ただし、次のことに注意してください。+ 10数字のペアではありません= 200 および x = y+ 1. 値なので、 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありません、つまり 6 と 5 がこれらの式のそれぞれに含まれており、一緒になってシステムを形成します。このシステムを書き留めてみましょう。方程式が系を形成している場合、方程式は系の符号によって囲まれます。システムシンボルは中括弧です。

このシステムを解決しましょう。これにより、値 6 と 5 にどのように到達するかを確認できます。このようなシステムを解決するには、多くの方法があります。その中で最も人気のあるものを見てみましょう。

置換方法

このメソッドの名前はそれ自体を物語っています。その本質は、変数の 1 つを事前に表現した方程式を別の方程式に代入することです。

私たちのシステムでは何も表現する必要はありません。 2 番目の方程式では 。ただし、次のことに注意してください。 = 数字のペアではありません+ 1 変数 。ただし、次のことに注意してください。すでに表現されています。この変数は次の式と等しくなります 数字のペアではありません+ 1 。次に、変数の代わりにこの式を最初の方程式に代入できます。 。ただし、次のことに注意してください。

式を置き換えた後 数字のペアではありません代わりに最初の方程式に + 1 を加えます 。ただし、次のことに注意してください。、方程式が得られます 25(数字のペアではありません+ 1) + 10数字のペアではありません= 200 。これは変数が 1 つの線形方程式です。この方程式を解くのは非常に簡単です。

変数の値が見つかりました 数字のペアではありません。この値を方程式の 1 つに代入して、値を見つけてみましょう。 。ただし、次のことに注意してください。。このためには、2 番目の式を使用すると便利です。 。ただし、次のことに注意してください。 = 数字のペアではありません+ 1 。値を代入してみましょう 数字のペアではありません

これは、意図したとおり、ペア (6; 5) が連立方程式の解であることを意味します。ペア (6; 5) がシステムを満たしていることを確認します。

例 2

最初の式を代入してみましょう 。ただし、次のことに注意してください。= 2 + 数字のペアではありません 2 番目の式 3 に代入する ×− 2数字のペアではありません= 9。最初の方程式では、変数は 。ただし、次のことに注意してください。式 2 + に等しい 数字のペアではありません。この式を 2 番目の方程式に代入してみましょう。 。ただし、次のことに注意してください。

では値を求めてみましょう 。ただし、次のことに注意してください。。これを行うには、値を代入しましょう 数字のペアではありません最初の方程式に代入する 。ただし、次のことに注意してください。= 2 + 数字のペアではありません

これは、システムの解がペア値 (5; 3) であることを意味します。

例 3。代入で解く次のシステム方程式:

ここでは、前の例とは異なり、変数の 1 つが明示的に表現されていません。

ある式を別の式に代入するには、まずが必要です。

係数が 1 の変数を表現することをお勧めします。変数の係数は 1 です 。ただし、次のことに注意してください。、最初の方程式に含まれています 。ただし、次のことに注意してください。+ 2数字のペアではありません= 11. この変数を表現してみましょう。

変数式の後 。ただし、次のことに注意してください。、私たちのシステムは次の形式になります。

最初の式を 2 番目の式に代入して値を求めてみましょう 数字のペアではありません

代用しましょう 数字のペアではありません 。ただし、次のことに注意してください。

これは、システムの解が値のペア (3; 4) であることを意味します。

もちろん変数を表現することもできます 数字のペアではありません。根っこは変わらないよ。でも、表現するとしたら、 そう、結果はそれほど単純な方程式ではないため、解くのにさらに時間がかかります。次のようになります。

それは次のとおりです。この例では急行 。ただし、次のことに注意してください。表現するよりはるかに便利です 数字のペアではありません .

