直角三角形: 概念と特性。 直角三角形

中級

直角三角形。 完全イラストガイド (2019)

長方形の三角形。 エントリーレベル。

問題では、直角はまったく必要ありません - 左下なので、この形で直角三角形を認識することを学ぶ必要があります。

そしてこの中で

そしてこの中で

直角三角形の何が良いのですか？ さて...まず第一に、特別なものがあります 美しい名前彼の側のために。

描き下ろしにも注目！

覚えておいて、混同しないようにしてください。 脚は 2 本ありますが、斜辺は 1 つだけです（唯一無二、ユニーク、そして最長）！

さて、名前について説明しましたが、ここで最も重要なことは、ピタゴラスの定理です。

ピタゴラスの定理。

この定理は、直角三角形に関する多くの問題を解く鍵となります。 それは太古の昔にピタゴラスによって証明され、それ以来、それを知る人々に多くの恩恵をもたらしてきました。 そして最も良い点は、それがシンプルであるということです。

それで、 ピタゴラスの定理:

「ピタゴラスパンツはどの面でも等しい！」というジョークを覚えていますか?

同じピタゴラスパンツを描いて見てみましょう。

何かのショートパンツのように見えませんか？ さて、どちらの側とどこが等しいでしょうか? そのジョークはなぜ、どこから来たのでしょうか? そして、このジョークは正確にはピタゴラスの定理、より正確にはピタゴラス自身が定理を定式化した方法と関連しています。 そして彼はそれを次のように定式化しました。

"和 正方形の面積、脚に基づいて構築され、次と等しい 正方形の領域、斜辺の上に構築されます。」

本当に少し違うように聞こえますか？ それで、ピタゴラスが彼の定理の記述を描いたとき、これはまさにそのような絵が出てきました。

この図では、小さな正方形の面積の合計は、大きな正方形の面積に等しくなります。 そして、脚の二乗の和が斜辺の二乗に等しいということを子供たちによく覚えてもらうために、機知に富んだ誰かがピタゴラスのパンツに関するこんなジョークを思いつきました。

なぜ私たちは今ピタゴラスの定理を定式化しているのでしょうか?

ピタゴラスは苦しみながら正方形について話しましたか?

ご存知のとおり、古代には代数は存在しませんでした。 標識等はありませんでした。 碑文はありませんでした。 古代の貧しい学生たちが、すべてを言葉で記憶することがどれほど恐ろしいことだったか想像できますか??! そして、ピタゴラスの定理を簡単に定式化できたことを喜ぶことができます。 よりよく覚えておくために、もう一度繰り返してみましょう。

これで簡単になるはずです。

斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい。

さて、直角三角形に関する最も重要な定理については説明しました。 それがどのように証明されるかに興味がある場合は、次のレベルの理論を読んでください。そして、さらに奥へ進みましょう...暗い森の中へ...三角法! サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントという恐ろしい言葉に。

直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント。

実際、すべてはそれほど怖いものではありません。 もちろん、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの「実際の」定義については、この記事で確認する必要があります。 でも本当はしたくないんですよね？ うれしいことに、直角三角形に関する問題を解決するには、次の簡単な項目を入力するだけで済みます。

なぜすべてが角を曲がったところにあるのですか？ 角はどこですか？ これを理解するには、ステートメント 1 ～ 4 が単語でどのように記述されるかを知る必要があります。 見て、理解して、覚えてください！

1.
実際には次のように聞こえます。

角度はどうでしょうか？ コーナーの反対側にある脚、つまり（角度に対して）反対側の脚はありますか? もちろんありますよ！ これは脚です！

角度はどうでしょうか？ よく見てください。 どの脚が角に隣接していますか? もちろん足も。 これは、その角度で脚が隣接していることを意味し、

さあ、注目してください！ 何が得られたかを見てください:

どれだけクールか見てみましょう:

さて、接線と余接に移りましょう。

これを今どうやって言葉で書き表せばいいのでしょうか？ 角度に対して脚は何ですか? もちろん、反対側です - それは角の反対側に「横たわっています」。 脚はどうですか？ 角に隣接しています。 それで、私たちは何を手に入れたでしょうか？

分子と分母が入れ替わっているのがわかりますか?

