小数による除算。小数、定義、表記、例、小数を使った演算

数学-電卓-オンライン v.1.0

電卓は、加算、減算、乗算、除算、小数の処理、ルート抽出、べき乗、パーセント計算、その他の演算を実行します。

解決：

数学電卓の使い方

鍵	指定	説明
5	0～9の数字	アラビア数字。自然整数、ゼロを入力します。負の整数を取得するには、+/- キーを押す必要があります。
.	ピリオド（カンマ）	小数部を示す区切り文字。小数点 (カンマ) の前に数値がない場合、電卓は小数点の前に自動的にゼロを代入します。例: .5 - 0.5 が書き込まれます。
+	プラス記号	数値の加算（整数、小数）
-	マイナス記号	数値の引き算（整数、小数）
÷	区切り記号	数値の除算（整数、小数）
×	乗算記号	数値の乗算 (整数、小数)
√	根	数値の根を抽出します。もう一度「ルート」ボタンを押すと、結果のルートが計算されます。例: 16 のルート = 4; 4 の根 = 2
×2	二乗	数値を二乗します。もう一度「二乗」ボタンを押すと、結果は二乗されます。例: square 2 = 4; 平方 4 = 16
1/x	分数	小数点で出力します。分子は 1、分母は入力された数値です
%	パーセント	数値のパーセンテージを取得します。作業するには、パーセンテージを計算する数値、符号 (プラス、マイナス、除算、乗算)、数値形式でのパーセント数、「%」ボタンを入力する必要があります。
(	開き括弧	計算の優先順位を指定するための開き括弧。閉じ括弧が必要です。例: (2+3)*2=10
)	閉じ括弧	計算の優先順位を指定する閉じ括弧。開き括弧が必要です
±	プラスマイナス	符号を反転します
=	等しい	解決策の結果を表示します。また、計算機の上の「ソリューション」フィールドには、途中の計算と結果が表示されます。
←	キャラクターを削除する	最後の文字を削除します
と	リセット	リセットボタン。電卓を位置「0」に完全にリセットします。

例を使用したオンライン計算機のアルゴリズム

追加。

自然整数の加算 (5 + 7 = 12)

ホールナチュラルと負の数 { 5 + (-2) = 3 }

小数の足し算小数 { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

引き算。

自然整数の減算 ( 7 - 5 = 2 )

自然数と負の整数の減算 ( 5 - (-2) = 7 )

小数の減算 ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

乗算。

自然整数の積 (3 * 7 = 21)

自然数と負の整数の積 ( 5 * (-3) = -15 )

小数の積 ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

分割。

自然整数の除算 (27 / 3 = 9)

自然数と負の整数の除算 (15 / (-3) = -5)

小数の除算 (6.2 / 2 = 3.1)

数値の根を抽出します。

整数のルートの抽出 (root(9) = 3)

小数の根の抽出 (root(2.5) = 1.58)

数値の合計の根を抽出する (root(56 + 25) = 9)

数値の差の根を抽出する (根 (32 – 7) = 5)

数値を二乗します。

整数の 2 乗 ( (3) 2 = 9 )

小数の二乗 ((2,2)2 = 4.84)

小数への変換。

数値のパーセンテージを計算する

数値 230 を 15% 増やします ( 230 + 230 * 0.15 = 264.5 )

数値 510 を 35% 削減します ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5 )

数値 140 の 18% は (140 * 0.18 = 25.2) です。

この記事の内容は、小数。ここで対処します 10進数表記分数、小数の概念を紹介し、小数の例を示します。次に、小数の桁と桁の名前について説明します。この後、無限小数分数に焦点を当て、周期分数と非周期分数について説明します。次に、小数を使った基本的な演算を列挙します。結論として、座標ビーム上の小数の位置を確立しましょう。

ページナビゲーション。

小数の 10 進表記

小数の読み方

小数の読み方のルールについて少しお話しましょう。

小数、正しいものに対応します公分数、これらの通常の分数と同じ方法で読み取られ、「ゼロの整数」だけが最初に追加されます。たとえば、小数部 0.12 は公分数 12/100 (「12/100」と読みます) に対応するため、0.12 は「0.12/1000」と読み取られます。

に対応する小数部分帯分数、これらの帯分数とまったく同じように読み取れます。たとえば、小数部 56.002 は帯分数に対応するため、小数部 56.002 は「1000 分の 56 ポイント 2 」と読み取られます。

小数点での桁数

小数の分数を書くとき、および自然数を書くとき、各桁の意味はその位置によって異なります。実際、小数部 0.3 の数字 3 は 10 分の 3、小数部 0.0003 - 10,000 分の 3、および小数部 30,000.152 - 10,000 分の 3 を意味します。それで私たちはについて話すことができます 小数点以下の桁数、自然数の桁についても同様です。

