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ねじりを伴う曲げのための丸梁の計算。円形の梁をねじりながら曲げる長方形断面の梁をねじりながら曲げる。

簡単な情報理論から

断面内のいくつかの内力係数が同時にゼロに等しくない場合、木材は複雑な抵抗条件にさらされます。

実際的に最も興味深いのは、以下の場合複雑な読み込み:

1. 斜めに曲がります。

2. 横方向に引張または圧縮して曲げる
断面が生じる縦方向の力などの曲げモーメント
たとえば、ビームの偏心圧縮中などです。

3. トーションを加えた曲がり、バットの存在感が特徴
屈曲（または 2 回の屈曲）およびねじれの河川セクション
瞬間。

斜めの曲がり。

斜め曲げは、断面内の全曲げモーメントの作用面が主慣性軸のいずれとも一致しないビーム曲げのケースです。斜め曲げを 2 つの主平面 zoy および zox でのビームの同時曲げとして考えるのが最も便利です。ここで、z 軸はビームの軸、x 軸と y 軸は断面の主中心軸です。

考えてみましょう片持ち梁力 P が負荷された長方形の断面 (図 1)。

力 P を断面の主中心軸に沿って展開すると、次のようになります。

P y =Pcos φ、P x =Psin φ

曲げモーメントはビームの現在のセクションで発生します

M x = - P y z = -P z cos φ、

M y = P x z = P z sin φ。

曲げモーメント M x の符号は、直接曲げの場合と同じ方法で決定されます。の点で M y が正となる瞬間を考慮します。正の値座標 x この瞬間に引張応力が発生します。ちなみに、モーメント M y の符号は、x 軸が元の y 軸の方向と一致するように断面を頭の中で回転させると、曲げモーメント M x の符号の決定との類推により簡単に確立できます。。

梁断面の任意の点における応力は、平面曲げの場合の応力を求める公式を使用して求めることができます。力の独立作用の原理に基づいて、各曲げモーメントによって生じる応力をまとめます。

(1)

曲げモーメントの値 (独自の符号付き) と応力が計算される点の座標がこの式に代入されます。

セクションの危険な点を決定するには、ゼロまたは中立線の位置 (応力 σ = 0 となるセクションの点の幾何学的位置) を決定する必要があります。最大応力はゼロ線から最も遠い点で発生します。

ゼロライン方程式は、=0 における方程式 (1) から得られます。

したがって、ゼロラインは断面の重心を通過することになります。

梁の断面 (Q x ≠0 および Q y ≠0 の場合) で生じる接線方向の応力は、原則として無視できます。それらを決定する必要がある場合は、最初に総せん断応力 τ x と τ y の成分が D.Ya. Zhuravsky の公式に従って計算され、次に後者が幾何学的に合計されます。

梁の強度を評価するには、危険部分の最大垂直応力を決定する必要があります。最大荷重点での応力状態は一軸であるため、許容応力法を使用して計算する場合の強度条件は次の形式になります。

プラスチック素材の場合、

壊れやすい素材の場合、

n - 安全係数。

という方法で計算すると限界状態の場合、強度条件は次の形式になります。

ここで、R は設計抵抗、

m – 労働条件の係数。

梁の材料の引張と圧縮に対する耐性が異なる場合は、最大引張応力と最大圧縮応力の両方を決定する必要があり、梁の強度に関する結論は次の関係から得られます。

ここで、R p と R c はそれぞれ、計算された材料の引張抵抗と圧縮抵抗です。

ビームのたわみを決定するには、まず主平面内のセクションの x 軸と y 軸の方向の変位を見つけると便利です。

これらの変位 f x および f y の計算は、ビームの湾曲軸の普遍方程式を構築することによって、またはエネルギー法によって行うことができます。

総たわみは次のように求められます。幾何学和:

ビームの剛性条件は次の形式になります。

ここで、 - はビームの許容偏向です。

偏心圧縮

この場合、ビームにかかる圧縮力 P はビームの軸に平行に向けられ、断面の重心と一致しない点に加えられます。 X p と Y p を、主中心軸に対して測定した力 P の作用点の座標とします (図 2)。

作用する荷重により、河川の断面に次の内力係数が現れます: N= -P、Mx= -Py p、My=-Px p

曲げモーメントは第 1 四半期に属する点で圧縮を引き起こすため、曲げモーメントの符号は負です。断面の任意の点における応力は次の式で求められます。

(9)

N、Mx、Mu の値を代入すると、次のようになります。

(10)

Ух= F、Уу= F (i x と i y は主な慣性半径) であるため、最後の式は次の形式に簡略化できます。

(11)

=0 を設定することでゼロ線方程式を取得します。

1+ (12)