例 4。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

最初の式で表してみましょう 。ただし、次のことに注意してください。。すると、システムは次のような形式になります。

数字のペアではありません

代用しましょう 数字のペアではありません最初の方程式に代入して求めます 。ただし、次のことに注意してください。。元の式 7 を使用できます。 。ただし、次のことに注意してください。+ 9数字のペアではありません= 8、または変数を表す式を使用します 。ただし、次のことに注意してください。。便利なのでこの式を使用します。

これは、システムの解が値のペア (5; −3) であることを意味します。

加算方法

加算方法は、システムに含まれる式を項ごとに加算することで構成されます。この追加により、1 つの変数を含む新しい方程式が生成されます。そして、そのような方程式を解くのは非常に簡単です。

次の連立方程式を解いてみましょう。

最初の式の左辺と 2 番目の式の左辺を加算してみましょう。そして、最初の式の右辺と 2 番目の式の右辺です。次の等式が得られます。

類似の用語を見てみましょう。

その結果、最も単純な方程式 3 が得られました。 。ただし、次のことに注意してください。= 27 の根は 9 です。値を知る 。ただし、次のことに注意してください。価値を見つけることができます 数字のペアではありません。値を代入してみましょう 。ただし、次のことに注意してください。 2番目の方程式に代入する x−y= 3 。 9を取得します- 数字のペアではありません= 3 。ここから 数字のペアではありません= 6 .

これは、システムの解が値のペア (9; 6) であることを意味します。

例 2

最初の式の左辺と 2 番目の式の左辺を加算してみましょう。そして、最初の式の右辺と 2 番目の式の右辺です。結果として得られる等価性では、同様の項を提示します。

その結果、最も単純な方程式 5 が得られました。 。ただし、次のことに注意してください。= 20、その根は 4. 値を知る 。ただし、次のことに注意してください。価値を見つけることができます 数字のペアではありません。値を代入してみましょう 。ただし、次のことに注意してください。最初の式 2 に代入する x+y= 11. 8+を取得しましょう 数字のペアではありません= 11. ここから 数字のペアではありません= 3 .

これは、システムの解が値のペアであることを意味します(4;3)

追加処理については詳細な説明を省略する。それは精神的に行われなければなりません。加算する場合、両方の方程式を標準形式に変換する必要があります。つまり、ちなみに ac + by = c .

考慮した例から、方程式を追加する主な目的は、変数の 1 つを削除することであることは明らかです。ただし、加算法を使用して連立方程式をすぐに解くことが常に可能であるとは限りません。ほとんどの場合、システムは最初に、このシステムに含まれる方程式を追加できる形式になります。

たとえば、システム足し算ですぐに解けます。両方の方程式を追加すると、項は 数字のペアではありませんそして −yそれらの合計がゼロになるため消滅します。その結果、最も単純な方程式 11 が形成されます。 。ただし、次のことに注意してください。= 22、その根は 2 です。これにより、次のことが求められます。 数字のペアではありません 5に等しい。

そして方程式系変数の 1 つが消えるわけではないため、加算法をすぐに解決することはできません。加算すると式 8 が得られます。 。ただし、次のことに注意してください。+ 数字のペアではありません= 28、これには無限の数の解があります。

方程式の両辺を同じ数で乗算または除算すると、ゼロに等しいとすると、これと等価な方程式が得られます。この規則は、2 つの変数を含む線形方程式系にも当てはまります。方程式の一方 (または両方の方程式) には任意の数を掛けることができます。結果は同等のシステムとなり、そのルートは前のシステムと一致します。

小学生がケーキとコーヒーを何杯買ったかを記述した最初のシステムに戻りましょう。このシステムの解決策は、値のペア (6; 5) でした。

このシステムに含まれる両方の方程式にいくつかの数値を掛けてみましょう。最初の式に 2 を掛け、2 番目の式に 3 を掛けたとします。

その結果、こんなシステムが出来上がりました
このシステムの解決策は依然として値のペア (6; 5) です。

これは、システムに含まれる方程式を加算法の適用に適した形式に縮小できることを意味します。

システムに戻りましょう、加算法では解決できませんでした。

最初の式に 6 を掛け、2 番目の式に -2 を掛けます。

次に、次のシステムが得られます。

この系に含まれる方程式を合計してみましょう。コンポーネントの追加 12 。ただし、次のことに注意してください。と -12 。ただし、次のことに注意してください。結果は 0、加算は 18 数字のペアではありませんそして4 数字のペアではありません 22を与えます 数字のペアではありません、108 と -20 を加算すると 88 になります。すると、式 22 が得られます。 数字のペアではありません= 88、ここから 数字のペアではありません = 4 .