小数点以下の桁名小数点自然数の数字の名前と完全に一致します。また、小数点以下の桁名は次の表で確認できます。

たとえば、小数部 37.051 では、数字 3 は 10 の位、7 は 1 の位、0 は 10 の位、5 は 100 の位、1 は 1000 の位になります。

小数部の桁も優先順位が異なります。小数を書くときに左から右に桁から桁へ移動する場合、次のようになります。先輩に ジュニアランク。たとえば、百の位は十の位よりも古く、百万の位は百の位よりも低くなります。与えられた最後の小数では、主桁と副桁について話すことができます。たとえば、小数の場合は 604.9387 シニア（最高位）その場所は百の位であり、 ジュニア（最下位）- 10,000 分の 1 桁。

小数の場合は、数字への展開が行われます。これは、自然数の桁への展開に似ています。たとえば、45.6072 の小数点以下の桁への展開は次のようになります: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002。また、小数を数字に分解した加算の特性により、この小数の他の表現、たとえば 45.6072=45+0.6072、45.6072=40.6+5.007+0.0002、または 45.6072= 45.0072+ に進むことができます。 0.6。

終了小数点

ここまでは、小数点以下の桁数が有限である小数部についてのみ説明してきました。このような分数は有限小数と呼ばれます。

意味。

終了小数点- これらは小数であり、レコードには有限数の文字 (桁) が含まれます。

最終的な小数の例としては、0.317、3.5、51.1020304958、230,032.45 があります。

ただし、すべての分数を最終的な小数として表現できるわけではありません。たとえば、分数 5/13 は、分母 10、100、... のいずれかの等しい分数で置き換えることはできないため、最終的な小数に変換することはできません。これについては理論セクションで、普通の分数を小数に変換することで詳しく説明します。

無限小数: 周期分数と非周期分数

小数点の後に小数を記述する場合、桁数が無限になる可能性を考慮することができます。この場合、いわゆる無限小数を考えることになります。

意味。

無限小数- これらは、無限の桁数を含む小数です。

無限の小数を完全な形式で書き記すことができないことは明らかであるため、彼らの記述では、小数点以下の特定の有限桁数に限定し、無限に続く数字のシーケンスを示す省略記号を付けます。以下に無限小数の例をいくつか示します: 0.143940932…、3.1415935432…、153.02003004005…、2.111111111…、69.74152152152…。

最後の 2 つの無限小数をよく見ると、分数 2.111111111... では無限に繰り返される数字 1 がはっきりと見え、分数 69.74152152152... では、小数点第 3 位から始まる一連の繰り返しの数字が見えます。 1、5、2がはっきりと見えます。このような無限小数は周期的と呼ばれます。

意味。

周期小数(または単に 周期分数) は無限の小数であり、その記録では、特定の小数点から始まり、ある数値または数値のグループが無限に繰り返されます。これは、と呼ばれます。 分数の周期.

たとえば、周期的な分数 2.111111111... の周期は数字 1 で、分数 69.74152152152... の周期は 152 形式の数字のグループです。

無限の周期的な小数の場合、特殊な表記形式が採用されます。簡潔にするために、ピリオドを一度書き留めて括弧で囲むことに同意しました。たとえば、周期分数 2.111111111... は 2,(1) と記述され、周期分数 69.74152152152... は 69.74(152) と記述されます。

同じ周期小数部に異なる周期を指定できることに注意してください。たとえば、周期小数分数 0.73333... は、周期 3 の分数 0.7(3) とみなすことができ、また、周期 33 の分数 0.7(33) としても考えることができ、以下同様に 0.7(333) とみなすことができます。 0.7 (3333), ... また、周期分数 0.73333 ... 0.733(3) や 0.73(333) などを調べることもできます。ここでは、あいまいさと矛盾を避けるために、小数点に最も近い位置から始まる、考えられるすべての繰り返し数字のシーケンスの中で最も短いものを小数の周期として考えることに同意します。つまり、小数部 0.73333... の周期を 3 という 1 桁の並びとみなし、小数点以下 2 桁目、つまり 0.73333...=0.7(3) から周期が始まります。別の例: 周期分数 4.7412121212... の周期は 12 で、周期は小数点以下 3 桁目、つまり 4.7412121212...=4.74(12) から始まります。

無限小数周期分数は、分母に以下が含まれる普通分数を小数に変換することによって得られます。素因数、2や5とは異なります。

ここで、周期 9 の周期分数について言及する価値があります。そのような分数の例を示します: 6.43(9) 、 27,(9) 。これらの分数は別の表記法です周期分数通常、これらは周期 0 の周期分数に置き換えられます。これを行うには、期間 9 が期間 0 に置き換えられ、次に高い桁の値が 1 ずつ増加します。たとえば、7.24(9) 形式の周期 9 の分数は、7.25(0) 形式の周期 0 の周期分数、または等しい最終小数部 7.25 に置き換えられます。別の例: 4,(9)=5,(0)=5。周期 9 の分数とそれに対応する周期 0 の分数が等しいことは、これらの小数を等しい通常の分数に置き換えることで簡単に確立されます。