座標軸上のゼロラインで切り取られた線分と線分は次のように表されます。

依存関係 (13) を使用すると、セクション内のゼロ線の位置 (図 3) を簡単に見つけることができます。その後、この線から最も離れた点が決定されますが、これらの点では最大応力が発生するため危険です。

断面の点での応力状態は一軸であるため、梁の強度の条件は、以前に検討した梁の斜め曲げの場合 (式 (5)、(6)) と同様になります。

ビームの偏心圧縮中、その材料は張力に弱いため、断面に引張応力が現れるのを防ぐことが望ましい。ゼロ線がセクションの外側を通過するか、極端な場合にはセクションに接触すると、同じ符号の応力がセクション内に発生します。

この条件は、断面のコアと呼ばれる領域内に圧縮力が加えられたときに満たされます。断面のコアは、断面の重心を覆う領域であり、この領域内に加えられる長手方向の力が梁のすべての点で同じ符号の応力を引き起こすという事実によって特徴付けられます。

断面の中心を作成するには、どこにも交差せずに断面に接するようにゼロ線の位置を設定し、対応する力 P の作用点を見つける必要があります。セクションでは、それらに対応する極のセットが得られ、その幾何学的位置によってコアセクションの輪郭 (輪郭) が決まります。

たとえば、図のような断面を考えてみましょう。主中心軸ｘおよびｙを有する図４に示されている。

断面の中心を構築するために、5 つの接線を提示します。そのうち 4 つは辺 AB、DE、EF、FA と一致し、5 つ目は点 B と D を接続します。切断から測定または計算することにより、指定された長さで切断されます。接線 I-I、. 。。 ., 5-5 を x、y 軸上に配置し、これらの値を依存して代入して (13)、5 つの極 1、2....5 の座標 x p、y p を決定します。ゼロライン。接線 I-I は、点 A を中心に回転することで位置 2-2 に移動できますが、極 I は直線的に移動し、接線を回転した結果、点 2 に移動する必要があります。したがって、すべての極は、間の中間接線位置に対応します。 I-Iと2-2は1-2直線上に位置します。同様に、コア断面の残りの辺も長方形、つまり長方形になることが証明できます。セクションの中心は多角形であり、これを構築するには、極 1、2、...5 を直線で接続するだけで十分です。

ねじりを伴う曲げ丸い木材.

梁の断面をねじりを伴って曲げる場合、一般に、5 つの内力係数 M x、M y、M k、Q x、Q y がゼロに等しくなりません。ただし、ほとんどの場合、断面が薄肉でない場合、せん断力 Q x および Q y の影響は無視できます。

断面の垂直応力は、結果として生じる曲げモーメントの大きさから決定できます。

なぜなら中立軸はモーメント M u の作用キャビティに垂直です。

図では、図 5 は、曲げモーメント M x および M y をベクトルの形式で示しています (方向 M x および M y は正、つまり、第 1 象限の点で応力セクションが引張となるように選択されています)。

ベクトル M x と M y の方向は、ベクトルの端から見た観察者がそれらが反時計回りに向いているように見えるように選択されます。この場合、中立線は結果として生じるモーメントベクトル M u の方向と一致し、セクション A と B の最も負荷がかかる点はこのモーメントの作用面内にあります。

シャフトを計算する際には、円形断面の梁の曲げとねじれの組み合わせが最もよく考慮されます。梁がねじれを伴って曲がるケースは、それほど一般的ではありません。円形断面.

§ 1.9 では、主軸に対する断面の慣性モーメントが互いに等しい場合、ビームを斜めに曲げることは不可能であることが確立されています。この点で、丸梁を斜めに曲げることは不可能です。したがって、一般的なケースでは、アクションは外力丸いビームは、直接的な横方向の曲げ、ねじり、中央の張力 (または圧縮) という種類の変形の組み合わせを受けます。

断面内で長手方向の力がゼロに等しい、円形断面のビームを計算するこのような特殊なケースを考えてみましょう。この場合、ビームは曲げとねじりの組み合わせで動作します。梁の危険点を見つけるには、曲げモーメントとトルクモーメントの値が梁の長さに沿ってどのように変化するかを確立する必要があります。つまり、総曲げモーメント M とトルクの図を構築する必要があります。これらの図の具体例図のようなシャフトです。 22.9、a. シャフトはベアリング A と B 上にあり、モーター C によって駆動されます。

シャフトにはプーリー E と F が取り付けられており、張力のある駆動ベルトがそこを通って掛けられます。シャフトがベアリング内で摩擦なしで回転すると仮定します。シャフトとプーリーの自重は無視します（自重が大きい場合は考慮する必要があります）。シャフトの断面の軸を縦に、軸を横に向けましょう。