そして今度はコーナーが再び行われ、交換が行われました。

再開する

学んだことをすべて簡単に書き留めてみましょう。

ピタゴラスの定理:

直角三角形に関する主定理はピタゴラスの定理です。

ピタゴラスの定理

ところで、脚と斜辺とは何か、よく覚えていますか？ あまり良くない場合は、写真を見て知識を新たにしてください。

ピタゴラスの定理をすでに何度も使ったことがあるかもしれませんが、なぜそのような定理が成り立つのか疑問に思ったことはありますか? どうすれば証明できますか? 古代ギリシャ人のようにしましょう。 一辺のある正方形を描きましょう。

側面を長さに応じて巧みに分割した様子をご覧ください。

マークされた点を結んでみましょう

ただし、ここで私たちは別のことに気づきましたが、あなた自身が図面を見て、なぜそうなるのか考えてください。

大きい方の正方形の面積はどれくらいですか? 右、 。 より小さなエリアではどうでしょうか？ 確かに、 。 四隅の合計面積は残ります。 一度に 2 つを取り出し、斜辺で互いに立てかけたところを想像してください。 どうしたの？ 長方形が 2 つあります。 これは、「カット」の面積が等しいことを意味します。

では、すべてをまとめてみましょう。

変換しましょう:

そこで私たちはピタゴラスを訪ね、彼の定理を古代の方法で証明しました。

直角三角形と三角関数

直角三角形の場合、次の関係が成り立ちます。

鋭角の正弦は斜辺の反対側の比に等しい

鋭角の余弦は、隣接する脚と斜辺の比に等しくなります。

鋭角の正接は、隣接する辺に対する反対側の辺の比に等しい。

鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比に等しい。

そしてもう一度、これらすべてがタブレットの形で表示されます。

とても便利ですよ！

直角三角形の等価性の兆候

I. 両面

II. 脚と斜辺による

Ⅲ． 斜辺と鋭角による

IV. 脚に沿って鋭角に

a)

b)

注意！ ここで脚が「適切」であることが非常に重要です。 たとえば、次のようになった場合:

そうすると三角形は等しくない 1 つの同一の鋭角を持っているにもかかわらず。

必要なのは、 両方の三角形で脚が隣接していたか、両方とも反対側でした.

直角三角形の等号の記号が通常の三角形の等号の記号とどのように異なるかに気づいたでしょうか? 「普通の」三角形が等しいためには、2 つの辺とそれらの間の角度、2 つの角度とそれらの間の辺、または 3 つの辺の 3 つの要素が等しくなければならないという事実に注目してください。 しかし、直角三角形が等しくなるには、対応する要素が 2 つだけあれば十分です。 すごいですよね？

状況は直角三角形の相似の符号とほぼ同じです。

直角三角形の相似の兆候

I. 鋭角に沿って

II. 両面に

Ⅲ． 脚と斜辺による

直角三角形の中央値

なぜそうなるのでしょうか?

直角三角形の代わりに、長方形全体を考えてみましょう。

対角線を描き、点、つまり対角線の交点を考えてみましょう。 長方形の対角線について何を知っていますか?

そしてこれから何が起こるでしょうか？

それで判明したのは、

1. - 中央値:

この事実を覚えておいてください！ とても助かります！

さらに驚くべきことは、その逆も真であるということです。

斜辺に引かれた中央値が斜辺の半分に等しいという事実からどんな良いことが得られるでしょうか? 写真を見てみましょう

よく見てください。 つまり、点から三角形の 3 つの頂点すべてまでの距離は等しいことが判明しました。 しかし、三角形には点が 1 つだけあり、三角形の 3 つの頂点すべてからの距離が等しく、これが円の中心です。 それで何が起こったのでしょうか？

それでは、この「ついでに…」から始めましょう。

とを見てみましょう。

しかし、相似な三角形はすべて等しい角度を持っています。

とについても同じことが言えます

では、一緒に描いてみましょう。

この「三重」の類似性からどのような利点が得られるでしょうか?