最後に、無限に繰り返される一連の数字を含まない無限小数を詳しく見てみましょう。それらは非周期的と呼ばれます。

意味。

非循環小数(または単に 非周期分数) はピリオドのない無限小数です。

非周期分数は周期分数と同様の形式を持つ場合があります。たとえば、8.02002000200002... は非周期分数です。このような場合、特に注意して違いに気づく必要があります。

非周期分数は通常の分数に変換されないことに注意してください。無限の非周期小数は無理数を表します。

小数を使った演算

小数を使った演算の 1 つは比較であり、基本的な 4 つの算術関数も定義されています。 小数を使った演算: 加算、減算、乗算、除算。それぞれのアクションを小数で個別に考えてみましょう。

小数の比較基本的に、比較される小数に対応する普通の分数の比較に基づいています。ただし、小数を普通の分数に変換するのはかなり手間のかかる処理であり、無限の非周期的な分数は普通の分数として表すことができないため、小数の位ごとの比較を使用すると便利です。小数の桁ごとの比較は、自然数の比較に似ています。さらに詳しい情報については、小数の比較、ルール、例、解決策の記事を参照することをお勧めします。

次のステップに進みましょう - 小数の乗算。有限小数の乗算は、小数の減算と同様に実行され、自然数の列による乗算のルール、例、解決策が示されています。周期分数の場合、乗算は通常の分数の乗算に還元できます。次に、無限の非周期小数の乗算は、四捨五入後の有限の小数の乗算に変換されます。さらに詳しく学習するには、小数の掛け算、ルール、例、解決策などの記事の内容を参照することをお勧めします。

座標線上の小数

ポイントと小数の間には 1 対 1 の対応関係があります。

与えられた小数に対応する座標線上の点がどのように構築されるかを理解してみましょう。

有限小数と無限周期小数を等しい常分数に置き換えて、対応する常分数を座標線上に構築できます。たとえば、小数部 1.4 は公分数 14/10 に対応するため、座標 1.4 の点は、単位セグメントの 10 分の 1 に等しい 14 セグメントだけ原点から正の方向に削除されます。

小数部は、指定された小数部を数字に分解することから始めて、座標線上にマークできます。たとえば、16.3007=16+0.3+0.0007 であるため、座標 16.3007 の点を構築する必要があるとします。この点原点から 16 個の単位セグメント、単位セグメントの 10 分の 1 に等しい長さの 3 個のセグメント、および単位セグメントの 10,000 分の 1 に等しい長さの 7 個の単位セグメントを順番にレイオフすることで、そこに到達できます。

この構築方法 10進数座標線上で無限小数に対応する点に好きなだけ近づけることができます。

場合によっては、無限小数に対応する点を正確にプロットできることがあります。例えば、とすると、この無限小数 1.41421... は、座標原点から一辺が 1 単位セグメントの正方形の対角線の長さだけ離れた座標線上の点に対応します。

座標線上の特定の点に対応する小数を取得する逆のプロセスは、いわゆる セグメントの小数単位の測定。それがどのように行われるかを見てみましょう。

私たちのタスクは、原点から座標線上の特定の点に到達すること (または、到達できない場合は無限に近づくこと) であるとします。セグメントを 10 進数で測定すると、原点から任意の数の単位セグメント、次に単位の 10 分の 1 に等しい長さのセグメント、次に単位の 100 分の 1 に等しい長さのセグメントなどを順番に配置できます。取っておいた各長さのセグメントの数を記録することにより、座標線上の特定の点に対応する小数を取得します。

たとえば、上図の点 M に到達するには、1 単位セグメントと 4 単位のセグメント (長さは単位の 10 分の 1 に等しい) を確保する必要があります。したがって、点 M は小数の 1.4 に対応します。

小数測定の過程では到達できない座標線の点が無限の小数に対応していることは明らかです。

参考文献。

数学：教科書 5年生用。一般教養機関/N. Ya. Vilenkin、V. I. Zhokhov、A. S. Chesnokov、S. I. Shvartsburd。 - 第 21 版、消去されました。 - M.: Mnemosyne、2007。 - 280 ページ: 病気。 ISBN 5-346-00699-0。
数学。 6年生：教育。一般教育用機関 / [N. そう、ヴィレンキンら]。 - 第 22 版、改訂版。 - M.: Mnemosyne、2008. - 288 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-00897-2。
代数：教科書 8年生用。一般教養機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。編集者 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2008. - 271 p. ：病気。 - ISBN 978-5-09-019243-9。
グセフ V. A.、モルドコビッチ A. G.数学（専門学校入学者向けマニュアル）：Proc. 手当。-M。より高い学校、1984.-351 ページ、病気。

