方程式をグラフィカルに解きます。方程式を解くためのグラフィカルな方法

方程式を解く 1 つの方法は、グラフィックを使用することです。これは、関数グラフを構築し、それらの交点を決定することに基づいています。グラフィカルな解決策を考えてみましょう二次方程式 a*x^2+b*x+c=0。

最初の解決策

方程式 a*x^2+b*x+c=0 を a*x^2 =-b*x-c の形式に変換しましょう。 2 つの関数 y= a*x^2 (放物線) と y=-b*x-c (直線) のグラフを作成します。交差点を探しています。交点の横座標が方程式の解になります。

例を示してみましょう:方程式 x^2-2*x-3=0 を解きます。

これを x^2 =2*x+3 に変形してみましょう。 1 つの座標系で関数 y= x^2 および y=2*x+3 のグラフを構築します。

グラフは 2 点で交差します。それらの横座標が方程式の根になります。

公式による解法

より説得力を持たせるために、このソリューションを分析的に確認してみましょう。次の式を使用して二次方程式を解いてみましょう。

D = 4-4*1*(-3) = 16。

X1= (2+4)/2*1 = 3。

X2 = (2-4)/2*1 = -1。

手段、 解決策は同じです。

方程式を解くグラフィカルな方法にも欠点があり、その助けを借りても方程式の正確な解を得ることが常に可能であるとは限りません。方程式 x^2=3+x を解いてみましょう。

1 つの座標系で放物線 y=x^2 と直線 y=3+x を作成しましょう。

また似たような絵が出てきました。直線と放物線は 2 点で交差します。しかし、これらの点の横座標の正確な値を言うことはできません。x≈-1.3 x≈2.3 の近似値のみです。

このような精度の回答に満足できる場合は、この方法を使用できますが、これが起こることはほとんどありません。通常は正確な解決策が必要です。したがって、グラフィカルな方法はほとんど使用されず、主に既存のソリューションを確認するために使用されます。

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>>数学: グラフィックソリューション方程式

方程式のグラフィカルな解法

についての知識をまとめてみましょう グラフ機能。次の関数のグラフを作成する方法を学習しました。

y =b (x 軸に平行な直線);

y = kx (原点を通る直線);

y - kx + m (直線);

y = x 2 (放物線)。

これらのグラフの知識があれば、必要に応じて分析グラフを置き換えることができます。 モデルたとえば、幾何学的な (グラフィカルな) モデル y = x 2 (2 つの変数 x と y の等式を表す) の代わりに、座標平面内の放物線を考えます。特に、方程式を解くのに役立つ場合があります。いくつかの例を使用して、これがどのように行われるかについて説明します。

A. V. ポゴレロフ、7 年生から 11 年生までの幾何学、教科書教育機関

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二次方程式は中学 1 年生の代数の授業ですでに触れています。二次方程式は ax 2 + bx + c = 0 という形式の方程式であることを思い出してください。ここで、a、b、c は任意の数値 (係数)、および a です。いくつかの関数とそのグラフに関する知識を使用すると、「二次方程式」というトピックの系統的な研究を待たずに、いくつかの二次方程式を解くことができるようになりました。さまざまな方法で; 1 つの二次方程式を例にしてこれらの方法を検討します。

例。方程式 x 2 - 2x - 3 = 0 を解きます。
解決。
方法 I 。 § 13 のアルゴリズムを使用して、関数 y = x 2 - 2x - 3 のグラフを作成しましょう。

1) a = 1、b = -2、x 0 = = 1、y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4 となります。これは、放物線の頂点が点 (1; -4) であり、放物線の軸が直線 x = 1 であることを意味します。

2) 放物線の軸に関して対称である x 軸上の 2 つの点 (たとえば、点 x = -1 および x = 3) を取得します。

f(-1) = f(3) = 0 です。座標平面上に点 (-1; 0) と (3; 0) を作成しましょう。

3) 点 (-1; 0)、(1; -4)、(3; 0) を通して放物線を描きます (図 68)。

方程式 x 2 - 2x - 3 = 0 の根は、放物線と x 軸の交点の横座標です。これは、方程式の根が x 1 = - 1、x 2 - 3 であることを意味します。