たとえば、- 直角三角形の高さを求める公式は 2 つあります。

対応する当事者の関係を書き留めてみましょう。

高さを求めるには、比率を解き、次の結果を取得します。 最初の公式「直角三角形の高さ」:

そこで、類似性を適用してみましょう。

これから何が起こるでしょうか？

再び比率を解き、2 番目の式を取得します。

これらの公式を両方よく覚えて、より便利な方を使用する必要があります。 もう一度書き留めてみましょう

ピタゴラスの定理:

直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しくなります。

直角三角形の等価性の兆候:

• 両面:
• 脚と斜辺によって: または
• 脚に沿って隣接する鋭角: または
• 脚に沿って反対側の鋭角: または
• 斜辺と鋭角による: または。

直角三角形の類似性の兆候:

• 1 つの鋭角: または
• 2 本の脚の比例から:
• 脚と斜辺の比例から: または。

直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

• 直角三角形の鋭角の正弦は、斜辺に対する反対側の辺の比です。
• 直角三角形の鋭角のコサインは、隣接する脚と斜辺の比です。
• 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
• 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

直角三角形の高さ: または。

直角三角形の場合、頂点から引いた中央値 直角、斜辺の半分に等しい: 。

直角三角形の面積：

• 脚を介して:

意味。直角三角形 -角の 1 つが直角 ( に等しい) の三角形。

直角三角形は、通常の三角形の特殊なケースです。 したがって、直角三角形に対する通常の三角形のプロパティはすべて保持されます。 ただし、直角の存在による特有の特性もいくつかあります。

共通の名称 (図 1):

- 直角;

- 斜辺;

- 脚;

.

米。 1.

と直角三角形の性質.

プロパティ 1。 角度と直角三角形の合計は に等しい。

証拠。 任意の三角形の角度の合計は に等しいことを思い出してください。 という事実を考慮すると、残りの 2 つの角度の合計は次のようになります。

プロパティ 2。 直角三角形で 斜辺どれよりも 脚（は最大の辺です）。

証拠。 三角形では、大きい辺が大きい角の反対側にあることを思い出してください (逆も同様です)。 上記で証明されたプロパティ 1 から、角度と直角三角形の合計は に等しいことがわかります。 三角形の角度は 0 に等しくないため、それぞれの角度は より小さくなります。 これは、それが最大であることを意味し、三角形の最大の辺がその反対側にあることを意味します。 これは、斜辺が直角三角形の最長の辺、つまり であることを意味します。

プロパティ 3。 直角三角形では、斜辺は脚の合計より小さくなります。

証拠。 この性質は思い出してみれば明らかです 三角不等式.

三角不等式

どの三角形でも、2 つの辺の合計は 3 番目の辺よりも大きくなります。

性質 3 は、この不等式からすぐに得られます。

注記：それぞれの脚が斜辺よりも小さいという事実にもかかわらず、それらの合計はより大きくなることがわかります。 数値例では次のようになります。

V:

1 番目の記号 (2 つの側面とそれらの間の角度):三角形に等しい 2 つの辺とそれらの間の角度がある場合、そのような三角形は合同です。

2 番目のサイン (横に並んで 2 つ) 隣接する角度): 三角形の辺が等しく、特定の辺に隣接する 2 つの角度がある場合、そのような三角形は合同です。 注記：三角形の角度の合計が定数で に等しいという事実を使用すると、「隣接する」角度の条件が必要ないこと、つまり、次の定式化で符号が真になることを証明するのは簡単です。 ..辺と 2 つの角が等しい、すると...」。

3 番目のサイン (3 面):三角形の 3 つの辺がすべて等しい場合、その三角形は合同です。

当然のことながら、これらの記号はすべて直角三角形にも当てはまります。 ただし、直角三角形には 1 つの重要な特徴があります。それは、常に等しい直角のペアを持っているということです。 したがって、これらの標識は彼らのために簡略化されています。 それでは、直角三角形の等号の記号を定式化してみましょう。

1 番目の標識 (両面):直角三角形がペアごとに等しい脚を持つ場合、そのような三角形は互いに等しい (図 2)。

与えられる:

米。 2. 直角三角形の等価性の最初の記号の図

証明する：

証拠： V 直角三角形: 。 これは、三角形の等号の最初の記号 (2 つの辺とそれらの間の角度による) を使用して、次を取得できることを意味します。 .

2-番目の記号 (脚と角度による): 1 つの直角三角形の足と鋭角が別の直角三角形の足と鋭角に等しい場合、そのような三角形は合同です (図 3)。

与えられる:

米。 3. 直角三角形の等価性の 2 番目の記号の図

証明する：

証拠：等しい脚に隣接する角度が等しいという事実は基本的なものではないことにすぐに注意してください。 実際、直角三角形の鋭角の合計 (性質 1 による) は に等しくなります。 これは、これらの角度の一方のペアが等しい場合、もう一方のペアも等しいことを意味します (それらの合計が同じであるため)。

この特性の証明は、使用することでわかります。 三角形の等価性を示す 2 番目の記号(2つのコーナーと片側)。 実際、条件により、脚と隣接する角度のペアは等しいです。 ただし、隣接する角度の 2 番目のペアは、次の角度で構成されます。 。 これは、三角形が等しいかどうかの 2 番目の基準を使用すると、次の結果が得られることを意味します。 .