算術で見られる多くの分数のうち、分母に 10、100、1000 が含まれる分数 (一般的には 10 の累乗) は特別な注意に値します。これらの分数には特別な名前と表記法があります。

小数とは、分母が 10 の累乗である任意の分数です。

小数部の例:

そもそもなぜそのような部分を分離する必要があったのでしょうか? なぜ独自の記録フォームが必要なのでしょうか? これには少なくとも 3 つの理由があります。

小数のほうが比較が簡単です。覚えておいてください: 通常の分数を比較するには、それらを互いに引き算する必要があり、特に分数を約分する必要があります。共通点。 10 進数では、このようなことは何も必要ありません。
計算を削減します。小数は独自のルールに従って加算と乗算を行うため、少し練習すれば、通常の分数よりもはるかに速く操作できるようになります。
録音のしやすさ。通常の分数とは異なり、小数は明確さを失うことなく 1 行に記述されます。

ほとんどの電卓では、答えが小数で表示されます。場合によっては、記録フォーマットが異なると問題が発生する可能性があります。たとえば、店内で 2/3 ルーブルの小銭を要求したらどうなるでしょうか :)

小数の書き方のルール

小数の主な利点は、便利で視覚的に表記できることです。つまり:

10 進表記は、小数の分数を記述する形式です。全体分数と分数は通常のピリオドまたはカンマで区切られます。この場合、区切り文字（ピリオドまたはカンマ）そのものを小数点と呼びます。

たとえば、0.3 (「ゼロ点、10 分の 3」と読みます); 7.25 (整数の 7、100 分の 25); 3.049 (全体の 3、1000 分の 49)。すべての例は前の定義から取得されています。

文章では、通常、カンマが小数点として使用されます。ここだけでなく、サイト全体でもカンマが使用されます。

この形式で任意の小数を書き込むには、次の 3 つの簡単な手順に従う必要があります。

分子は別に書きます。
分母にゼロがある数だけ小数点を左にシフトします。最初は小数点がすべての桁の右側にあると仮定します。
小数点が移動し、その後のエントリの末尾にゼロがある場合は、取り消し線を引く必要があります。

2 番目のステップでは、分子にシフトを完了するのに十分な桁がないことが起こります。この場合、欠落している位置はゼロで埋められます。そして一般に、健康に害を及ぼすことなく、任意の数字の左側に任意の数のゼロを割り当てることができます。醜いですが、時には便利です。

一見すると、このアルゴリズムは非常に複雑に見えるかもしれません。実際、すべては非常に簡単です。少し練習するだけです。例を見てみましょう。

タスク。各分数について、その 10 進表記を示します。

最初の分数の分子は 73 です。小数点を 1 符号分シフトします (分母が 10 であるため) - 7.3 が得られます。

2 番目の分数の分子: 9。小数点を 2 桁シフトします (分母が 100 なので) - 0.09 が得られます。「.09」のような奇妙なエントリを残さないように、小数点の後にゼロを 1 つ追加し、その前にゼロを 1 つ追加する必要がありました。

3 番目の分数の分子: 10029。小数点を 3 桁シフトします (分母が 1000 であるため) - 10.029 が得られます。

最後の分数の分子: 10500。ここでも小数点を 3 桁シフトします。10,500 が得られます。数値の末尾に余分なゼロがあります。それらを取り消すと 10.5 になります。

最後の 2 つの例、数値 10.029 と 10.5 に注目してください。ルールによれば、最後の例で行ったように、右側のゼロは取り消し線で消す必要があります。ただし、数値内のゼロ (他の数値で囲まれている) を使用してこれを実行しないでください。そのため、1.29 と 1.5 ではなく、10.029 と 10.5 が得られました。

そこで、小数の定義と書き方を理解しました。ここで、普通の分数を小数に変換する方法、またはその逆の方法を見てみましょう。

分数から小数への変換

a /b という形式の単純な分数を考えてみましょう。分数の基本的な性質を利用して、分子と分母に底が 10 の累乗になるような数値を掛けることができます。ただし、その前に、次の内容をお読みください。

10 のべき乗に減らすことができない分母があります。このような分数は、以下で説明するアルゴリズムを使用して扱うことができないため、認識する方法を学びましょう。

そういうことです。さて、分母が10乗になるかどうかはどうやってわかるのでしょうか？

答えは簡単です。分母を素因数に因数分解します。展開に係数 2 と 5 のみが含まれる場合、この数は 10 のべき乗に減らすことができます。他の数字 (3、7、11 など) がある場合は、10 の累乗のことは忘れてかまいません。

タスク。指定された分数が小数として表現できるかどうかを確認します。

これらの分数の分母を書き出して因数分解してみましょう。

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - 数値 2 と 5 のみが存在するため、分数は小数として表現できます。