力の大きさは、たとえば、各プーリーによって伝達される動力、シャフトの角速度、および力の大きさがわかっている場合、式 (1.6) および (2.6) を使用して決定できます。これらの力は、それ自体と平行にシャフトの長手方向軸に伝達されます。この場合、プーリ E と F が位置する部分のシャフトにはねじりモーメントがかかり、これらのモーメントはエンジンから伝達されるモーメントと釣り合います (図 22.9、b)。次に、力は垂直成分と水平成分に分解されます。垂直方向の力はベアリングに垂直方向の反力を引き起こし、水平方向の力は水平方向の反力を引き起こします。これらの反力の大きさは、2 つの支持体の上にある梁の場合と同様に決定されます。

垂直面に作用する曲げモーメントの図は、垂直力から作成されます (図 22.9、c)。それを図に示します。 22.9、d. 同様に、水平力 (図 22.9、e) から、水平面に作用する曲げモーメントの図が作成されます (図 22.9、f)。

図から、次の公式を使用して (任意の断面で) 合計曲げモーメント M を決定できます。

この式を使用して得られた M の値を使用して、総曲げモーメントの図が作成されます (図 22.9、g)。直線の制限ダイアグラムが同じ垂直線上にある点でダイアグラムの軸と交差するシャフトのセクションでは、ダイアグラム M は直線によって制限され、他の領域では曲線によって制限されます。

(スキャンを参照)

たとえば、問題のシャフトのセクションでは、このセクションのダイアグラムは直線とダイアグラムの軸との交差によって制限されるため、ダイアグラム M の長さは直線に制限されます (図 22.9、g)。同じ垂直線上にある点で。

直線と図の軸との交点の点 O は、同じ垂線上にあります。同様の状況は、長さのあるシャフトセクションでもよく見られます。

総（合計）曲げモーメント M の図は、シャフトの各セクションにおけるこれらのモーメントの大きさを特徴付けます。シャフトの異なるセクションにおけるこれらのモーメントの作用面は異なりますが、すべてのセクションの図の縦座標は従来通り図面の平面と一致しています。

トルク線図は純粋なねじりの場合と同じ方法で作成されます (§ 1.6 を参照)。問題のシャフトについては、図に示されています。 22.9、z。

シャフトの危険なセクションは、合計曲げモーメント M とトルクの図を使用して確立されます。最大の曲げモーメント M を持つ一定の直径のビームのセクションに最大のトルクも作用する場合、このセクションは危険です。特に、検討中のシャフトは、プーリ F の右側に、プーリ F から微小距離を隔てた位置にそのようなセクションを持っています。

最大曲げモーメント M と最大トルクが異なる断面で作用する場合、どちらの値も最大でない断面が危険となる可能性があります。直径が変化するビームの場合、最も危険なセクションは、他のセクションよりも著しく低い曲げモーメントとねじりモーメントが作用するセクションである可能性があります。

危険なセクションが図 M から直接決定できない場合、そのいくつかのセクションで梁の強度をチェックし、この方法で危険な応力を確立する必要があります。

ビームの危険なセクションが確立されたら (または、いくつかのセクションが特定され、そのうちの 1 つが危険であることが判明した場合)、その中で危険な点を見つける必要があります。これを行うために、曲げモーメント M とトルクが同時に梁の断面に作用したときに梁の断面に生じる応力を考慮します。

長さが直径の何倍も大きい円形断面の梁では、横力による最大接線応力の値は小さく、複合作用の下での梁の強度を計算する際には考慮されません。曲げとねじれのこと。

図では、図 23.9 に円形梁の断面を示します。このセクションでは、曲げモーメント M とトルクが作用します。したがって、y 軸は曲げモーメントの作用面に垂直であるとみなされます。

梁の断面では、垂直応力は曲げによって発生し、せん断応力はねじりによって発生します。

法線応力 a は次の式で求められます。これらの応力の図を図に示します。 23.9。絶対値で最大の垂直応力は点 A と点 B で発生します。これらの応力は等しいです。

ここで、はビーム断面の軸方向抵抗モーメントです。

接線応力は次の式で求められます。これらの応力の図を図に示します。 23.9。

セクションの各点では、この点とセクションの中心を結ぶ半径に対して垂直に方向付けられます。最も高いせん断応力は、断面の周囲に沿って位置する点で発生します。彼らは平等です

ここで、はビーム断面の抵抗極モーメントです。

プラスチック材料の場合、垂直応力とせん断応力の両方が同時に到達する断面の点 A と B 最高値、危険です。脆性材料の場合、危険な点は、曲げモーメント M によって引張応力が生じる点です。

点 A 付近で孤立した基本直方体の応力状態を図に示します。 24.9、a. 梁の断面と一致する平行六面体の面に沿って、法線応力と接線応力が作用します。接線応力の対の法則に基づいて、直方体の上下面にも応力が発生します。残りの2面はストレスフリーです。したがって、この場合には、プライベートビュー平面応力状態については、第 4 章で詳しく説明します。 3. 主応力 amax およびは式 (12.3) によって決定されます。

値を代入すると、次のようになります。

電圧はさまざまな兆候したがって

主要な領域によって点 A の近くで強調表示されている基本平行六面体を図に示します。 24.9、b.