3 番目の記号 (斜辺と角度による): 1 つの直角三角形の斜辺と鋭角が別の直角三角形の斜辺と鋭角に等しい場合、そのような三角形は合同です (図 4)。

与えられる:

米。 4. 直角三角形の等価性の 3 番目の記号の図

証明する：

証拠：このサインを証明するには、すぐに使用できます 三角形の等価性を示す 2 番目の記号- 1 つの側面と 2 つの角度 (より正確には、角度が側面に隣接している必要はないという帰結)。 実際、条件によれば、 、 、直角三角形の性質から次のことがわかります。 。 これは、三角形が等しいかどうかの 2 番目の基準を使用すると、次の結果が得られることを意味します。 .

4 番目の記号 (斜辺と脚による): 1 つの直角三角形の斜辺と脚が、別の直角三角形の斜辺と脚にそれぞれ等しい場合、そのような三角形は互いに等しい (図 5)。

与えられる:

米。 5. 直角三角形の等価性の 4 番目の記号の図

証明する：

証拠：この基準を証明するために、前回のレッスンで定式化して証明した三角形の等しいかどうかの基準を使用します。つまり、三角形の 2 つの等しい辺とより大きな角度がある場合、その三角形は等しいです。 実際、条件によっては 2 つの等しい側面があります。 さらに、直角三角形の性質によれば、次のようになります。 。 直角が三角形の中で最大であることを証明することはまだ残っています。 これは当てはまらない、つまり より大きい角度が少なくとも 1 つ以上存在する必要があると仮定します。 しかし、その場合、三角形の角度の合計はすでに大きくなります。 しかし、これは不可能です。つまり、そのような角度は三角形には存在し得ないということです。 これは、直角三角形の中で直角が最も大きいことを意味します。 つまり、上で定式化した記号を使用すると、次のことが得られます。 .

ここで、直角三角形のみに特徴的なもう 1 つの特性を定式化してみましょう。

財産

の角度の反対側にある脚は斜辺より 2 倍小さい(図6)。

与えられる:

米。 6.

証明する：AB

証拠：追加の作図を実行してみましょう。直線を点を超えて、 に等しいセグメントまで延長します。 ポイントを取得しましょう。 角度 と は隣接しているため、それらの合計は に等しくなります。 以来、角度 。

つまり直角三角形 (2 つの側面: - 一般的、 - 構造による) - 直角三角形の等価性の最初の記号。

三角形が等しいことから、対応する要素はすべて等しいことがわかります。 手段、 。 どこ： 。 また、（同じ三角形の等式から）。 これは、三角形は二等辺三角形ですが（底角が等しいため）、角の 1 つが に等しい二等辺三角形は正三角形であることを意味します。 このことから、特に次のことがわかります。 .

ある角度の反対側にある脚のプロパティ

逆のステートメントも真であることに注意してください。直角三角形の斜辺が一方の脚のサイズの 2 倍である場合、この脚の反対側の鋭角は に等しいです。

注記： サインこれは、いずれかのステートメントが真であれば、三角形は直角であることを意味します。 つまり、この機能により直角三角形を識別することができます。

記号を混同しないことが重要です 財産- つまり、三角形が直角の場合、次の特性があります... 多くの場合、符号と特性は相互に逆になりますが、常にそうとは限りません。 たとえば、財産 正三角形: 正三角形には角度があります。 しかし、すべての三角形が角度を持つわけではないため、これは正三角形の兆候ではありません。、正三角形です。

解決 幾何学的な問題必要 莫大な量知識。 この科学の基本的な定義の 1 つは直角三角形です。

この概念は3つの角度から成り、

側面の角度の 1 つが 90 度であること。 直角をなす辺を脚といい、その反対側の3番目の辺を斜辺といいます。

このような図形の足が等しい場合、それは直角二等辺三角形と呼ばれます。 この場合、メンバーシップは 2 つあり、両方のグループのプロパティが観察されることを意味します。 二等辺三角形の底辺の角度は絶対に常に等しいので、そのような図形の鋭角には 45 度が含まれることを覚えておいてください。