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - 「禁止された」因数 3 があります。分数は小数として表すことができません。

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. すべてが順調です。数字の 2 と 5 以外には何もありません。分数は小数として表現できます。

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. 因数 3 が再び「表面化」しました。小数として表すことはできません。

分母を整理しました。次に、小数に移動するためのアルゴリズム全体を見てみましょう。

元の分数の分母を因数分解し、それが一般に小数として表現できることを確認します。それらの。展開に係数 2 と 5 のみが存在することを確認します。そうでない場合、アルゴリズムは機能しません。
展開内に 2 と 5 がいくつあるか数えてください (他の数字は存在しないことを覚えていますか?)。 2 と 5 の数が等しくなるように追加の係数を選択します。
実際には、元の分数の分子と分母にこの係数を掛けます。目的の表現が得られます。分母は10の累乗になります。

もちろん、追加の要素も 2 と 5 にのみ分解されます。同時に、生活を複雑にしないためには、可能なすべての乗数の中で最小の乗数を選択する必要があります。

そしてもう 1 つ、元の分数に整数部分が含まれている場合は、必ずこの分数を仮分数に変換してから、説明されているアルゴリズムを適用してください。

タスク。これらの分数を小数に変換します。

最初の分数の分母を因数分解してみましょう: 4 = 2 · 2 = 2 2 。したがって、分数は小数として表すことができます。展開には 2 が 2 つ含まれ、5 が 1 つ含まれていないため、追加の因数は 5 2 = 25 になります。これにより、2 と 5 の数は等しくなります。我々は持っています：

次に、2 番目の部分を見てみましょう。これを行うには、24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 に注意してください。展開には 3 倍が含まれるため、分数は 10 進数として表すことができません。

最後の 2 つの分数の分母はそれぞれ 5 (素数) と 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 です。どこにでも 2 と 5 だけが存在します。さらに、最初のケースでは、「完全な幸福のために」係数 2 では十分ではありませんが、2 番目のケースでは係数 5 が必要です。次のようになります。

小数から公分数への変換

10 進数から通常の表記法への逆変換は、はるかに簡単です。ここには制限や特別なチェックがないため、いつでも小数点以下の分数を古典的な「2 階建て」の分数に変換できます。

変換アルゴリズムは次のとおりです。

小数点と小数点の左側にあるすべてのゼロを取り消します。これは、目的の分数の分子になります。重要なことは、やりすぎないことと、他の数字に囲まれた内側のゼロを取り消し線で消さないことです。
小数点以下の小数点以下の桁数を数えます。数字の 1 を取得し、数えた文字の数と同じだけ右側にゼロを追加します。これが分母になります。
実際に、分子と分母を求めた分数を書き留めてください。可能であれば、減らしてください。元の分数に整数部分が含まれていた場合、不適切な分数が得られるため、その後の計算に非常に便利です。

タスク。小数を普通の分数に変換: 0.008; 3.107; 2.25; 2008年7月。

左側のゼロとコンマを取り消すと、次の数値が得られます (これらが分子になります)。 3107; 225; 72008。

最初と 2 番目の分数では小数点以下 3 桁、2 番目では 2 桁、3 番目では小数点以下 4 桁になります。分母は 1000 です。 1000; 100; 10000。

最後に、分子と分母を普通の分数に結合しましょう。

例からわかるように、得られる割合は非常に多くの場合削減できます。もう一度言っておきますが、小数点以下の分数は普通の分数として表すことができます。逆変換は常に可能であるとは限りません。

私。 数値を小数で割るには、被除数と除数のカンマを、除数の小数点以下の桁数だけ右に移動してから、自然数で割る必要があります。

プライムりー。

除算を実行します: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

解決。

例 1) 16,38: 0,7.

ディバイダー内 0,7 小数点以下は 1 桁なので、被除数と除数のカンマを右に 1 桁移動しましょう。

それから分割する必要があります 163,8 の上 7 .

彼らが分割するように、私たちも分割します自然数。番号を削除する方法 8 - 小数点の後の最初の桁 (つまり、10 の位の桁) 商にカンマを入れますそして分割を続けます。

答え: 23.4。

例 2) 15,6: 0,15.

配当の中でカンマを移動します( 15,6 ) と除数 ( 0,15 ) 除数にあるため、右に 2 桁 0,15 小数点以下は 2 桁です。

右側の小数には好きなだけゼロを追加できますが、これによって小数は変更されないことを覚えておいてください。

15,6:0,15=1560:15.

自然数の割り算を行います。

答え：104。

例 3) 3,114: 4,5.

被除数と除数のカンマを1桁右に移動して除算します。 31,14 の上 45 による

3,114:4,5=31,14:45.