すでに述べたように（§ 1.9 の冒頭を参照）、ねじりを伴う曲げ時の梁の強度の計算は、強度理論を使用して実行されます。この場合、プラスチック材料からの梁の計算は通常、モールの理論によると、強度の第 3 または第 4 の理論に基づいて、および脆性の理論に基づいて実行されます。

強度の第 3 理論によると [参照。式 (6.8)]、式をこの不等式に代入します [参照。式(23.9)]を求めると、

空間的（複雑な）曲げ

空間曲げは、梁の断面に曲げモーメントとのみが作用する一種の複雑な抵抗です。完全な曲げモーメントは、主慣性面のいずれにも作用しません。縦方向の力はありません。空間的または複雑な曲げは、ロッドの曲げ軸が平面曲線ではないため、非平面曲げと呼ばれることがよくあります。この曲がりは、ビームの軸に垂直な異なる平面に作用する力によって引き起こされます (図 1.2.1)。

図1.2.1

上で概説した複雑な抵抗を伴う問題を解決する順序に従って、図に示す力の空間系をレイアウトします。 1.2.1 を 2 つに分割し、それぞれがメインプレーンの 1 つで動作するようにします。結果として、2 つのフラットが得られます。横曲げ- 垂直面と水平面内。梁の断面に生じる4つの内力要因のうち、曲げモーメントのみの影響を考慮します。対応する力によって生じる図を作成します (図 1.2.1)。

曲げモーメントの図を分析すると、最大の曲げモーメントが発生するのはこのセクションであるため、セクション A が危険であるという結論に達します。ここで、セクション A の危険なポイントを確立する必要があります。これを行うために、ゼロラインを構築します。ゼロライン方程式は、この方程式に含まれる項の符号規則を考慮すると、次の形式になります。

ここでは、モーメントによって生じる第 1 四半期の応力が負になるため、方程式の第 2 項の近くに「」記号が採用されています。

軸の正の方向に対するゼロ線の傾斜角度を決定してみましょう (図 12.6)。

米。 1.2.2

式 (8) から、空間曲げのゼロ線は直線であり、セクションの重心を通過することがわかります。

図より 1.2.2 明らかに最高のストレスゼロラインから最も遠いセクション No.2 と No.4 の点で発生します。これらの点での法線応力は、大きさは同じですが、符号が異なります。点 4 では、応力は正になります。点 2 の引張 - 負、つまり圧縮的。これらのストレスの兆候は、物理的な考察から確立されました。

危険な点が特定されたので、セクション A の最大応力を計算し、次の式を使用して梁の強度を確認しましょう。

強度条件(10)では、梁の強度を確認するだけでなく、断面のアスペクト比を指定すれば梁の断面寸法も選択できます。

曲げとねじりの作用下で丸い梁を計算する場合（図34.3）、両方の場合の最大応力値が表面で発生するため、垂直応力と接線方向の応力を考慮する必要があります。計算は強度理論に従って実行し、複雑な応力状態を同様に危険な単純な応力状態に置き換える必要があります。

最大電圧断面のねじれ

断面の最大曲げ応力

強度理論の一つとして、梁の材質に応じて危険部の相当応力を計算し、梁の材質の許容曲げ応力を用いて梁の強度試験を行うことがある。

円形ビームの場合、抵抗の断面モーメントは次のとおりです。

強度の第 3 理論である最大せん断応力理論に従って計算する場合、等価応力は次の式を使用して計算されます。

この理論はプラスチック材料にも適用できます。

形状変化エネルギー理論に従って計算する場合、等価応力は次の式を使用して計算されます。

この理論は延性および脆性材料に適用できます。

最大せん断応力の理論:

次に従って計算した場合の等価応力 形状変化エネルギー理論:

ここで、は等価な瞬間です。

強度条件

問題解決の例

例1.特定の応力状態 (図 34.4) に対して、最大接線方向応力の仮説を使用して、σ T = 360 N/mm 2 の場合の安全係数を計算します。

1. ある時点でのストレス状態はどのように特徴付けられ、どのように描写されますか?

2. どの領域とどの電圧が主なものと呼ばれますか?

3. ストレス状態の種類を列挙します。

4. ある点における変形状態の特徴は何ですか?

5. 延性材料や脆性材料ではどのような場合に限界応力状態が発生しますか?

6. 等価電圧とは何ですか?