Ⅱの方法。 方程式を x 2 = 2x + 3 の形式に変換しましょう。関数 y - x 2 および y = 2x + 3 のグラフを 1 つの座標系で作成しましょう (図 69)。それらは 2 つの点 A(- 1; 1) と B(3; 9) で交差します。方程式の根は点 A と B の横座標であり、これは x 1 = - 1、x 2 - 3 を意味します。

Ⅲ法。この方程式を x 2 - 3 = 2x の形に変形してみましょう。関数 y = x 2 - 3 と y = 2x のグラフを 1 つの座標系で作成してみましょう (図 70)。それらは 2 つの点 A (-1; - 2) と B (3; 6) で交差します。方程式の根は点 A と B の横座標であるため、x 1 = - 1、x 2 = 3 となります。

Ⅳの方法。 方程式を x 2 -2x 4-1-4 = 0 の形式に変換しましょう。
そしてそれ以降
x 2 - 2x + 1 = 4、つまり (x - IJ = 4.
1 つの座標系で放物線 y = (x - 1) 2 と直線 y = 4 を作成しましょう (図 71)。それらは 2 つの点 A(-1; 4) と B(3; 4) で交差します。方程式の根は点 A と B の横座標であるため、x 1 = -1、x 2 = 3 となります。

V法。 方程式の両辺を x 項ごとに除算すると、次のようになります。

1 つの座標系で双曲線と直線 y = x - 2 を作成してみましょう (図 72)。

これらは 2 つの点 A (-1; -3) と B (3; 1) で交差します。方程式の根は点 A と B の横座標であるため、x 1 = - 1、x 2 = 3 となります。

そこで、二次方程式 x 2 - 2x - 3 = 0 を 5 つの方法でグラフィカルに解きました。これらの方法の本質を分析してみましょう。

方法 I X 軸との交点で関数のグラフを作成します。

Ⅱの方法。 方程式を ax 2 = -bx - c の形式に変換し、放物線 y = ax 2 と直線 y = -bx - c を作成し、それらの交点を見つけます (方程式の根は交点の横座標です)もちろん、あれば）。

Ⅲの方法。 方程式を ax 2 + c = - bx の形式に変換し、放物線 y - ax 2 + c と直線 y = -bx (原点を通過します) を作成します。それらの交点を見つけます。

Ⅳの方法。 完全な正方形を分離する方法を使用して、方程式を次の形式に変換します。

x 軸に平行な放物線 y = a (x + I) 2 と直線 y = - m を作成します。放物線と直線の交点を見つけます。

V法。 方程式を次の形式に変換します

双曲線 (これは双曲線です) と直線 y = - ax - b を作成します。それらの交点を見つけます。

最初の 4 つの方法は ax 2 + bx + c = 0 の形式のすべての方程式に適用でき、5 番目の方法は c を持つ方程式にのみ適用できることに注意してください。実際には、特定の方程式に最も適していると思われる方法、または自分がより好む (または理解している) 方法を選択できます。

コメント 。二次方程式をグラフィカルに解く方法はたくさんありますが、私たちはどんな二次方程式も解けると確信しています。
いいえ、グラフィカルに解決できます。たとえば、方程式 x 2 - x - 3 = 0 を解く必要があるとします (具体的には、次のような方程式を考えてみましょう)
考えられる例）。たとえば、2 番目の方法でこれを解いてみます。方程式を x 2 = x + 3 の形式に変換し、放物線 y = x 2 を作成し、
直線 y = x + 3 の場合、それらは点 A と B で交差します (図 73)。これは方程式に 2 つの根があることを意味します。しかし、これらの根は何に等しいのでしょうか、私たちは絵の助けを借りて、
点 A と B には、上の例のような「良好な」座標がないとは言えません。ここで方程式を考えてみましょう
x 2 - 16x - 95 = 0。たとえば 3 番目の方法で解いてみましょう。方程式を x 2 - 95 = 16x の形式に変換しましょう。ここで放物線を作成する必要があります
y = x 2 - 95 および直線 y = 16x。しかし、ノートブックシートのサイズが限られているため、これは許可されません。放物線 y = x 2 を 95 セル下に下げる必要があるからです。