商では、数値を削除した直後にカンマを入れます。 1 10位に。その後、分割を続けます。

課せられた部門を完了するためにゼロ番号に 9 - 数値間の違い 414 そして 405 . (小数の右側にゼロを追加できることはわかっています)

答え: 0.692。

例 4) 53,84: 0,1.

被除数と除数のカンマを次のように移動します。 1 右側の番号。

得られるものは次のとおりです。 538,4:1=538,4.

等式を分析してみましょう。 53,84:0,1=538,4. の配当のカンマに注意してくださいこの例では結果の商にはカンマが含まれます。配当のカンマが次のように移動されていることがわかります。 1 あたかも掛け算しているかのように、右側の数値 53,84 の上 10. (ビデオを見る「小数に 10、100、1000 などを掛けること。.") したがって、小数を次で割るルールが決まります。 0,1; 0,01; 0,001 等

II. 小数を 0.1 で割るには; 0.01; 0.001 などの場合は、小数点を 1、2、3 桁ずつ右に移動する必要があります。 (小数を 0.1、0.01、0.001 などで除算することは、その小数を 10、100、1000 などで乗算することと同じです)。

例。

除算を実行します: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

解決。

例 1) 617,35: 0,1.

ルールに従って Ⅱによる除算 0,1 を乗算するのと同じです 10 、被除数内のカンマを移動します 右に 1 桁:

1) 617,35:0,1=6173,5.

例 2) 0,235: 0,01.

除算 0,01 を乗算するのと同じです 100 、つまり、配当のカンマを移動します。の上 右に2桁:

2) 0,235:0,01=23,5.

例 3) 2,7845: 0,001.

なぜならによる除算 0,001 を乗算するのと同じです 1000 、カンマを移動します 右に 3 桁:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

例 4) 26,397: 0,0001.

小数を除算する 0,0001 - それを掛けるのと同じです 10000 (カンマを移動します 4桁ずつ 右）。得られるものは次のとおりです。

Ⅱ。小数を 10、100、1000 などで割るには、小数点を 1、2、3 桁など左に移動する必要があります。

例。

除算を実行します: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

解決。

小数点を左に移動するかどうかは、除数内の 1 の後にゼロが何個あるかによって決まります。したがって、小数を次の値で割る場合、 10 配当金は繰り越します 左1桁にカンマ; で割ると 100 - カンマを移動します 左2桁; で割ると 1000 この小数に変換します 左にカンマ 3 桁。

例 3) と 4) では、カンマの移動を容易にするために、小数の前にゼロを追加する必要がありました。ただし、頭の中でゼロを割り当てることもできます。ルールをうまく適用できるようになったら、そうするようにします。 Ⅱ小数を 10、100、1000 などで除算します。

ページ 1/1 1

分数

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

高校では分数はそれほど面倒ではありません。当面。有理指数と対数を使った累乗に出会うまでは。そしてそこには... 電卓を押し続けると、いくつかの数字が完全に表示されます。３年生と同じように頭を使って考えなければなりません。

いよいよ分数を計算しましょう！さて、どれだけ混乱できるでしょうか！しかも、すべてがシンプルかつ論理的です。それで、 分数の種類は何ですか?

分数の種類。変身。

端数もあるよ 3種類.

1. 共通分数 、例えば：

場合によっては、水平線の代わりにスラッシュを入れることもあります: 1/2、3/4、19/5、まあなど。ここではこの綴りをよく使います。一番上の番号を呼びます分子、より低い - 分母。これらの名前を常に混同する場合は (よくあることですが...)、次のフレーズを自分に言い聞かせてください。 ズズズズ覚えて！ ズズズズ分母 - 見てください ズズズズああ！」ほら、すべてが思い出されるでしょう。）

水平または斜めのダッシュは、次のことを意味します。分割上の数値（分子）から下の数値（分母）まで。それだけです！ダッシュの代わりに、分割記号 (2 つのドット) を入れることもかなり可能です。

完全な分割が可能な場合は、これを行う必要があります。したがって、分数「32/8」の代わりに、数字「4」を書く方がはるかに快適です。それらの。 32 を単純に 8 で割ります。

32/8 = 32: 8 = 4

分数「4/1」の話でもありません。これも単なる「4」です。完全に割り切れない場合は、分数として残します。場合によっては、逆の操作を行う必要があります。整数を分数に変換します。しかし、それについては後で詳しく説明します。

2. 小数 、例えば：

このフォームには、タスク「B」の答えを書き留める必要があります。

3. 帯分数 、例えば：

高校では帯分数はほとんど使われません。これらを扱うには、通常の分数に変換する必要があります。しかし、これは絶対にできるようにする必要があります。そうしないと、問題でそのような数値に遭遇してフリーズしてしまいます...どこからともなく。でも、この手順は覚えておきます！もう少し低いです。

最も汎用性の高い 公分数。まずはそれらから始めましょう。ちなみに、分数にあらゆる種類の対数、正弦、その他の文字が含まれている場合は、何も変わりません。全てがそうなるという意味では、 分数式を使用したアクションは、通常の分数を使用したアクションと何ら変わりません。!