7. 強度理論の目的を説明します。

8. 最大接線応力理論と形状変化エネルギー理論を用いた計算で等価応力を計算する式を書けます。それらの使用方法を説明します。

講義35

トピック2.7。基本的な変形を組み合わせた円形断面の梁の計算

最大接線応力と形状変化のエネルギーの仮説に基づいた等価応力の公式を理解します。

基本的な変形を組み合わせた円形断面梁の強度を計算できる。

等価応力の計算式

最大せん断応力仮説に従った等価応力

形状変化エネルギー仮説に基づく等価応力

強度条件共同行動曲げとねじれ

どこ MEKV- 同等の瞬間。

最大接線応力の仮説に従った等価モーメント

形状変化エネルギー仮説による等価モーメント

シャフト計算機能

ほとんどのシャフトは、曲げ変形とねじり変形の組み合わせを受けます。通常、シャフトは円形または環状の断面を備えた真っ直ぐな棒です。シャフトを計算するとき、横方向の力の作用による接線応力は重要ではないため考慮されません。

計算は危険な断面で実行されます。シャフトに空間的に荷重を加える場合、力の独立性の仮説が使用され、相互に直交する 2 つの平面で曲げモーメントが考慮され、総曲げモーメントは幾何学的合計によって決定されます。

問題解決の例

例1.円形ビームの危険な断面では、内力要因が発生します (図 35.1) Mx; 私の; Mz.

M×そして私の- 平面における曲げモーメントああそして zOxそれに応じて; Mz- トルク。 [ の場合、最大接線応力の仮説を使用して強度を確認します。 σ ］＝１２０ＭＰａ。初期データ: M×= 0.9 kN・m; 私のy = 0.8kN・m; Mz = 2.2kN*m; d= 60 mm。

解決

軸に対する曲げモーメントの作用から垂直応力の図を作成します。おおそしておおねじりによるせん断応力の図 (図 35.2)。

最大せん断応力表面に現れます。瞬間からの最大垂直応力 M×ある時点で生じるあ、瞬間からの最大垂直応力私の時点でで。相互に垂直な平面内の曲げモーメントが幾何学的に加算されるため、垂直応力が加算されます。

総曲げモーメント:

最大接線応力の理論を使用して等価モーメントを計算します。

強度条件：

断面抵抗モーメント: W occe in oe = 0.1 60 3 = 21600 mm 3。

強度の確認：

耐久性は保証されています。

例2。強度条件から必要な軸径を算出します。シャフトには 2 つの車輪が取り付けられています。車輪には 2 つの円周方向の力が作用します Ft1= 1.2kN; Ft2= 2kN と垂直面内の 2 つの半径方向の力 Fr1= 0.43kN; F r 2 = 0.72 kN (図 35.3)。車輪径はそれぞれ等しい d1= 0.1m; d2= 0.06 メートル。

シャフト材質承ります [ σ ］＝５０ＭＰａ。

計算は、最大接線応力の仮説に従って実行されます。シャフトとホイールの重量は無視してください。

解決

注記。力の独立作用の原理を利用し、垂直面と水平面でシャフトの設計図を作成します。サポート内の反応を水平面と垂直面で個別に決定します。曲げモーメントの図を作成します (図 35.4)。円周方向の力の影響でシャフトがねじれます。シャフトに作用するトルクを求めます。

シャフトの設計図を作成しましょう (図 35.4)。

1. シャフトのトルク:

2. 水平 (pl. H) と垂直 (pl. V) の 2 つの平面での曲げを考慮します。

水平面では、サポート内の反応を決定します。

とそしてで:

垂直面では、サポート内の反応を決定します。

点での曲げモーメントを決定する C と B:

点での合計曲げモーメント C と B:

時点でで最大曲げモーメントもここに作用します。

最も負荷がかかる部分に基づいてシャフト直径を計算します。

3. ある点における等価モーメントで第三の強さ理論によると

4. 強度条件から円形断面のシャフトの直径を決定します。

結果の値を四捨五入します。 d= 36 mm。

注記。シャフト径を選択する場合は、標準行直径 (付録 2)。

5. c = 0.8 での環状断面シャフトの必要な寸法を決定します。ここで、d はシャフトの外径です。

環状シャフトの直径は次の式で求めることができます。

受け入れましょう d = 42mm。

過負荷は軽微です。 d BH = 0.8d = 0.8 42 = 33.6mm。

値に丸める dBH= 33 mm。

6. 両方の場合のシャフト断面積ごとの金属コストを比較してみましょう。

中実シャフトの断面積

中空シャフトの断面積

中実シャフトの断面積は、環状シャフトの断面積のほぼ 2 倍です。

例 3。シャフトの断面寸法を決定します (図 2.70、 A)コントロールドライブ。ペダル牽引力 P3、機構によって伝達される力 P1、P2、P4。シャフト材質 - 降伏強度 σ t = 240 N/mm 2 の StZ 鋼、必要な安全率 [ n] = 2.5。計算は形状変化エネルギーの仮説を使用して実行されます。