最初は頭の中で方程式を追加するのが難しい場合は、最初の方程式の左辺が 2 番目の方程式の左辺とどのように加算されるか、最初の方程式の右側と次の方程式の右側がどのように加算されるかを書き留めることができます。 2 番目の方程式:

変数の値が分かると、 数字のペアではありません 4に等しい場合、値を見つけることができます 。ただし、次のことに注意してください。。代用しましょう 数字のペアではありません方程式の 1 つ、たとえば最初の方程式 2 に代入します。 。ただし、次のことに注意してください。+ 3数字のペアではありません= 18。次に、変数 2 が 1 つある方程式が得られます。 。ただし、次のことに注意してください。+ 12 = 18。 12 を右側に移動し、符号を変えて 2 を取得します。 。ただし、次のことに注意してください。= 6、ここから 。ただし、次のことに注意してください。 = 3 .

例 4。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

2 番目の方程式に −1 を掛けてみましょう。この場合、システムは次の形式になります。

両方の方程式を足してみましょう。コンポーネントの追加 。ただし、次のことに注意してください。そして −x結果は 0、加算は 5 数字のペアではありませんそして3 数字のペアではありません 8を与えます 数字のペアではありません、7 と 1 を加算すると 8 が得られます。結果は式 8 になります。 数字のペアではありません= 8 のルートは 1 です。値がわかっていること 数字のペアではありません 1に等しい場合、値を見つけることができます 。ただし、次のことに注意してください。 .

代用しましょう 数字のペアではありません最初の方程式に代入すると、次のようになります。 。ただし、次のことに注意してください。+ 5 = 7 したがって、 。ただし、次のことに注意してください。= 2

例5。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

同じ変数を含む用語は上下に配置することが望ましい。したがって、2 番目の方程式の項 5 数字のペアではありませんおよび -2 。ただし、次のことに注意してください。場所を交換しましょう。その結果、システムは次のような形式になります。

2 番目の方程式に 3 を掛けてみましょう。すると、システムは次の形式になります。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。加算の結果、式 8 が得られます。 数字のペアではありません= 16、その根は 2。

代用しましょう 数字のペアではありません最初の方程式に代入すると、6 が得られます。 。ただし、次のことに注意してください。− 14 = 40。符号を変えて項 -14 を右側に移動し、6 を取得しましょう。 。ただし、次のことに注意してください。= 54 。ここから 。ただし、次のことに注意してください。= 9.

例6。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

分数を捨ててみましょう。最初の式に 36 を掛け、2 番目の式に 12 を掛けます。

結果として得られるシステムでは最初の方程式は -5 倍、2 番目の方程式は 8 倍できます。

結果として得られるシステムの方程式を加算してみましょう。次に、最も単純な方程式 −13 が得られます。 数字のペアではありません= −156 。ここから 数字のペアではありません= 12。代用しましょう 数字のペアではありません最初の方程式に代入して求めます 。ただし、次のことに注意してください。

例 7。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

両方の方程式を正規形にしてみましょう。ここで、両方の方程式に比例の法則を適用すると便利です。最初の方程式の右辺がとして表され、2 番目の方程式の右辺がとして表される場合、システムは次の形式になります。

割合があります。その極値と中間項を掛けてみましょう。すると、システムは次のような形式になります。

最初の方程式に −3 を掛けて、2 番目の方程式の括弧を開けてみましょう。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。これらの方程式を追加した結果、両側がゼロになる等式が得られます。

このシステムには無数の解決策があることがわかりました。

しかし、空から任意の値をそのまま受け取ることはできません。 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありません。いずれかの値を指定でき、もう一方の値は指定した値に応じて決定されます。たとえば、 。ただし、次のことに注意してください。= 2 。この値をシステムに代入してみましょう。