したがって、二次方程式を解くためのグラフィカルな方法は美しく快適ですが、二次方程式を解くことを 100 パーセント保証するものではありません。今後はこれを考慮してまいります。

このビデオレッスンでは、「関数 y=x 2」というトピックが学習のために提供されます。方程式のグラフィック解。」このレッスンでは、学生は関数のグラフの特性の知識に基づいて、方程式をグラフィカルに解く新しい方法に慣れることができます。教師は関数 y=x 2 を解く方法を図で示します。

主題：関数

レッスン：関数。方程式のグラフィカルな解法

方程式のグラフィカルな解法は、関数グラフとそのプロパティの知識に基づいています。グラフがわかっている関数をリストしてみましょう。

1) のグラフは、縦軸上の点を通り、横軸に平行な直線です。例を見てみましょう: y=1:

でさまざまな意味 x 軸に平行な直線の集合が得られます。

2) 正比例の関数。この関数のグラフは座標原点を通る直線になります。例を見てみましょう:

これらのグラフは前のレッスンですでに作成しました。各線を作成するには、それを満たす点を選択し、座標の原点を 2 番目の点とする必要があることを思い出してください。

係数 k の役割を思い出してください。関数が増加するにつれて、直線と x 軸の正の方向との間の角度は鋭角になります。関数が減少すると、直線と x 軸の正の方向との間の角度は鈍角になります。さらに、同じ符号の 2 つのパラメーター k の間には次の関係が存在します。正の k の場合、値が大きいほど関数は速く増加し、負の k の場合、関数はより速く減少します。大きな値 k モジュロ。

3) 線形関数。とき - 縦軸との交点が得られ、このタイプの直線はすべてその点 (0; m) を通過します。さらに、関数が増加するにつれて、直線と x 軸の正の方向との間の角度は鋭角になります。関数が減少すると、直線と x 軸の正の方向との間の角度は鈍角になります。そしてもちろん、k の値は関数値の変化率に影響します。

4)。この関数のグラフは放物線になります。

例を見てみましょう。

例 1 - 方程式をグラフィカルに解きます。

このタイプの関数は不明なので、既知の関数を使用できるように指定された方程式を変換する必要があります。

方程式の両側におなじみの関数が得られます。

関数のグラフを作成しましょう。

グラフには 2 つの交点があります: (-1; 1); (2; 4)

解が正しく見つかったかどうかを確認し、座標を方程式に代入してみましょう。

最初の点は正しく見つかりました。

, , , , , ,

2点目も正しく見つかりました。

したがって、方程式の解は次のようになります。

前の例と同様に進めます。与えられた方程式を既知の関数に変換し、グラフを作成し、交差電流を見つけて、ここから解を示します。

2 つの関数が得られます。

グラフを作成しましょう:

これらのグラフには交点がありません。これは、指定された方程式には解がないことを意味します。

結論: このレッスン私たちは既知の関数とそのグラフを検討し、それらの特性を思い出し、方程式を解くためのグラフィカルな方法を検討しました。

1. ドロフェエフ G.V.、スヴォロヴァ S.B.、ブニモビッチ E.A. 代数 7。第 6 版。 M.: 啓蒙です。 2010年

2. Merzlyak A.G.、Polonsky V.B.、Yakir M.S. 代数 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M.、Tkacheva M.V.、Fedorova N.E. 代数 7.M.: 啓蒙。 2006年