解決

前に力を導入したので、シャフトの平衡を考えてみましょう。 R1、R2、R3、R4その軸上にある点に。

力を伝える P1点で自分自身に平行にそして E、力のモーメントに等しいモーメントを持つ力のペアを追加する必要があります。 P1ポイントに対してにそして E、つまり

これらの力（モーメント）のペアは従来図に示されています。 2.70 、b矢印の付いた弓形の線の形で。力を伝達するときも同様に R2、R3、R4ポイントに K、E、L、Nモーメントを伴ういくつかの力を追加する必要がある

図に示すシャフトのサポート。 2.70、aは、軸方向の動きを防ぐ空間ヒンジサポートとして考慮される必要があります。 ×そしてで(選択された座標系は図 2.70 に示されています。 b）。

図に示す計算スキームを使用すると、 2.70、 V、平衡方程式を作成しましょう。

したがって、支持反応は 該当なしそして NV正しく定義されています。

トルク線図 エムズそして曲げの瞬間私のを図に示します。 2.70、 G。危険なセクションはポイント L の左側のセクションです。

強度条件の形式は次のとおりです。

ここで、形状変化エネルギー仮説による等価モーメントは次のとおりです。

必要なシャフト外径

d = 45 mm とし、d 0 = 0.8 * 45 = 36 mm とします。

例4.平歯車減速機の中間軸（図 2.71）が動力を伝達している場合は、その強度を確認してください。 N= 速度で 12.2 kW n= 355 rpm。シャフトは耐力のあるSt5鋼製です。 σ t＝280N/mm2 必要な安全率 [ n] = 4. 計算するときは、最大接線方向応力の仮説を適用します。

注記。地区の取り組み P1そして R2水平面内にあり、円に接する方向を向いています。歯車。ラジアル力 T1そして T2は垂直面内にあり、対応する円周方向の力の観点から次のように表されます。 T = 0,364R.

解決

図では、 2.71、あシャフトの概略図が示されています。図の 2.71、b はシャフトと歯車装置で生じる力の図を示しています。

シャフトによって伝達されるモーメントを決定してみましょう。

明らかに、 m = m 1 = m 2(均一な回転でシャフトに加えられるねじりモーメントは、大きさが等しく、方向が反対です)。

歯車に作用する力を求めてみましょう。

円周力:

半径方向の力:

シャフトのバランスを考える AB、以前に軍隊をもたらした P1そして R2シャフト軸上の点に。

力の伝達 P1それ自体に平行に点まで L、力のモーメントと等しいモーメントを持ついくつかの力を追加する必要があります。 P1点に対して L、つまり

この一対の力（モーメント）は、従来図で示されています。 2.71、 V矢印の付いた弓形の線の形で。力を伝えるときも同様に R2要点までに瞬間的にいくつかの力を加える（追加する）必要があります

図に示すシャフトのサポート。 2.71、あ、軸方向の直線運動を防ぐ空間ヒンジサポートとして考慮する必要があります。 ×そしてで(選択した座標系を図 2.71 に示します。 b).

図に示す計算スキームを使用すると、 2.71、 Gでは、垂直面におけるシャフトの平衡方程式を作成してみましょう。

検証式を作成しましょう。

したがって、垂直面でのサポート反応は正確に決定されます。

水平面内のシャフトのバランスを考慮してください。

検証式を作成しましょう。

したがって、水平面内のサポート反応は正確に決定されます。

トルク線図 エムズそして曲げの瞬間 M×そして私のを図に示します。 2.71、 d.

そのセクションは危険ですに(図 2.71 を参照) G,d）。最大接線応力の仮説に従った等価モーメント

シャフトの危険な点の最大接線応力の仮説に従った等価応力

安全率

これは大幅に多くなります [ n］＝４となるため、シャフトの強度は確保される。

シャフトの強度を計算する際、時間の経過に伴う応力の変化は考慮されていなかったため、このような重要な安全率が得られました。

例5。ビームの断面の寸法を決定します (図 2.72、 A)。ビームの材質は鋼 30XGS で、引張および圧縮の条件付き降伏限界 σ o、2р = σ tr = 850 N/mm 2、σ 0.2 c = σ Tc = 965 N/mm 2 です。安全率 [ n] = 1,6.

解決

ビームは張力 (圧縮) とねじりの組み合わせで動作します。このような荷重では、縦力とトルクという 2 つの内力要素が断面に発生します。

縦力の図 Nとトルク Mz図に示されています。 2.72、 b、c。この場合、危険箇所の位置を図から判断します。 Nそして Mz梁部分の断面寸法が異なるため不可能です。危険なセクションの位置を決定するには、梁の長さに沿った垂直せん断応力と最大せん断応力の図を作成する必要があります。

式によると

梁の断面の法線応力を計算し、図を作成します (図 2.72、 G).