分数の主なプロパティ。

それでは、行きましょう！まず、あなたを驚かせます。さまざまな分数変換が 1 つのプロパティによって提供されます。それがそう呼ばれています 分数の主な性質。覚えて： 分数の分子と分母に同じ数を掛ける（割る）場合、分数は変わりません。それらの：

顔が青くなるまで書き続けることができることは明らかです。正弦と対数について混乱させないでください。これらについてはさらに詳しく説明します。重要なことは、これらのさまざまな表現はすべて次のとおりであることを理解することです。 同じ分数 . 2/3.

これらすべての変革は必要でしょうか？はい！今、あなた自身の目で見てみましょう。まず、分数の基本的な性質を使ってみましょう。 分数を減らす。それは初歩的なことのように思えるでしょう。分子と分母を同じ数で割れば完了です。間違えるなんてありえない！しかし...人間は創造的な存在です。どこでも間違いを犯す可能性があります！特に、5/10 のような分数ではなく、あらゆる種類の文字を含む分数式を約分する必要がある場合はそうです。

余分な作業をせずに分数を正確かつ迅速に減らす方法については、特別セクション 555 を参照してください。

普通の学生は、分子と分母を同じ数 (または式) で割ることを気にしません。上下に同じものをすべて取り消し線で消すだけです。ここにそれが潜んでいます典型的な間違い言ってみれば、大失敗です。

たとえば、次の式を簡略化する必要があります。

ここでは何も考える必要はありません。上の「a」と下の 2 つの文字を取り消してください。得られるものは次のとおりです。

すべてが正しいです。でも本当にあなたは分けたのです全て分子と全て分母は「a」です。取り消し線を引くことに慣れている場合は、急いで式の中の「a」を取り消し線で消すことができます。

そしてまたそれを手に入れてください

それは完全に真実ではありません。ここだから全て「a」の分子はすでに 共有されていません！この割合を減らすことはできません。ちなみに、このような削減は、ええと、教師にとっては深刻な課題です。これは許されません！覚えていますか？減らす場合は分割する必要があります全て分子と全て分母！

分数を減らすと作業がずっと楽になります。たとえば、375/1000 などの端数がどこかに表示されます。どうすれば今も彼女と仕事を続けることができますか? 電卓がないのですか？掛け算、足し算、二乗!? そして、あなたがあまりにも怠け者でなければ、慎重にそれを5つ減らし、さらに5つ減らし、さらに...つまり、短くしている間に。 3/8をゲットしましょう！ずっといいですよね？

分数の主なプロパティを使用すると、通常の分数を小数に変換したり、その逆を行うことができます。 電卓なしで！これは統一国家試験にとって重要ですよね？

分数をある型から別の型に変換する方法。

小数を使えばすべてが簡単になります。聞いた通りに書かれているのです！ 0.25としましょう。これは 100 分の 0 ポイント 25 です。したがって、25/100 と書きます。減らすと (分子と分母を 25 で割ります)、通常の分数 1/4 が得られます。全て。それは起こりますが、何も減りません。 0.3みたいな。これは 10 分の 3、つまり 3/10。

整数がゼロでない場合はどうなるでしょうか? 大丈夫です。分数全体を書き留めます コンマなしで分子と分母で、何が聞こえるか。例: 3.17。これは 1700 分の 3 です。分子に 317、分母に 100 を書くと、317/100 となります。何も減らない、それがすべてを意味します。これが答えです。小学生だよ、ワトソン！これまで述べてきたことから、有益な結論が得られます。 任意の小数は公用分数に変換できます .

しかし、計算機がないと普通から小数への逆変換ができない人もいます。そしてそれは必要です！統一国家試験の答えはどうやって書くの！よく読んでこのプロセスをマスターしてください。

小数部の特徴は何ですか? 彼女の分母は いつもコストは 10、100、1000、10000 などです。公分数の分母がこのようなものであれば問題ありません。たとえば、4/10 = 0.4 となります。または 7/100 = 0.07。または、12/10 = 1.2。セクション「B」のタスクの答えが 1/2 だった場合はどうなるでしょうか? 返事は何と書きましょうか？小数点は必須です...