方程式の 1 つを解いた結果、次の値が得られます。 数字のペアではありません、これは両方の方程式を満たします。

結果として得られる値のペア (2; −2) はシステムを満たします。

別の値のペアを見つけてみましょう。させて 。ただし、次のことに注意してください。= 4. この値をシステムに代入してみましょう。

目で見てその価値がわかります 数字のペアではありませんゼロに等しい。次に、システムを満たす値のペア (4; 0) を取得します。

例8。加算法を使用して次の連立方程式を解きます。

最初の式に 6 を掛け、2 番目の式に 12 を掛けます。

残っているものを書き直してみましょう:

最初の式に −1 を掛けてみましょう。すると、システムは次のような形式になります。

次に、両方の方程式を追加してみましょう。加算の結果、式 6 が形成されます。 b= 48、その根は 8。 b最初の方程式に代入して求めますある

3 つの変数をもつ線形方程式系

3 つの変数を含む線形方程式には、係数を持つ 3 つの変数と切片項が含まれます。正規形式では次のように記述できます。

ax + by + cz = d

この方程式には無数の解があります。 2 つの変数を与えるさまざまな意味、3 番目の値が見つかります。この場合の解決策は、値の 3 倍になります ( ×; y; z) 方程式を恒等式に変換します。

変数の場合 x、y、zが 3 つの方程式で相互接続されると、3 つの変数を含む 3 つの線形方程式からなる系が形成されます。このようなシステムを解くには、2 つの変数を含む線形方程式に適用するのと同じ方法、つまり置換法と加算法を使用できます。

例1。置換法を使用して次の連立方程式を解きます。

3番目の式で表してみましょう 。ただし、次のことに注意してください。。すると、システムは次のような形式になります。

では、置換をしてみましょう。変数 。ただし、次のことに注意してください。式と等しい 3 − 2数字のペアではありません − 2z 。この式を最初と 2 番目の式に代入してみましょう。

両方の方程式の括弧を開いて、同様の項を提示してみましょう。

2 つの変数をもつ線形方程式系に到達しました。このような場合には加算方式を利用すると便利です。その結果、変数は 数字のペアではありませんが消えて変数の値を見つけることができます z

では値を求めてみましょう 数字のペアではありません。これを行うには、次の方程式を使用すると便利です- 数字のペアではありません+ z= 4. 値を代入します。 z

では値を求めてみましょう 。ただし、次のことに注意してください。。これを行うには、次の方程式を使用すると便利です 。ただし、次のことに注意してください。= 3 − 2数字のペアではありません − 2z 。値を代入してみましょう yそして z

したがって、値のトリプル (3; −2; 2) がシステムの解となります。チェックすることで、これらの値がシステムを満たしていることを確認します。

例 2。加算法を使用して系を解く

最初の方程式と −2 を掛けた 2 番目の方程式を加算してみましょう。

2 番目の方程式に −2 を掛けると、次の形式になります。 −6。ただし、次のことに注意してください。+ 6y − 4z = −4 。これを最初の方程式に追加してみましょう。

基本的な変換の結果、変数の値が決定されたことがわかります。 。ただし、次のことに注意してください。。それは 1 に等しいです。

メインシステムに戻りましょう。 2 番目の方程式と 3 番目の方程式を加算し、-1 を掛けてみましょう。 3 番目の方程式に −1 を掛けると、次の形式になります。 −4。ただし、次のことに注意してください。 + 5数字のペアではありません − 2z = −1 。次に、これを 2 番目の方程式に追加してみましょう。

方程式が分かりました ×− 2数字のペアではありません= −1 。値を代入してみましょう 。ただし、次のことに注意してください。以前に見つけたものです。その後、値を決定できます 数字のペアではありません

今ではその意味が分かりました 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありません。これにより、値を決定できるようになります z。システムに含まれる方程式の 1 つを使用してみましょう。

したがって、値のトリプル (1; 1; 1) がシステムの解決策となります。チェックすることで、これらの値がシステムを満たしていることを確認します。

連立一次方程式の構成に関する問題

連立方程式を構成するタスクは、いくつかの変数を入力することで解決されます。次に、問題の条件に基づいて方程式が作成されます。コンパイルされた方程式からシステムを形成し、それを解きます。システムを解いた後、その解が問題の条件を満たしているかどうかを確認する必要があります。

問題 1。ヴォルガの車が街から集団農場に向かって走った。彼女は最初の道よりも 5 km 短い別の道を通って戻りました。車は往復で合計35kmを走行しました。それぞれの道の長さは何キロですか?