式によると

梁の断面の最大接線応力を計算し、図を作成します。たぁ(図* 2.72、 d)。

おそらく危険な点は、セクションの断面の輪郭点です。 ABそして CD(図 2.72 を参照) A)。

図では、 2.72、 e図が示されています σ そして τ 断面用 AB.

この場合（円形断面の梁は引張、圧縮、ねじれの複合作用の下で動作します）、断面輪郭のすべての点が同様に危険であることを思い出してください。

図では、 2.72、 そして

図では、 2.72、 h断面図を図a、tに示します。 CD。

図では、 2.72、 そして危険な点における元の場所の電圧が表示されます。

セクション内の危険な点における主応力 CD：

モールの強度仮説によると、検討中のセクションの危険点の等価応力は次のようになります。

断面ABの断面の輪郭点が危険であることが判明しました。

強度条件の形式は次のとおりです。

例2.76。許容力値の決定 Rロッドの強さの状況から太陽(図 2.73) ロッドの材質は引張強度 σ vr = 150 N/mm 2、圧縮強度 σ sun = 450 N/mm 2 の鋳鉄です。必要な安全率 [ n] = 5.

注記。 壊れた木材 ABC水平面内に位置し、ロッド ABに垂直 太陽。パワーズ R、2R、8R垂直面に横たわります。強さ 0.5R、1.6R- ロッドに対して水平および垂直 太陽;強さ 10R、16Rロッドの軸と一致する太陽; モーメント m = 25Pd を持つ一対の力は、ロッドの軸に垂直な垂直面に位置します。 太陽。

解決

強さをもたらしましょう R断面Bの重心まで0.5P。

それ自体に平行な力 P を点 B に伝達するには、力のモーメントと等しいモーメントを持ついくつかの力を追加する必要があります。 R点に対してで、つまり、モーメント m 1 = 10 のペア Pd.

強さ 0.5Rその作用線に沿って点Bまで移動します。

ロッドに作用する荷重 太陽、図に示されています。 2.74、あ.

ロッドの内力係数の図を作成します 太陽。ロッドに指定された荷重がかかると、その断面に次の 6 つの力が発生します: 縦力 N、せん断力 Qxそして Qyさんトルク Mz曲げモーメント MXそしてムー.

図表 N、Mz、Mx、Muを図に示します。 2.74、 b(図の縦軸は、 Rそして d).

図表 Qyそして Qx横方向の力に対応する接線方向の応力は小さいため、構築しません。

検討中の例では、危険セクションの位置は明らかではありませんが、おそらくセクション K (セクションの終わり) です。私）とS.

点 L における主応力:

モールの強度仮説によると、点 L の等価応力は

図に個別に示したセクション C の曲げモーメント Pie の大きさと作用面を決定してみましょう。 2.74、 d。同じ図に σ И、σ N、 τ セクションCの場合。

その時点での元のサイトにストレスがかかる N(図2.74、 e)

ある点における主応力 N:

モールの強度仮説によると、点の等価応力は N

点 E における元の部位の応力 (図 2.74、 そして）：

点 E における主応力:

モールの強度仮説によると、点 E の等価応力は

その点が危険であることが判明した L、誰のために

強度条件の形式は次のとおりです。

秘密の質問そしてタスク

1. 曲げとねじりの複合作用により、シャフトの断面にはどのような応力状態が発生しますか?

2. シャフトを計算するための強度条件を記述します。

3. 最大接線応力の仮説と形状変化エネルギーの仮説に従って計算する場合の等価モーメントを計算する式を書きます。

4. 立坑を計算する際に危険セクションはどのように選択されますか?

導入。

曲げは、外力や温度の影響下での変形可能な物体 (梁、梁、スラブ、シェルなど) の軸または中間面の曲率 (曲率の変化) を特徴とする変形の一種です。曲げは、ビームの断面における曲げモーメントの発生に関連しています。梁の断面における 6 つの内力係数のうち、1 つの曲げモーメントだけがゼロでない場合、その曲げは純粋であると呼ばれます。

梁の断面に曲げモーメントに加えて横方向の力も存在する場合、その曲げは横方向と呼ばれます。

エンジニアリングの実践では、曲げの特殊なケースである縦方向 I も考慮されます。( 米。 1、c)、長手方向の圧縮力の作用下でロッドが座屈することを特徴とします。ロッドの軸に沿った力とロッドの軸に垂直な力の同時作用により、縦横の曲がりが生じます ( 米。 1、G）。