タスク 1: マカリチェフ Yu.N.、ミンデュク N.G.、ネシュコフ K.I. 代数 7、第 494 条、第 110 条。

タスク 2: マカリチェフ Yu.N.、ミンデュク N.G.、ネシュコフ K.I. 代数 7、第 495 条、第 110 条。

タスク 3: マカリチェフ Yu.N.、ミンデュク N.G.、ネシュコフ K.I. 代数 7、第 496 条、第 110 条。

方程式のグラフィカルな解法

全盛期、2009 年

導入

古代において二次方程式を解く必要性は、面積の発見に関連する問題を解く必要性によって引き起こされました。土地区画そして土塁それは軍事的な性質を持つものであり、また天文学や数学そのものの発展に伴うものでもあります。バビロニア人は紀元前 2000 年頃に二次方程式を解くことができました。バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、基本的に現代のものと一致しますが、バビロニア人がどのようにしてこの規則に到達したのかは不明です。

ヨーロッパで二次方程式を解くための公式は、1202 年にイタリアの数学者レオナルドフィボナッチによって書かれたそろばんの本に初めて記載されました。彼の本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。

しかし原則係数 b と c のすべての可能な組み合わせに対する 2 次方程式の解は、1544 年にヨーロッパでのみ M. Stiefel によって定式化されました。

1591年 フランソワ・ベト 二次方程式を解く公式を導入しました。

古代バビロンでは、ある種の二次方程式を解くことができました。

アレクサンドリアのディオファントス そして ユークリッド , アル・フワリズミそして オマル・ハイヤーム幾何学的な手法とグラフィック手法を使用して方程式を解きました。

7年生では関数を勉強しました y = C、 y = kx 、y = kx + メートル 、y = × 2 ,y = – × 2 , 8年生 – y = √ × 、y = |× |, y = 斧 2 + bx + c 、y = k / ×。 9 年生の代数の教科書には、まだ知らなかった関数がありました。 y = × 3 , y = × 4 ,y = × 2n、 y = × - 2n、 y = 3 √× , ( × – ある ) 2 + (はい – b ) 2 = r 2など。これらの関数のグラフを作成するにはルールがあります。これらのルールに従う関数が他にもあるのではないかと考えました。

私の仕事は、関数グラフを研究し、方程式をグラフィカルに解くことです。

1. 機能は何ですか?

関数のグラフは座標平面のすべての点の集合であり、その横座標は引数の値に等しく、縦座標は関数の対応する値に等しい。

一次関数は次の方程式で与えられます。 y = kx + b、どこ kそして b- いくつかの数字。この関数のグラフは直線になります。

逆比例関数 y = k / ×この関数のグラフは双曲線と呼ばれます。

関数 ( × – ある ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 、どこあ , bそして r- いくつかの数字。この関数のグラフは、点 A を中心とした半径 r の円です ( あ , b).

二次関数 y = 斧 2 + bx + cどこあ、 b 、と– いくつかの数字とあ¹ 0. この関数のグラフは放物線です。

方程式 y 2 ( ある – × ) = × 2 ( ある + × ) 。この方程式のグラフはストロフォイドと呼ばれる曲線になります。

方程式 ( × 2 + y 2 ) 2 = ある ( × 2 – y 2 ) 。この方程式のグラフはベルヌーイのレムニスケートと呼ばれます。

方程式。この方程式のグラフをアステロイドと呼びます。

曲線 (x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2)。この曲線はカーディオイドと呼ばれます。

機能: y = × 3 – 立方体の放物線、 y = × 4 , y = 1/ × 2 .

