帯分数はどのようなものですか? 分数、普通分数: 定義、表記法、例、分数を使ったアクション

私たちは学校で勉強を始めるよりもはるかに早い段階で分数に遭遇します。 丸ごとのリンゴを半分に切ると、果物の半分が得られます。 もう一度切りましょう - 1/4になります。 これらは分数です。 そして、すべてが単純に見えました。 大人向け。 子供にとって（そしてこのテーマは小学校の終わりから勉強され始めます）、抽象的な数学の概念はまだ恐ろしいほど理解できず、教師は適正分数と仮分数、公分数と小数とは何か、どのような演算が実行できるのかを明確に説明する必要があります。そして最も重要なことは、なぜこれが必要なのかということです。

分数とは何ですか?

知り合う 新しいトピック学校ではから始まります 普通の分数。 これらは、2 つの数字を上下に区切る水平線によって簡単に認識されます。 上のものは分子、下のものは分母と呼ばれます。 不適切な普通の分数と適切な普通の分数を書くための小文字のオプションもあります - スラッシュを使用して、たとえば、 1/2、4/9、384/183 のようにします。 このオプションは、行の高さに制限があり、「2 階建て」の入力フォームを使用できない場合に使用されます。 なぜ？ はい、そのほうが便利だからです。 これについては少し後で説明します。

普通の分数に加えて、小数の分数もあります。 それらを区別するのは非常に簡単です。ある場合には水平線またはスラッシュが使用され、別の場合には一連の数値を区切るためにカンマが使用されます。 例を見てみましょう: 2.9; 163.34; 1.953。 数値を区切るための区切り文字として意図的にセミコロンを使用しました。 最初のものは次のようになります:「2 ポイント 9」。

新しい概念

普通の分数に戻りましょう。 2 種類あります。

意味 適切な分数これは分子が分母より小さい分数です。 これがなぜ重要なのでしょうか? それでは見てみましょう！

あなたは半分に切られたリンゴをいくつか持っています。 合計 - 5 つの部分。 あなたは、リンゴを「2 個半」持っていますか、それとも「5 個半」持っていますか? もちろん、最初のオプションの方が自然に聞こえるので、友人と話すときに使用します。 しかし、各人が得られる果物の数を計算する必要がある場合、会社に 5 人いる場合、5/2 という数字を書き留めて、それを 5 で割ります。数学的な観点から見ると、これはより明確になります。 。

したがって、適切な分数と不適切な分数の名前の規則は次のとおりです。分数 (14/5、2/1、173/16、3/3) で全体の部分を区別できる場合、それは不適切です。 1/2、13/16、9/10 の場合のように、これができない場合は、正しくなります。

分数の主な性質

分数の分子と分母を同時に同じ数で乗算または除算しても、その値は変わりません。 想像してみてください。彼らはケーキを 4 等分に切って、あなたに 1 つ渡しました。 彼らは同じケーキを 8 つの部分に切り、あなたに 2 つ渡しました。 それは本当に重要ですか？ 結局のところ、1/4 と 2/8 は同じものなのです。

削減

数学の教科書の問題や例の作成者は、書くのは面倒だが実際には省略できる分数を提示して生徒を混乱させようとすることがよくあります。 これは適切な分数の例です。167/334 ですが、これは非常に「恐ろしく」見えるでしょう。 しかし、実際には 1/2 と書くことができます。 数値 334 は剰余なしで 167 で割り切れます。この演算を実行すると、2 が得られます。

帯分数

仮分数は次の形式で表すことができます。 帯分数。 これは、部分全体を前方に持ってきて、水平線のレベルで書く場合です。 実際、この式は合計の形式をとります: 11/2 = 5 + 1/2; 13/6 = 2 + 1/6 など。

全体を取り出すには、分子を分母で割る必要があります。 除算の残りを上、線の上、および式の前に部分全体を書きます。 したがって、整数単位 + 固有分数という 2 つの構造部分が得られます。

逆演算を実行することもできます。これを行うには、整数部分に分母を乗算し、その結果の値を分子に加算する必要があります。 何も複雑なことはありません。

掛け算と割り算

奇妙なことに、分数の掛け算は足し算よりも簡単です。 必要なのは、水平線を延長することだけです: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5。

割り算もすべて簡単です。(7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16 のように、分数を横に掛ける必要があります。