米。 1. ビームの曲がり: a - きれい: b - 横方向。 c - 縦方向。 g - 縦横。

曲がる梁を梁といいます。変形後もビームの軸が平らな線のままである場合、その曲げは平坦であると呼ばれます。ビームの湾曲した軸の位置平面は、曲げ平面と呼ばれます。荷重力の作用面は力面と呼ばれます。力の平面が断面の主慣性平面の 1 つと一致する場合、その曲がりは真っ直ぐであると呼ばれます。（そうしないと斜めに曲がってしまいます。）断面の主慣性面は、断面の主軸の 1 つとビームの長手方向の軸によって形成される平面です。フラット時まっすぐに曲がる曲げ平面と力平面は一致します。

梁のねじれと曲がりの問題 (サン・ヴェナン問題) は、実用上非常に興味深いものです。ナビエによって確立された曲げ理論の応用は広大な分野を構成します構造力学そして巨大な実用的な重要性、梁、橋梁、機械要素など、構造物のさまざまな部分の寸法を計算し、強度を確認するための基礎として機能するためです。

弾性理論の基本方程式と問題

§ 1. 基本方程式

まず、弾性体の平衡問題の基本方程式の概要を説明します。これは、通常、弾性体の静力学と呼ばれる弾性理論のセクションの内容を形成します。

物体の変形状態は、変形場テンソルまたは変位場によって完全に決定されます。変形テンソルの成分微分コーシー依存関係による変位に関連付けられています。

(1)

変形テンソルの成分は、Saint-Venant 微分依存関係を満たす必要があります。

これらは、方程式 (1) の可積分性のための必要十分条件です。

体のストレス状態はストレスフィールドテンソルによって決まります対称テンソルの 6 つの独立した成分 () は次の 3 つの微分平衡方程式を満たさなければなりません。

応力テンソルの成分 そして動きフックの法則の 6 つの方程式で結び付けられます。

場合によっては、フックの法則の方程式を公式の形式で使用する必要があります。

, (5)

式 (1) ～ (5) は、弾性理論における静的問題の基本方程式です。方程式 (1) と (2) は、幾何方程式、方程式と呼ばれることもあります。 ( 3) は静的方程式、方程式 (4) または (5) は物理方程式です。線形弾性体の体積の内部点での状態を決定する基本方程式に、その表面上の条件を追加する必要があります。これらの条件は境界条件と呼ばれます。それらは、与えられた外部表面力によって決定されます。または指定された動き体の表面にある点。最初のケースでは、境界条件は次の等式で表されます。

ベクトル成分はどこにありますか t 表面力、 - 単位ベクトルの成分 n, 表面の外側法線に沿って方向付けられる問題の時点で。

2 番目のケースでは、境界条件は次の等式で表されます。

どこ - 表面上で指定された機能。

境界条件は、一部の場合には混合の性質を持つこともあります。外部表面力はボディの表面に指定されますそしてもう一方の部分ではボディの表面には変位が与えられます。

他のタイプの境界条件も可能です。たとえば、物体表面の特定の領域では、変位ベクトルの一部の成分のみが指定され、さらに、表面力ベクトルのすべての成分が指定されるわけではありません。

§ 2. 弾性体の静力学に関する主な問題

境界条件の種類に応じて、弾性理論における基本的な静的問題は 3 種類に区別されます。

最初のタイプの主なタスクは、応力場テンソルの成分を決定することです。エリア内で , ボディが占める、およびエリア内の点の移動ベクトルの成分および表面点与えられた質量力に応じた物体そして表面力

必要な 9 つの関数は、基本式 (3)、(4)、および境界条件 (6) を満たさなければなりません。

2 番目のタイプの主なタスクは、動きを決定することです。エリア内のポイントおよび応力場のテンソル成分与えられた質量力に応じてそして体表の指定された動きに従って。

探している機能そしては、基本式 (3) および (4) と境界条件 (7) を満たさなければなりません。

境界条件 (7) は、定義された関数の連続性の要件を反映していることに注意してください。国境でボディ、つまり内部ポイントのとき関数は表面上のどこかの点に集中する傾向がありますは、表面上の特定の点で特定の値に向かう傾向がある必要があります。

3 番目のタイプまたは混合問題の主な問題は、体表面の一部に与えられた表面力がかかることです。そして、体表面の別の部分の所定の変位に従って、また一般的に言えば、所定の質量力に従って応力テンソルと変位テンソルの成分を決定する必要があります。 , 混合境界条件 (8) が満たされる場合、基本式 (3) および (4) が満たされます。

この問題の解決策が得られたので、特に接続の力を決定することができます。 , このサーフェス上で指定された変位を実現するには、サーフェスの点に適用する必要があります。また、サーフェスの点の変位を計算することもできます。 . コースワーク >> 産業・生産

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