2. 方程式の概念とそのグラフィカルな解法

方程式– 変数を含む式。

方程式を解く- これは、そのルーツをすべて見つけるか、それらが存在しないことを証明することを意味します。

方程式の根は、方程式に代入すると、正確な数値的等価性が得られる数値です。

方程式をグラフィカルに解く根の正確な値または近似値を見つけることができ、方程式の根の数を見つけることができます。

グラフを作成したり方程式を解くとき、関数のプロパティが使用されるため、この方法は関数グラフィカルと呼ばれることがよくあります。

方程式を解くには、方程式を 2 つの部分に「分割」し、2 つの関数を導入し、それらのグラフを構築し、グラフの交点の座標を見つけます。これらの点の横座標は方程式の根です。

3. 関数グラフを描画するアルゴリズム

関数のグラフを知る y = f ( × ) 、関数のグラフを構築できます y = f ( × + メートル ) ,y = f ( × )+ 私そして y = f ( × + メートル )+ 私。これらのグラフはすべて関数のグラフから得られます。 y = f ( × ) 並列キャリー変換を使用する: │ メートル │ X 軸に沿って右または左のスケール単位 │ 私 │ 軸に沿ったスケールアップまたはスケールダウンの単位 y .

4. 二次方程式のグラフ解法

例の使用二次関数二次方程式のグラフ解を見てみましょう。二次関数のグラフは放物線になります。

古代ギリシャ人は放物線について何を知っていましたか?

現代の数学的象徴主義は 16 世紀に始まりました。

古代ギリシャの数学者には座標法も関数の概念もありませんでした。それにもかかわらず、放物線の性質は彼らによって詳細に研究されました。古代の数学者の創意工夫にはただただ驚くばかりです。結局のところ、彼らは依存関係を絵と口頭で説明することしかできませんでした。

最も完全に調査された放物線、双曲線、楕円 ペルガのアポロニウス紀元前3世紀に生きた人。彼はこれらの曲線に名前を付け、その曲線上にある点がどのような条件を満たすかを示しました (結局のところ、公式は存在しませんでした!)。

放物線を作成するためのアルゴリズムがあります。

放物線 A (x 0 ; y 0) の頂点の座標を求めます。 × 0 =- b /2 ある ;

Y 0 = ax o 2 + in 0 + c;

放物線の対称軸を見つけます (直線 x = x 0)。

コントロールポイントを構築するための値のテーブルを作成します。

結果として得られる点を構築し、対称軸に対して対称な点を構築します。

1. アルゴリズムを使用して放物線を作成します y = × 2 – 2 × – 3 。軸との交点の横座標 ×そして二次方程式の根があります × 2 – 2 × – 3 = 0.

この方程式をグラフで解くには 5 つの方法があります。

2. 方程式を 2 つの関数に分割しましょう。 y = × 2 そして y = 2 × + 3

3. 方程式を 2 つの関数に分割しましょう。 y = × 2 –3 そして y =2 ×。方程式の根は、放物線と直線の交点の横座標です。

4. 方程式を変形する × 2 – 2 × – 3 = 0 完全な正方形を関数に分離することによって: y = ( × –1) 2 そして y =4. 方程式の根は、放物線と直線の交点の横座標です。

5. 方程式の両辺を項ごとに除算します。 × 2 – 2 × – 3 = 0 の上 ×、私たちは得ます × – 2 – 3/ × = 0 、この方程式を 2 つの関数に分割しましょう。 y = × – 2, y = 3/ × . 方程式の根は、直線と双曲線の交点の横座標です。

5. 次数方程式のグラフィカルな解法 n

例1.方程式を解く × 5 = 3 – 2 × .

y = × 5 , y = 3 – 2 × .

答え： x = 1。

例2。方程式を解く 3 √ × = 10 – × .

この方程式の根は、2 つの関数のグラフの交点の横座標です。 y = 3 √ × , y = 10 – × .

答え： x = 8。

結論

関数のグラフを確認すると、次のようになります。 y = 斧 2 + bx + c 、y = k / × , ã = √ × 、y = |× |, y = × 3 , y = × 4 ,y = 3 √× , これらのグラフはすべて、軸に対する平行移動の規則に従って構築されていることに気づきました。 ×そして y .