次のいずれかの可用性 次のプロパティこれにより、ある直角三角形が別の直角三角形と等しいと言えます。

1. 2 つの三角形の辺は等しい。
2. これらの図は同じ斜辺と脚の 1 つを持っています。
3. 斜辺と鋭角のいずれかが等しい。
4. 脚と鋭角が等しいという条件が満たされます。

直角三角形の面積は、標準的な公式を使用することも、その脚の積の半分に等しい値として簡単に計算することもできます。

直角三角形では、次の関係が観察されます。

1. 脚は、斜辺とその斜辺への投影に比例する平均値にすぎません。
2. 直角三角形の周りに円を描く場合、その中心は斜辺の中央になります。
3. 直角から引いた高さは、三角形の脚の斜辺への投影に比例する平均です。

興味深いのは、直角三角形がどのようなものであっても、これらの特性が常に尊重されることです。

ピタゴラスの定理

上記の特性に加えて、直角三角形は次の条件によって特徴付けられます。

この定理は、その創始者であるピタゴラスの定理にちなんで名付けられました。 彼は、上に構築された正方形の性質を研究していたときにこの関係を発見しました。

定理を証明するために、三角形 ABC を作成します。その脚を a および b、斜辺を c とします。 次に 2 つの正方形を構築します。 1 つの場合、辺は斜辺となり、もう 1 つの場合、2 本の脚の合計になります。

次に、最初の正方形の面積は、4つの三角形ABCと2番目の正方形の面積の合計として、または辺の正方形として、という2つの方法で求めることができます。当然、これらの比率は等しくなります。 つまり:

2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 を使用して、結果の式を変換します。

c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

結果として、c 2 = a 2 + b 2 が得られます。

したがって、直角三角形の幾何学的図形は、三角形に特徴的なすべての特性に対応しているだけではありません。 直角の存在は、図形が他のユニークな関係を持っているという事実につながります。 彼らの研究は科学だけでなく、 日常生活, 直角三角形のような図形はどこにでもあるからです。

説明書

脚 a と b の反対側の角度は、それぞれ A と B で示されます。定義により、斜辺は直角の反対側の辺です (斜辺は他の辺と鋭角を形成します)。三角形）。 斜辺の長さを c で表します。

必要なものは次のとおりです。
電卓。

斜辺ともう一方の脚の値がわかっている場合は、脚に次の式を使用します: a=sqrt(c^2-b^2)。 この式は、三角形の斜辺の二乗が脚の二乗の和であるというピタゴラスの定理に由来しています。 sqrt 演算子は平方根を抽出します。 記号「^2」は 2 乗を意味します。

斜辺 (c) と目的の角度の反対側の角度 (この角度を A と表します) がわかっている場合は、公式 a=c*sinA を使用します。
斜辺 (c) と目的の脚に隣接する角度 (この角度を B として示します) がわかっている場合は、式 a=c*cosB を使用して脚を見つけます。
脚 b と目的の脚の反対側の角度が与えられた場合、a=b*tgA から脚を計算します (この角度を A と表すことに同意しました)。

ご注意ください：
問題の中で、説明されている方法のいずれでも脚が見つからない場合は、おそらくいずれかの方法に帰着することができます。

役立つヒント:
これらの式はすべてよく知られた定義から得られます。 三角関数そのため、万が一忘れてしまっても、簡単な操作でいつでもすぐに取り出すことができます。 最も一般的な角度 30、45、60、90、180 度の三角関数の値を知っておくことも役立ちます。

トピックに関するビデオ

出典:

• 『大学入学者のための数学マニュアル』編 G.N. ヤコブレワ、1982
• 直角三角形の脚

正方形の三角形は、より正確には直角三角形と呼ばれます。 この幾何学的図形の辺と角度の間の関係は、三角法の数学的分野で詳細に議論されます。

必要になります

• - 一枚の紙;
• - ペン;
• - ブラディステーブル;
• - 電卓。

説明書

探す 三角形ピタゴラスの定理を使って。 この定理によれば、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい: c2 = a2+b2 (c は斜辺) 三角形、a と b はその脚です。 これを適用するには、長方形の任意の 2 辺の長さを知る必要があります。 三角形.