分数の加算

加算を実行する必要がある場合、またはその分母が 異なる数字? 乗算と同じことを行うのは機能しません。ここでは、適切な分数の定義とその本質を理解する必要があります。 項を共通の分母にする必要があります。つまり、両方の分数の下位部分に同じ数値が含まれている必要があります。

これを行うには、分数の基本的な性質を使用する必要があります。つまり、両方の部分に同じ数値を掛けます。 たとえば、2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = 1/2 となります。

項をどの分母に減らすかを選択するにはどうすればよいですか? これは、分数の分母の両方の数値の倍数である最小数値でなければなりません。1/3 と 1/9 の場合は 9 になります。 1/2 と 1/7 - 14 の場合、剰余なしで 2 と 7 で割り切れる小さい値はないためです。

使用法

仮分数は何に使われますか? 結局のところ、すぐに部分全体を選択し、混合数を取得して完了する方がはるかに便利です。 2 つの分数を乗算または除算する必要がある場合は、不規則な分数を使用する方が有益であることがわかります。

次の例を見てみましょう: (2 + 3/17) / (37 / 68)。

まったくカットするものがないように見えます。 しかし、足し算の結果を最初の括弧内に仮分数として書いたらどうなるでしょうか? 見てください: (37/17) / (37/68)

これで、すべてが所定の位置に収まりました。 すべてが明らかになるように例を書いてみましょう: (37*68) / (17*37)。

分子と分母の 37 を消去し、最後に上下を 17 で割ってみましょう。 仮分数と仮分数の基本的なルールを覚えていますか? 分子と分母を同時に行う限り、任意の数で乗算と除算を行うことができます。

したがって、答えは 4 になります。この例は複雑に見えましたが、答えには数字が 1 つだけ含まれています。 こういうことは数学ではよく起こります。 重要なことは、恐れず、簡単なルールに従うことです。

よくある間違い

実装する際、学生はよくある間違いを簡単に犯す可能性があります。 通常、それらは不注意によって起こりますが、時には勉強した内容がまだ頭の中に適切に保存されていないという事実によって起こります。

多くの場合、分子の数値を合計すると、その個々の成分を削減したくなることがあります。 例で言うと、(13 + 2) / 13 は括弧なし (横線あり) で書かれていますが、多くの学生は経験不足のため、上下の 13 を取り消します。 しかし、これは重大な間違いであるため、いかなる状況でも行うべきではありません。 加算の代わりに乗算記号がある場合、答えには数値 2 が得られます。ただし、加算を実行する場合、いずれかの項を使用した演算は許可されず、合計の演算のみが許可されます。

男性は分数の割り算でもよく間違えます。 2 つの適切な既約分数を取得して、互いに割ってみましょう: (5/6) / (25/33)。 生徒はこれを混ぜ合わせて、結果の式を (5*25) / (6*33) として書くことができます。 ただし、これは乗算で発生しますが、この場合はすべてが多少異なります: (5*33) / (6*25)。 可能なものは減らします、そして答えは11/10になります。 結果の仮分数を小数として 1.1 と書きます。

括弧

どのような数式でも、演算の順序は演算記号の優先順位と括弧の有無によって決まることに注意してください。 他のすべての条件が等しい場合、アクションの順序は左から右に数えられます。 これは分数にも当てはまります。分子または分母の式はこの規則に従って厳密に計算されます。

結局のところ、これはある数値を別の数値で割った結果です。 均等に分割されていない場合は、分数になります。それだけです。

パソコンで分数を書く方法

なぜなら 標準的な手段 2 つの「層」で構成される分数を作成できるとは限りません。生徒はさまざまなトリックに頼ることもあります。 たとえば、分子と分母をペイント グラフィック エディタにコピーし、それらを貼り合わせて、分子と分母の間に水平線を描きます。 もちろん、もっと簡単なオプションもあります。ちなみに、このオプションでは、多くの機能が提供されます。 追加機能、将来的に役立つでしょう。

Microsoft Wordを開きます。 画面上部のパネルの 1 つは「挿入」と呼ばれるもので、それをクリックします。 右側、ウィンドウを閉じるアイコンと最小化アイコンがある側に、「式」ボタンがあります。 これこそまさに私たちが必要としているものなのです！

この機能を使用すると、画面上に長方形の領域が表示され、そこで任意の操作を行うことができます。 数学的記号、キーボードにない、分数も古典的な形式で書きます。 つまり、分子と分母を水平線で区切ります。 適切な分数がこれほど簡単に書けることに驚かれるかもしれません。