解決

させて ×—最初の道路の長さ、 数字のペアではありません- 秒の長さ。車が往復 35 km 移動した場合、最初の方程式は次のように書くことができます。 。ただし、次のことに注意してください。+ 数字のペアではありません= 35。この式は、両方の道路の長さの合計を表します。

車は最初より５キロ短い道を戻ったという。次に、2 番目の方程式は次のように書くことができます。 。ただし、次のことに注意してください。− 数字のペアではありません= 5。この式は、道路の長さの差が 5 km であることを示しています。

あるいは、2 番目の方程式は次のように書くこともできます。 。ただし、次のことに注意してください。= 数字のペアではありません+5。この方程式を使用します。

なぜなら変数は 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありません両方の方程式で同じ数値を表す場合、それらからシステムを形成できます。

以前に研究した方法のいくつかを使用して、このシステムを解いてみましょう。この場合、2 番目の方程式では変数が 。ただし、次のことに注意してください。すでに表現されています。

2 番目の式を最初の式に代入して求めます。 数字のペアではありません

見つかった値を代入してみましょう 数字のペアではありません 2番目の方程式では 。ただし、次のことに注意してください。= 数字のペアではありません+ 5 すれば見つかります ×

最初の道路の長さは変数によって示されました。 。ただし、次のことに注意してください。。今、私たちはその意味を見つけました。変数 ×これは、最初の道路の長さが 20 km であることを意味します。

そして、2番目の道の長さは次のように示されました。 数字のペアではありません。この変数の値は 15 です。これは、2 番目の道路の長さが 15 km であることを意味します。

確認してみましょう。まず、システムが正しく解決されていることを確認しましょう。

次に、解 (20; 15) が問題の条件を満たすかどうかを確認してみましょう。

車は往復で３５キロを走行したという。両方の道路の長さを加算し、解 (20; 15) が次を満たすことを確認します。この状態: 20km + 15km = 35km

次の条件: 車は最初の道より5km短い別の道を戻った。 。 15 km は 20 km より 5 km 短いため、解 (20; 15) もこの条件を満たすことがわかります。 20km − 15km = 5km

システムを構成するときは、このシステムに含まれるすべての方程式で変数が同じ数値を表すことが重要です。

したがって、私たちのシステムには 2 つの方程式が含まれています。これらの方程式には変数が含まれます 。ただし、次のことに注意してください。そして 数字のペアではありませんこれらは両方の方程式で同じ数字、つまり道路の長さ 20 km と 15 km を表します。

問題 2。ナラとマツの枕木がプラットフォームに積み込まれ、合計 300 本の枕木が積み込まれました。すべてのオーク枕木はすべての松枕木よりも 1 トン軽いことが知られています。各オーク枕木が 46 kg、各松枕木が 28 kg である場合、オーク枕木と松枕木がそれぞれ何本あったかを調べます。

解決

させて 。ただし、次のことに注意してください。オークと 数字のペアではありません松枕木がプラットホームに積み込まれていました。合計 300 人の枕木がある場合、最初の方程式は次のように書くことができます。 x+y = 300 .

すべてのオーク材の枕木の重さは 46 。ただし、次のことに注意してください。 kg、松材の重さは28でした。 数字のペアではありません kg。オーク枕木は松枕木よりも 1 トン軽いため、2 番目の方程式は次のように書くことができます。 28y − 46。ただし、次のことに注意してください。= 1000 。この方程式は、オーク枕木と松枕木の質量の差が 1000 kg であることを示しています。

オークやマツの枕木の質量はキログラムで測定されるため、トンはキログラムに変換されました。

その結果、システムを形成する 2 つの方程式が得られます。