条件で脚の寸法が指定されている場合は、斜辺の長さを求めます。 これを行うには、次を使用します 平方根脚の合計から計算します。最初にそれぞれの脚を 2 乗する必要があります。

斜辺ともう一方の脚の寸法がわかっている場合は、一方の脚の長さを計算します。 電卓を使用して、斜辺と斜辺の差の平方根を求めます。 有名な脚、これも二乗です。

問題が斜辺とそれに隣接する鋭角の 1 つを指定している場合は、Bradis テーブルを使用します。 三角関数の値を示します。 多数のコーナー サイン関数とコサイン関数、および辺と長方形の関係を説明する三角定理を備えた電卓を使用します。 三角形.

基本的な三角関数を使用して脚を求めます: a = c*sin α、b = c*cos α。ここで、a は角度 α の反対側の脚、b は角度 α に隣接する脚です。 辺のサイズも同様に計算します 三角形、斜辺と別の鋭角が与えられた場合: b = c*sin β、a = c*cos β、ここで b は角度 β の反対側の脚であり、角度 β に隣接する脚です。

a と隣接する鋭角 β の場合、直角三角形では鋭角の合計が常に 90° に等しいことを忘れないでください: α + β = 90°。 脚 a の反対側の角度の値を求めます: α = 90° – β。 または、三角関数の換算式を使用します。 sin α = sin (90° – β) = cos β; Tan α = Tan (90° – β) = ctg β = 1/tg β。

トピックに関するビデオ

出典:

• 2019年の足と鋭角から直角三角形の辺を見つける方法

ヒント 3: 直角三角形の鋭角を見つける方法

直接 炭酸系歴史的な観点から見ると、この三角形はおそらく最も有名なものの 1 つです。 幾何学的形状。 ピタゴラスの「パンツ」は「エウレカ」にしか太刀打ちできない！ アルキメデス。

必要になります

• - 三角形の描画;
• - 定規。
• - 分度器

説明書

三角形の角度の合計は 180 度です。 長方形で 三角形 1 つの角度 (直線) は常に 90 度であり、残りは鋭角です。 それぞれ90度未満。 長方形の角度を調べるには 三角形直線である場合は、定規を使用して三角形の辺を測定し、最大の辺を決定します。 それは斜辺 (AB) であり、直角 (C) の反対側に位置します。 残りの2辺は直角と脚(AC、BC)を形成します。

どの角度が鋭角であるかを特定したら、分度器を使用して角度を計算します。 数式.

分度器を使用して角度を決定するには、分度器の脚の中央にある定規の特別なマークに分度器の上部 (文字 A で示します) を合わせます。AC は上端と一致する必要があります。 分度器の半円部分に、斜辺ABが通過する点をマークします。 この点の値は、度単位の角度に対応します。 分度器に2つの値が表示されている場合、鋭角の場合は小さい方を選択し、鈍角の場合は大きい方を選択する必要があります。

Bradis の参考書で結果の値を見つけて、その結果の値がどの角度に対応するかを判断します。 数値。 私たちの祖母はこの方法を使っていました。

私たちの場合、計算関数で取るだけで十分です 三角関数の公式。 たとえば、組み込みの Windows 電卓です。 「電卓」アプリケーションを起動し、「表示」メニュー項目で「エンジニアリング」を選択します。 目的の角度の正弦を計算します。たとえば、sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

電卓ディスプレイの INV ボタンをクリックして電卓を逆関数モードに切り替え、次に逆正弦関数ボタンをクリックします (ディスプレイ上では sin から 1 乗を引いたものとして表示されます)。 次のメッセージが計算ウィンドウに表示されます: asind (0.5) = 30。 必要な角度の値は 30 度です。

中級

直角三角形。 完全イラストガイド (2019)

長方形の三角形。 エントリーレベル。

問題では、直角はまったく必要ありません - 左下なので、この形で直角三角形を認識することを学ぶ必要があります。

そしてこの中で

そしてこの中で

直角三角形の何が良いのですか？ さて…、まず、側面には特別な美しい名前があります。

描き下ろしにも注目！

覚えておいて、混同しないようにしてください。 脚は 2 本ありますが、斜辺は 1 つだけです（唯一無二、ユニーク、そして最長）！

さて、名前について説明しましたが、ここで最も重要なことは、ピタゴラスの定理です。

ピタゴラスの定理。

この定理は、直角三角形に関する多くの問題を解く鍵となります。 それは太古の昔にピタゴラスによって証明され、それ以来、それを知る人々に多くの恩恵をもたらしてきました。 そして最も良い点は、それがシンプルであるということです。

それで、 ピタゴラスの定理:

「ピタゴラスパンツはどの面でも等しい！」というジョークを覚えていますか?