覚えておきましょう 分数の主な性質 ！数学では、分子と分母に同じ数を掛けることができます。ちなみに何でも！もちろんゼロを除いて。では、この特性を有効に活用してみましょう。分母に何をかけることができるか、つまり 2 を 10 にするか、100 にするか、1000 にするか (もちろん小さい方が良いです...) 5歳の時は当然だ。分母を自由に掛けてください（これは 私たちただし、分子にも 5 を掛ける必要があります。これはすでに数学要求します！ 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 となります。それでおしまい。

ただし、あらゆる種類の分母が登場します。たとえば、分数 3/16 が出てきます。 16 に何をかけると 100 または 1000 になるか考えてみてください...うまくいきませんか? 次に、単純に 3 を 16 で割ります。電卓がない場合は、小学校で教えたように、紙の上で角で割る必要があります。 0.1875 となります。

そして、非常に悪い分母もあります。たとえば、分数の 1/3 を適切な小数に変換する方法はありません。電卓と紙の両方で、0.3333333 が得られます...これは、1/3 が正確な小数であることを意味します 翻訳されていない。 1/7、5/6 などと同じです。翻訳できないものもたくさんあります。これにより、別の有益な結論がもたらされます。 すべての分数を小数に変換できるわけではありません !

ちなみに、これは役立つ情報自己テスト用に。セクション「B」では、答えに小数を記入する必要があります。たとえば、4/3 が得られます。この分数は小数に変換されません。これは、途中のどこかで間違いを犯したことを意味します。戻って解決策を確認してください。

そこで、常分数と小数分数を計算しました。残っているのは帯分数を扱うことだけです。これらを扱うには、通常の分数に変換する必要があります。これを行うにはどうすればよいでしょうか? ６年生を捕まえて聞いてみるといいでしょう。でも、6 年生がいつもそばにいるわけではありません...自分でやる必要があります。難しいことではありません。小数部分の分母に整数部分を掛けて、小数部分の分子を加算する必要があります。これが分子になります公分数。分母はどうでしょうか？分母は変わりません。複雑そうに聞こえますが、実際にはすべてが単純です。例を見てみましょう。

問題内の数字を見て愕然としたとします。

パニックにならずに、冷静に考えます。全体の部分は 1. ユニットです。小数部は3/7です。したがって、小数部の分母は7になります。この分母が普通分数の分母となります。分子を数えます。 7 に 1 (整数部分) を掛け、3 (小数部分の分子) を加えます。 10 が得られます。これは公分数の分子になります。それでおしまい。数学的表記ではさらに単純に見えます。

明らかですか？それからあなたの成功を確実にしましょう！普通の分数に変換します。 10/7、7/2、23/10、21/4 を取得する必要があります。

逆の演算 (仮分数を帯分数に変換する) は、高校ではほとんど要求されません。そうですね、そうであれば...高校生でない場合は、特別セクション 555 を調べてください。ちなみに、そこについては、仮分数分かるでしょう。

まあ、実質的にはそれだけです。分数の種類を覚えて理解できた どうやって あるタイプから別のタイプに転送します。疑問は残ります: 何のために これをしますか？この深い知識をいつ、どこに適用すればよいでしょうか?

私は答えます。どの例も、それ自体が必要なアクションを示唆しています。この例では、普通の分数、小数、さらには帯分数が混在している場合、すべてを普通の分数に変換します。 それはいつでもできる。そうですね、0.8 + 0.3 などと書かれている場合は、翻訳せずにそのように数えます。なぜ余分な作業が必要なのでしょうか? 便利なソリューションを選択します 私たち !

タスクがすべて小数の場合、しかし、ええと...ある種の邪悪なタスクである場合は、通常のタスクに移動して試してみてください。ほら、すべてうまくいくよ。たとえば、数値 0.125 を 2 乗する必要があります。電卓の使用に慣れていないと、それほど簡単ではありません。列内の数値を掛けるだけでなく、カンマをどこに挿入するかも考慮する必要があります。頭では絶対にダメですよ！普通の分数に移ったらどうなるでしょうか？

0.125 = 125/1000。それを 5 減らします (これは手始めにです)。 25/200 が得られます。もう一度 5 までに 5/40 を取得します。ああ、まだ縮んでる！ 5に戻ります！ 1/8が得られます。これを (頭の中で!) 簡単に 2 乗すると 1/64 が得られます。全て！

この教訓を要約しましょう。

1. 分数には 3 種類あります。一般的な、10 進数および帯分数。

2. 小数と帯分数 いつも普通の分数に変換できます。逆転送 いつもではない可能

3. タスクで使用する分数の種類の選択は、タスク自体によって異なります。空き状況によりますさまざまな種類 1 つのタスクで分数を計算する場合、最も確実なのは通常の分数に進むことです。

これで練習できるようになりました。まず、これらの小数を通常の分数に変換します。

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

次のような答えが得られるはずです (めちゃくちゃです!):

これで終わりにしましょう。このレッスンで私たちは記憶を新たにしました重要なポイント分数で。ただし、リフレッシュする特別なものが何もないこともあります...) 誰かが完全に忘れているか、まだ習得していない場合...その後、特別なセクション 555 に進むことができます。すべての基本はそこで詳しく説明されています。突然たくさんの すべてを理解するが始まっています。そして分数もその場で解決します)。