数学を学ぶ

5 年生から 6 年生であれば、すぐに多くの教科で数学の知識 (分数を扱う能力も含む!) が必要になります。 物理学におけるほとんどすべての問題、化学、幾何学、三角法で物質の質量を測定する場合、分数なしでは対処できません。 すぐに、式を紙に書き出すことなく、頭の中ですべてを計算できるようになりますが、ますます多くのことが起こります。 複雑な例。 したがって、適切な分数とは何か、そしてそれをどのように扱うかを学び、次のことを続けてください。 カリキュラム、時間通りに宿題をやれば成功します。

単位の分数であり、次のように表されます。 \frac(a)(b).

分数 (a) の分子- 分数線の上にある数字で、単元が分割された株式数を示します。

分数の分母(b)- 分数の線の下にある数字で、単位が何部分に分割されているかを示します。

ショーを隠す

分数の主な性質

ad=bc の場合、2 つの分数 \frac(a)(b)そして \frac(c)(d)は同等とみなされます。 たとえば、分数は等しくなります \frac35そして \frac(9)(15)、 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 なので、 \frac(12)(7)そして \frac(24)(14)、 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 なので。

分数の等しいという定義から、分数は等しいということになります。 \frac(a)(b)そして \frac(am)(bm)なぜなら、a(bm)=b(am) は、実際に自然数を乗算する際の結合性と可換性の性質を使用する明確な例だからです。

手段 \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- これはこんな感じです 分数の主な性質.

言い換えれば、元の分数の分子と分母に同じ自然数を乗算または除算することで、指定された分数と等しい分数が得られます。

分数の約定分数を置き換えるプロセスです。新しい分数は元の分数と同じですが、分子と分母が小さくなります。

分数の基本的な性質に基づいて分数を約分するのが通例です。

例えば、 \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(分子と分母を数値 3 で割ります); 結果の分数は、5 で割ることによって再び減らすことができます。 \frac(15)(20)=\frac 34.

既約分数形式の一部です \frac 34、分子と分母は相互に一致します 素数。 分数を約分する主な目的は、分数を既約化することです。

分数を共通の分母に還元する

例として 2 つの分数を考えてみましょう。 \frac(2)(3)そして \frac(5)(8)分母 3 と 8 が異なります。 これらの分数を共通の分母にするには、まず分数の分子と分母を掛けます。 \frac(2)(3) 8時までに。 次の結果が得られます。 \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24)。 次に、分数の分子と分母を掛けます。 \frac(5)(8) 3までに。 結果として、次のことが得られます。 \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24)。 したがって、元の分数は公分母 24 に減算されます。

普通の分数の算術演算

普通の分数の加算

a) 分母が同じ場合、最初の分数の分子が 2 番目の分数の分子に加算され、分母は同じままになります。 例から分かるように:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) いつ 分母が異なる分数はまず公分母に減算され、次にルール a) に従って分子が加算されます。

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

分数の引き算

a) 分母が同じ場合は、分母をそのままにして、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引きます。

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) 分数の分母が異なる場合は、まず分数を共通の分母にし、次にポイント a) と同様にアクションを繰り返します。

公用分数の掛け算

分数の乗算は次の規則に従います。

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

つまり、分子と分母を別々に乗算します。

例えば：

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

分数の割り算

分数は次のように分割されます。

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

つまり分数 \frac(a)(b)分数を掛ける \frac(d)(c).

例： \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

逆数

ab=1 の場合、数値 b は次のようになります。 逆数 数字aについては。

例: 数字 9 の逆数は次のようになります。 \frac(1)(9)、 なぜなら 9\cdot\frac(1)(9)=1、数字の 5 の場合 - \frac(1)(5)、 なぜなら 5\cdot\frac(1)(5)=1.

小数

10進数分母が 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n である固有分数と呼ばれます。

例えば： \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

分母が 10^n の不規則な数や帯分数も同様に書きます。

例えば： 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

分母が 10 の特定の累乗の約数である普通の分数は、小数として表されます。

例: 5 は 100 の約数なので、分数になります \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

小数の算術演算

小数の加算

2 つの小数を加算するには、互いに同じ桁が並び、カンマの下にカンマが来るように整列し、通常の数値と同様に分数を加算する必要があります。

小数の引き算

加算と同様に実行されます。

小数の乗算

乗算するとき 10進数カンマに注意を払わずに、指定された数値を乗算するだけで十分です ( 自然数)、結果として得られる答えでは、右側のカンマによって、両方の要素の合計の小数点以下の桁数が区切られます。

2.7 に 1.3 を掛けてみましょう。 27 \cdot 13=351 があります。 右側の 2 桁はカンマで区切ります (最初と 2 番目の数値の小数点以下は 1 桁です。1+1=2)。 結果として、2.7 \cdot 1.3=3.51 が得られます。

結果の結果に含まれる桁数がカンマで区切る必要がある桁数よりも少ない場合は、欠落しているゼロが前に書き込まれます。次に例を示します。

10、100、1000 を掛けるには、小数点を 1、2、3 桁右に移動する必要があります (必要に応じて、特定の数のゼロが右に割り当てられます)。

例: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700。

小数の除算

小数を自然数で割るのは、自然数を自然数で割るのと同じ方法です。 商のカンマは、全体の分割が完了した後に配置されます。

配当の整数部分の場合 除数より小さいの場合、答えはゼロの整数になります。次に例を示します。

小数を小数で割る方法を見てみましょう。 2.576 を 1.12 で割る必要があるとします。 まず、分数の被除数と除数に 100 を掛けます。つまり、被除数と除数の小数点を、除数の小数点以下の桁数だけ右に移動します。 この例では 2人まで)。 次に、分数 257.6 を自然数 112 で割る必要があります。つまり、問題はすでに検討されているケースに帰着します。

最終結果が必ずしも得られるとは限らない 10進数ある数値を別の数値で割るとき。 結果は無限小数になります。 このような場合は、普通の分数に進みます。

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

分子、で割ったものが分母です。

分数を書くには、まず分子を書き、次に数字の下に水平線を引き、その線の下に分母を書きます。 分子と分母を区切る水平線を分数線と呼びます。 斜めの「/」や「∕」で描かれることもあります。 この場合、分子は行の左側に、分母は右側に書かれます。 したがって、たとえば、「3 分の 2」という分数は 2/3 と表記されます。 わかりやすくするために、通常、分子は行の一番上に書かれ、分母は一番下に書かれます。つまり、2/3 の代わりに 2/3 が表示されます。

分数の積を計算するには、まず分子に 1 を掛けます。 分数分子までが違います。 結果を新しい変数の分子に書き込みます。 分数。 この後、分母を掛けます。 新しい欄に合計値を入力します 分数。 例えば1/3とか？ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)。

ある分数を別の分数で割るには、まず最初の分数の分子と 2 番目の分数の分母を掛けます。 2 番目の分数 (除数) についても同じことを行います。 または、すべてのアクションを実行する前に、都合がよければ、まず除数を「反転」します。分子の代わりに分母が表示されます。 次に、被除数の分母に除数の新しい分母を乗算し、分子を乗算します。 たとえば、1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3)。

出典:

• 基本的な分数の問題

小数は次のように表現できます。 さまざまな形で数量の正確な値。 分数でも同じことができます 数学的演算、整数と同様に、減算、加算、乗算、除算が行われます。 決断することを学ぶために 分数、その特徴のいくつかを覚えておく必要があります。 種類によって異なります 分数、パーツ全体の存在、 共通点。 一部の算術演算では、実行後に結果の小数部を減算する必要があります。

必要になります

• - 電卓

説明書

数字をよく見てください。 分数の中に小数と不規則な分数が含まれる場合、最初に小数で演算を実行してから、それらを不規則な形に変換する方が便利な場合があります。 翻訳していただけますか 分数最初はこの形式で、分子に小数点以下の値を書き込み、分母に 10 を入れます。 必要に応じて、上下の数値を 1 つの約数で割って分数を減らします。 全体が分離された分数は、分母を乗算し、結果に分子を加算することによって、間違った形式に変換する必要があります。 この値が新しい分子になります 分数。 最初に間違った部分から全体を選択するには 分数、分子を分母で割る必要があります。 からの結果全体を書き込みます 分数。 そして、割り算の残りが新しい分子、分母になります。 分数それは変わりません。 分数の場合 全体最初に整数に対して、次に小数部分に対して個別にアクションを実行することができます。 たとえば、1 2/3 と 2 ¾ の合計は次のように計算できます。
- 分数を間違った形式に変換する:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- 項の整数部分と小数部分を個別に合計:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

「:」区切り文字を使用してこれらを書き換えて続行します 通常の分割.

最終結果を得るには、分子と分母を 1 つの整数 (この場合は可能な最大) で割って、結果の分数を減らします。 この場合、線の上下に整数がなければなりません。

ご注意ください

分母が異なる分数で算術を実行しないでください。 各分数の分子と分母にその値を乗算すると、両方の分数の分母が等しくなるような数値を選択してください。

役立つアドバイス

録音時 小数配当金は線の上に書かれています。 この量は分数の分子として指定されます。 分数の約数、つまり分母は線の下に書かれています。 たとえば、端数としての米 1.5 キログラムは次のように記述されます: 米 1 1/2 kg。 分数の分母が 10 の場合、その分数は小数と呼ばれます。 この場合、分子（配当）は全体の右側にカンマで区切って書かれています：米1.5kg。 計算を容易にするために、このような分数は常に間違った形式、つまりジャガイモ 1 2/10 kg で書くことができます。 単純化するために、分子と分母の値を 1 つの整数で割ることによって、それらの値を減らすことができます。 この例では、2 で割ることができます。結果は 1 1/5 kg のジャガイモになります。 算術を実行する数値が同じ形式で表現されていることを確認してください。

数学では、分数は単位の 1 つ以上の部分 (分数) で構成される数値です。 記録形式に応じて、分数は普通分数 (例 \frac(5)(8)) と小数分数 (例 123.45) に分けられます。

意味。 公分数（または単分数）

普通（単純）分数は \pm\frac(m)(n) という形式の数値と呼ばれます。ここで、m と n は自然数です。 数字mはと呼ばれます 分子この分数、そして数値 n はその分数です 分母.

水平線またはスラッシュは除算記号、つまり \frac(m)(n)=()^m/n=m:n を示します。

常分数は正分数と不当分数の 2 種類に分けられます。

意味。 適正分数と仮分数

正しい分子が分母より小さい分数を分数といいます。 たとえば、 \frac(9)(11) 、なぜなら 9

間違っている分子の係数が分母の係数以上である分数が呼び出されます。 この分数は 有理数、より大きいモジュロ、または 1に等しい。 例としては、分数 \frac(11)(2) 、 \frac(2)(1) 、 -\frac(7)(5) 、 \frac(1)(1) があります。

とともに 仮分数数値には帯分数 (帯分数) と呼ばれる別の表現もあります。 これは普通の分数ではありません。

意味。 帯分数（帯分数）

混合分数は、整数および固有分数として記述される分数であり、この数値と分数の合計として理解されます。 たとえば、2\frac(5)(7)

(帯分数で表記) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (仮分数として表記)

分数は単なる数値の表現です。 同じ番号でも対応可能 異なる分数、普通と小数の両方。 2 つの普通の分数が等しいことを表す符号を作成してみましょう。

意味。 分数の等号の符号

2 つの分数 \frac(a)(b) と \frac(c)(d) は次のとおりです。 等しい、 a\cdot d=b\cdot c の場合。 たとえば、 2\cdot12=3\cdot8 なので \frac(2)(3)=\frac(8)(12) となります。

この属性から、分数の主なプロパティが続きます。

財産。 分数の主な性質

指定された分数の分子と分母がゼロではない同じ数で乗算または除算される場合、指定された 1 に等しい分数が得られます。

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

分数の基本特性を使用すると、指定された分数を、指定された分数と同じであるが分子と分母が小さい別の分数に置き換えることができます。 この置換は分数リダクションと呼ばれます。 たとえば、\frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (ここでは、分子と分母が最初に 2 で除算され、次にさらに 2 で除算されています)。 分数は、その分子と分母が相互に素数でない場合に限り、約分できます。 指定された分数の分子と分母が互いに素である場合、その分数は約分できません。たとえば、 \frac(3)(4) は既約分数です。

正の分数の規則:

2つの分数から と 同じ分母 分子が大きい分数の方が大きくなります。 たとえば、\frac(3)(15)

2つの分数から 同じ分子で分母が小さい分数ほど大きくなります。 たとえば、 \frac(4)(11)>\frac(4)(13) です。

分子と分母が異なる 2 つの分数を比較するには、分母が同じになるように両方の分数を変換する必要があります。 この変換は、分数の共通分母への還元と呼ばれます。