同じピタゴラスパンツを描いて見てみましょう。

何かのショートパンツのように見えませんか？ さて、どちらの側とどこが等しいでしょうか? そのジョークはなぜ、どこから来たのでしょうか? そして、このジョークは正確にはピタゴラスの定理、より正確にはピタゴラス自身が定理を定式化した方法と関連しています。 そして彼はそれを次のように定式化しました。

"和 正方形の面積、脚に基づいて構築され、次と等しい 正方形の領域、斜辺の上に構築されます。」

本当に少し違うように聞こえますか？ それで、ピタゴラスが彼の定理の記述を描いたとき、これはまさにそのような絵が出てきました。

この図では、小さな正方形の面積の合計は、大きな正方形の面積に等しくなります。 そして、脚の二乗の和が斜辺の二乗に等しいということを子供たちによく覚えてもらうために、機知に富んだ誰かがピタゴラスのパンツに関するこんなジョークを思いつきました。

なぜ私たちは今ピタゴラスの定理を定式化しているのでしょうか?

ピタゴラスは苦しみながら正方形について話しましたか?

ご存知のとおり、古代には代数は存在しませんでした。 標識等はありませんでした。 碑文はありませんでした。 古代の貧しい学生たちが、すべてを言葉で記憶することがどれほど恐ろしいことだったか想像できますか??! そして、ピタゴラスの定理を簡単に定式化できたことを喜ぶことができます。 よりよく覚えておくために、もう一度繰り返してみましょう。

これで簡単になるはずです。

斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい。

さて、直角三角形に関する最も重要な定理については説明しました。 それがどのように証明されるかに興味がある場合は、次のレベルの理論を読んでください。そして、さらに奥へ進みましょう...暗い森の中へ...三角法! サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントという恐ろしい言葉に。

直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント。

実際、すべてはそれほど怖いものではありません。 もちろん、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの「実際の」定義については、この記事で確認する必要があります。 でも本当はしたくないんですよね？ うれしいことに、直角三角形に関する問題を解決するには、次の簡単な項目を入力するだけで済みます。

なぜすべてが角を曲がったところにあるのですか？ 角はどこですか？ これを理解するには、ステートメント 1 ～ 4 が単語でどのように記述されるかを知る必要があります。 見て、理解して、覚えてください！

1.
実際には次のように聞こえます。

角度はどうでしょうか？ コーナーの反対側にある脚、つまり（角度に対して）反対側の脚はありますか? もちろんありますよ！ これは脚です！

角度はどうでしょうか？ よく見てください。 どの脚が角に隣接していますか? もちろん足も。 これは、その角度で脚が隣接していることを意味し、

さあ、注目してください！ 何が得られたかを見てください:

どれだけクールか見てみましょう:

さて、接線と余接に移りましょう。

これを今どうやって言葉で書き表せばいいのでしょうか？ 角度に対して脚は何ですか? もちろん、反対側です - それは角の反対側に「横たわっています」。 脚はどうですか？ 角に隣接しています。 それで、私たちは何を手に入れたでしょうか？

分子と分母が入れ替わっているのがわかりますか?

そして今度はコーナーが再び行われ、交換が行われました。

再開する

学んだことをすべて簡単に書き留めてみましょう。

ピタゴラスの定理:

直角三角形に関する主定理はピタゴラスの定理です。

ピタゴラスの定理

ところで、脚と斜辺とは何か、よく覚えていますか？ あまり良くない場合は、写真を見て知識を新たにしてください。

ピタゴラスの定理をすでに何度も使ったことがあるかもしれませんが、なぜそのような定理が成り立つのか疑問に思ったことはありますか? どうすれば証明できますか? 古代ギリシャ人のようにしましょう。 一辺のある正方形を描きましょう。

側面を長さに応じて巧みに分割した様子をご覧ください。

マークされた点を結んでみましょう

ただし、ここで私たちは別のことに気づきましたが、あなた自身が図面を見て、なぜそうなるのか考えてください。

大きい方の正方形の面積はどれくらいですか? 右、 。 より小さなエリアではどうでしょうか？ 確かに、 。 四隅の合計面積は残ります。 一度に 2 つを取り出し、斜辺で互いに立てかけたところを想像してください。 どうしたの？ 長方形が 2 つあります。 これは、「カット」の面積が等しいことを意味します。

では、すべてをまとめてみましょう。

変換しましょう:

そこで私たちはピタゴラスを訪ね、彼の定理を古代の方法で証明しました。

直角三角形と三角関数

直角三角形の場合、次の関係が成り立ちます。

鋭角の正弦は斜辺の反対側の比に等しい

鋭角の余弦は、隣接する脚と斜辺の比に等しくなります。

鋭角の正接は、隣接する辺に対する反対側の辺の比に等しい。

鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比に等しい。

そしてもう一度、これらすべてがタブレットの形で表示されます。

とても便利ですよ！

直角三角形の等価性の兆候

I. 両面

II. 脚と斜辺による

Ⅲ． 斜辺と鋭角による

IV. 脚に沿って鋭角に

a)

b)

注意！ ここで脚が「適切」であることが非常に重要です。 たとえば、次のようになった場合:

そうすると三角形は等しくない 1 つの同一の鋭角を持っているにもかかわらず。

必要なのは、 両方の三角形で脚が隣接していたか、両方とも反対側でした.

直角三角形の等号の記号が通常の三角形の等号の記号とどのように異なるかに気づいたでしょうか? 「普通の」三角形が等しいためには、2 つの辺とそれらの間の角度、2 つの角度とそれらの間の辺、または 3 つの辺の 3 つの要素が等しくなければならないという事実に注目してください。 しかし、直角三角形が等しくなるには、対応する要素が 2 つだけあれば十分です。 すごいですよね？

状況は直角三角形の相似の符号とほぼ同じです。

直角三角形の相似の兆候

I. 鋭角に沿って

II. 両面に

Ⅲ． 脚と斜辺による

直角三角形の中央値

なぜそうなるのでしょうか?

直角三角形の代わりに、長方形全体を考えてみましょう。

対角線を描き、点、つまり対角線の交点を考えてみましょう。 長方形の対角線について何を知っていますか?

そしてこれから何が起こるでしょうか？

それで判明したのは、

1. - 中央値:

この事実を覚えておいてください！ とても助かります！

さらに驚くべきことは、その逆も真であるということです。

斜辺に引かれた中央値が斜辺の半分に等しいという事実からどんな良いことが得られるでしょうか? 写真を見てみましょう

よく見てください。 つまり、点から三角形の 3 つの頂点すべてまでの距離は等しいことが判明しました。 しかし、三角形には点が 1 つだけあり、三角形の 3 つの頂点すべてからの距離が等しく、これが円の中心です。 それで何が起こったのでしょうか？

それでは、この「ついでに…」から始めましょう。

とを見てみましょう。

しかし、相似な三角形はすべて等しい角度を持っています。

とについても同じことが言えます

では、一緒に描いてみましょう。

この「三重」の類似性からどのような利点が得られるでしょうか?

たとえば、- 直角三角形の高さを求める公式は 2 つあります。

対応する当事者の関係を書き留めてみましょう。

高さを求めるには、比率を解き、次の結果を取得します。 最初の公式「直角三角形の高さ」:

そこで、類似性を適用してみましょう。

これから何が起こるでしょうか？

再び比率を解き、2 番目の式を取得します。

これらの公式を両方よく覚えて、より便利な方を使用する必要があります。 もう一度書き留めてみましょう

ピタゴラスの定理:

直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しくなります。

直角三角形の等価性の兆候:

• 両面:
• 脚と斜辺によって: または
• 脚に沿って隣接する鋭角: または
• 脚に沿って反対側の鋭角: または
• 斜辺と鋭角による: または。

直角三角形の類似性の兆候:

• 1 つの鋭角: または
• 2 本の脚の比例から:
• 脚と斜辺の比例から: または。

直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

• 直角三角形の鋭角の正弦は、斜辺に対する反対側の辺の比です。
• 直角三角形の鋭角のコサインは、隣接する脚と斜辺の比です。
• 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
• 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

直角三角形の高さ: または。

直角三角形では、直角の頂点から引かれた中央値は斜辺の半分に等しくなります: 。

直角三角形の面積：

• 脚を介して: