数値をカンマで正しく分割する方法。小数の掛け算と割り算

矩形？

解決。 2.88 dm2 = 288 cm2、0.8 dm = 8 cm であるため、長方形の長さは 288:8、つまり 36 cm = 3.6 dm となります。 3.6 0.8 = 2.88 となる数値 3.6 が見つかりました。これは、2.88 を 0.8 で割った商です。

彼らは次のように書きます: 2.88: 0.8 = 3.6。

デシメートルをセンチメートルに変換しなくても、答え 3.6 が得られます。これを行うには、除数 0.8 と被除数 2.88 に 10 を掛けて (つまり、カンマを 1 桁右に移動して)、28.8 を 8 で割る必要があります。再び、28.8: 8 = 3.6 が得られます。

数値を小数で割るには、次の操作を行う必要があります。

1) 被除数と除数で、除数の小数点以下の桁数だけコンマを右に移動します。
2) この後、自然数で割ります。

例1. 12.096 を 2.24 で割ります。被除数と除数のカンマを右に 2 桁移動します。数値 1209.6 と 224 が得られます。1209.6: 224 = 5.4 なので、12.096: 2.24 = 5.4 となります。

例2。 4.5 を 0.125 で割ります。ここでは、被除数と除数のカンマを 3 桁右に移動する必要があります。被除数には小数点以下 1 桁しかないため、その右側にゼロを 2 つ追加します。カンマを移動すると、次の結果が得られます数字 4500 と 125。4500: 125 = 36 なので、4.5: 0.125 = 36。

例 1 と 2 から、数値をで割るときは次のことが明らかです。仮分数この数値は減少するか変化せず、正しい値で割ると、 10進数増加します: 12.096 > 5.4、および 4.5< 36.

2.467 を 0.01 で割ります。被除数と除数のカンマを右に 2 桁移動すると、商は 246.7:1、つまり 246.7 に等しいことがわかります。

これは、2.467: 0.01 = 246.7 を意味します。ここから次のルールが得られます。

小数を 0.1 で割るには; 0.01; 0.001 の場合、除数の 1 の前にゼロがある桁数だけ、その中のカンマを右に移動する必要があります (つまり、10、100、1000 を掛けます)。

数値が足りない場合は、最初に最後に数値を追加する必要があります分数いくつかのゼロ。

たとえば、56.87: 0.0001 = 56.8700: 0.0001 = 568,700。

小数部を小数部で割る規則を定式化します。 0.1ずつ; 0.01; 0.001。
0.01による除算を何倍にすることで置き換えることができますか?

1443. 商を求め、乗算でチェックします。

a) 0.8: 0.5; b) 3.51: 2.7; c) 14.335: 0.61。

1444. 商を求め、割り算で確認します。

a) 0.096: 0.12; b) 0.126: 0.9; c) 42.105: 3.5。

a) 7.56: 0.6; g) 6.944: 3.2; m) 14.976: 0.72;
b) 0.161: 0.7; h) 0.0456: 3.8; o) 168.392: 5.6;
c) 0.468: 0.09; i) 0.182: 1.3; n) 24.576: 4.8;
d) 0.00261: 0.03; j) 131.67: 5.7; p) 16.51: 1.27;
e) 0.824: 0.8; k) 189.54: 0.78; c) 46.08: 0.384;
e) 10.5: 3.5; m) 636: 0.12; ト）22.256：20.8。

1446. 式を書き留めます。

a) 10 - 2.4x = 3.16; e) 4.2р - р = 5.12;
b) (y + 26.1) 2.3 = 70.84; e) 8.2t - 4.4t = 38.38;
c) (z - 1.2): 0.6 = 21.1; g) (10.49 - s): 4.02 = 0.805;
d) 3.5m + t = 9.9; h) 9k - 8.67k = 0.6699。

1460年。2つのタンクには119.88トンのガソリンが入っていた。最初のタンクには 2 番目のタンクの 1.7 倍のガソリンが入っていました。各タンクにはどれくらいのガソリンが入っていましたか?

1461年。3つの区画から87.36トンのキャベツが収集された。同時に、最初の区画からは 1.4 倍、2 番目の区画からは 3 番目の区画から 1.8 倍多くのものが採取されました。各区画から何トンのキャベツが集められましたか?

1462. カンガルーはキリンより 2.4 倍短く、キリンはカンガルーより 2.52 m 高いです。キリンの身長はどれくらいですか? カンガルーの身長はどれくらいですか?

1463年。2人の歩行者が互いに4.6kmの距離にいた。彼らは互いに向かって進み、0.8 時間後に合流しました。一方の速度がもう一方の速度の 1.3 倍である場合、各歩行者の速度を求めます。

1464. 次の手順に従います。

a) (130.2 - 30.8) : 2.8 - 21.84:
b) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
c) 3.712: (7 - 3.8) + 1.3 (2.74 + 0.66);
d) (3.4: 1.7 + 0.57: 1.9) 4.9 + 0.0825: 2.75;
e) (4.44: 3.7 - 0.56: 2.8) : 0.25 - 0.8;
e) 10.79: 8.3 0.7 - 0.46 3.15: 6.9。

1465.想像してみてください公分数小数として値を求めます表現:

1466. 口頭で計算する:

a) 25.5:5; b) 9 0.2; c) 0.3:2; d) 6.7 - 2.3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. 作品を探す:

a) 0.1 0.1; d) 0.4 0.4; g) 0.7 0.001;
b) 1.3 1.4; e) 0.06 0.8; h) 100 0.09;
c) 0.3 0.4; e) 0.01 100; i) 0.3 0.3 0.3。

1468. 検索: 数値 30 の 0.4。 18 という数字の 0.5。 0.1 は 6.5 を表します。 2.5 数値 40; 0.12 数値 100; 数値 1000 の 0.01。

1469. a = 10 の場合、式 5683.25a の値はいくらですか。 0.1; 0.01; 100; 0.001; 1000; 0.00001?

1470. どれが正確な数字でどれが近似できるかを考えてください。

a) クラスには 32 人の生徒がいます。
b) モスクワからキエフまでの距離は900キロである。
c) 直方体には 12 個の辺があります。
d) テーブルの長さは 1.3 メートル。
e) モスクワの人口は800万人である。
e) 小麦粉0.5kgを袋に入れます。
g) キューバ島の面積は 105,000 km2 です。
h) 学校図書館には 10,000 冊の本があります。
i) 1 スパンは 4 バーショクに等しく、1 バーショクは 4.45 cm (バーショク) に等しい。
指節の長さ人差し指).

1471. 不等式に対する 3 つの解を求めます。

a) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
b) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. 式の値を計算せずに比較します。

a) 24 0.15 および (24 - 15) : 100;

b) 0.084 0.5 および (84 5) : 10,000。
答えを説明してください。

1473. 数値を四捨五入します。

1474. 除算を実行します。

a) 22.7:10; 23.3:10; 3.14:10; 9.6:10;
b) 304:100; 42.5:100; 2.5: 100; 0.9:100; 0.03: 100;
c) 143.4:12; 1.488:124; 0.3417:34; 159.9:235; 65.32:568。

1475年自転車に乗った人が時速12kmで村を出た。 2時間後、同じ村から別の自転車に乗って反対方向に走り出しました。
2 番目の速度は 1 番目の速度の 1.25 倍です。 2 人目のサイクリストが出発してから 3.3 時間後の両者間の距離はどのくらいになるでしょうか?

1476年。船自体の速度は時速8.5km、流れの速度は時速1.3kmです。ボートは 3 時間半で下流にどのくらい進みますか? ボートは流れに逆らって5.6時間でどのくらい進みますか?

1477年。工場は3.75千個の部品を生産し、950ルーブルの価格で販売した。一枚あたり。部品 1 個の生産にかかる工場の費用は 637.5 ルーブルに達しました。これらの部品の販売から工場が受け取る利益を求めてください。

1478. 直方体の幅は 7.2 cm です。この直方体の体積を求め、答えを整数に丸めます。

1479. パパ・カルロは、ピエロに毎日 4 ソルディ、ピノキオが初日に 1 ソルディ、行儀が良ければ毎日 1 ソルディを与えると約束した。ピノキオは腹を立てました。どんなに努力しても、ピエロほどたくさんの兵士を手に入れることは決してできないと決心しました。ピノキオが正しいかどうか考えてみましょう。

3 つのキャビネットと 9 つの本棚の場合、231 m の板が使用され、キャビネットには棚の 4 倍の材料が使用されます。キャビネットには何メートル、棚には何メートルのボードが入りますか?

1481. 問題を解決します。
1) 最初の数値は 6.3 で、2 番目の数値を構成します。 3 番目の数字が 2 番目の数字を構成します。 2 番目と 3 番目の数字を見つけます。

2) 最初の数字は 8.1 です。 2 番目の番号は、最初の番号と 3 番目の番号から取得されます。 2 番目と 3 番目の数字を見つけます。

1482. 式の意味を調べてください:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. 商の値を求めます。

a) 17.01: 6.3; d) 1.4245: 3.5; g) 0.02976: 0.024;
b) 1.598: 4.7; e) 193.2: 8.4; h) 11.59: 3.05;
c) 39.156: 7.8; e) 0.045: 0.18; i) 74.256: 18.2。

1484年。家から学校までの距離は1.1kmです。女の子はこの道を 0.25 時間で歩きます。その女の子はどのくらいの速さで歩きますか?

1485. 2部屋のアパートでは、1つの部屋の面積は20.64平方メートルで、もう1つの部屋の面積は2.4分の1になります。これら 2 つの部屋の面積を合わせて求めます。

1486. エンジンは 7.5 時間で 111 リットルの燃料を消費します。エンジンは 1.8 時間で何リットルの燃料を消費しますか?
1487. 体積 3.5 dm3 の金属部品の質量は 27.3 kg です。同じ金属で作られた別の部品の質量は 10.92 kg です。第二部のボリュームはどれくらいですか？

1488年。2.28トンのガソリンが2本のパイプを通ってタンクに注入された。最初のパイプでは 1 時間あたり 3.6 トンのガソリンが流れ、2 番目のパイプでは 1 時間あたり 0.8 トンのガソリンが流れました。 2番目のパイプはどれくらい開いていましたか?

1489. 方程式を解きます。

a) 2.136: (1.9 - x) = 7.12; c) 0.2t + 1.7t - 0.54 = 0.22;
b) 4.2 (0.8 + y) = 8.82; d) 5.6g - 2z - 0.7z + 2.65 = 7。

1490年。13.3トンの物品が3台の車両に分配されました。 1両目は3両目の1.3倍、2両目は1.5倍の積載量でした。各車両には何トンの商品が積まれましたか?

1491年。2人の歩行者が同時に同じ場所から反対方向に出発した。 0.8時間後、両者の距離は6.8kmとなった。ある歩行者の速度は、他の歩行者の速度の 1.5 倍でした。各歩行者の速度を求めます。

1492. 次の手順に従います。

a) (21.2544: 0.9 + 1.02 3.2) : 5.6;
b) 4.36: (3.15 + 2.3) + (0.792 - 0.78) 350;
c) (3.91: 2.3 5.4 - 4.03) 2.4;
d) 6.93: (0.028 + 0.36 4.2) - 3.5。

1493年医師が学校に来て、ワクチン接種用の血清0.25kgを持ってきた。それぞれの注射に 0.002 kg の血清が必要な場合、彼は何人の男性に注射を行うことができますか?

1494年。2.8トンのジンジャーブレッドが店に届けられた。昼食前にこれらのジンジャーブレッドクッキーが売られていました。ジンジャーブレッドは何トン売れ残っていますか?

1495. 一枚の生地から 5.6 メートルが切り取られました。この生地を切り取った場合、生地は何メートルになりますか?

N.Ya. ヴィレンキン、V. I. ジョホフ、A. S. チェスノコフ、S. I. シュヴァルツブルド、数学グレード 5、一般教育機関向け教科書

§ 107. 小数の加算。

小数の加算は整数の加算と同じです。例を挙げて見てみましょう。

1) 0.132 + 2.354。用語を上下にラベル付けしましょう。

ここでは、1000 分の 2 と 1000 分の 4 を加算すると、1000 分の 6 になります。
100 分の 3 と 100 分の 5 を加算すると、結果は 100 分の 8 になります。
10 分の 1 と 10 分の 3 を足したものから 10 分の 4 を加えたもの
0 の整数と 2 つの整数を加算することから、2 つの整数を加算します。

2) 5,065 + 7,83.

2 番目の項には 1000 分の 1 がないため、次々に用語にラベルを付けるときに間違えないことが重要です。

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

ここで、1000 分の 1 を加算すると、結果は 1000 分の 21 になります。 1000 の位の下に 1 を書き、100 の位に 2 を加えたので、100 の位では次の項が得られます。2 + 3 + 6 + 8 + 0。合計すると 100 分の 19 になり、私たちは 100 分の 9 未満に署名し、1 は 10 分の 1 として数えます。

したがって、小数を追加するときは、次の順序に従う必要があります。すべての項で同じ桁が互いの下に配置され、すべてのカンマが同じ垂直列に配置されるように、分数を上下に符号します。一部の項の小数点以下の桁の右側には、少なくとも精神的には、そのような数のゼロが追加され、小数点以下のすべての項が同じ桁数になるようにします。次に、右側から始めて数字ごとに加算を実行し、結果の合計で、これらの項で位置するのと同じ縦の列にコンマを入れます。

§ 108. 小数の引き算。

小数の減算は、整数の減算と同じように機能します。これを例を挙げて説明しましょう。

1) 9.87 - 7.32。同じ桁の単位が互いに下になるように、被減数の下の減数に署名しましょう。

2) 16.29 - 4.75。最初の例のように、被減数の下に減数を付けてみましょう。

10 分の 1 を減算するには、6 から 1 単位を取り出し、それを 10 分の 1 に分割する必要がありました。

3) 14.0213-5.350712。被減数の下に減数を付けてみましょう。

減算は次のように実行されました。0 から 200 万分の 2 を引くことはできないため、左側の最も近い桁、つまり 10 万分の 1 を参照する必要がありますが、10 万分の 1 の代わりにゼロもあるので、次の値から 1 万分の 1 を引きます。 3 万分の 3 を 10 万分の 1 に分割すると、100 万分の 100 万分の 1 が得られ、そのうち 90 万分の 100 千分のカテゴリーはそのままにし、10 万分の 1 を百万分の 1 に分割すると、1000 万分の 1 が得られます。したがって、最後の 3 桁は次のようになります: 100 万分の 10、10 万分の 9、10 万分の 2。より明確にし、便宜を図るために (忘れないように)、これらの数値は、対応する被減数の小数点以下の桁の上に書かれています。これで減算を開始できます。 1,000 万分の 1 から 200 万分の 2 を引くと、800 万分の 1 になります。 90 万分の 1 から 10 万分の 1 を引くと、80 万分の 1 が得られます。

したがって、小数を減算するときは、次の順序が観察されます。同じ桁が互いの下に配置され、すべてのカンマが同じ垂直列に配置されるように、被減数の下の減数に符号を付けます。右側では、少なくとも精神的には、同じ桁数になるように被減数または減数に非常に多くのゼロを追加し、右側から始めて桁ごとに減算し、結果として得られる差にカンマを入れます。それが配置されているのと同じ垂直列が減算され、減算されます。

§ 109. 小数の乗算。

小数の乗算の例をいくつか見てみましょう。

これらの数値の積を求めるには、次のように推論できます。因数が 10 倍に増加すると、両方の因数が整数になり、整数の乗算規則に従ってそれらを乗算できます。しかし、要因の 1 つが数倍に増加すると、積も同じ量だけ増加することがわかっています。これは、整数因数を乗算して得られる数、つまり 28 x 23 が真の積より 10 倍大きく、真の積を得るには、求められた積を 10 倍減算する必要があることを意味します。したがって、ここでは10を1回掛け、10で割るを1回行うことになりますが、10の掛け算と割り算は小数点を左右に1桁ずつ移動することで行われます。したがって、これを行う必要があります。因数でカンマを 1 つ右に移動すると、23 に等しくなります。その後、結果の整数を乗算する必要があります。

この商品は本物の10倍の大きさです。したがって、カンマを 1 つ左に移動して 10 倍減らす必要があります。したがって、次のようになります。

28 2,3 = 64,4.

検証の目的で、分母を使用して小数を書き、通常の分数の乗算の規則に従ってアクションを実行できます。

2) 12,27 0,021.

この例と前の例の違いは、ここでは両方の係数が小数として表されていることです。ただし、ここでは乗算の過程でカンマに注意を払いません。つまり、一時的に被乗数を 100 倍、乗数を 1,000 倍に増やし、積を 100,000 倍にします。したがって、1,227 に 21 を掛けると、次のようになります。

1 227 21 = 25 767.

結果の積が実際の積の 100,000 倍であることを考慮すると、適切にコンマを入れて 100,000 倍に縮小する必要があり、次のようになります。

32,27 0,021 = 0,25767.

確認してみましょう:

したがって、2 つの小数を乗算するには、カンマに注意を払わずにそれらを整数として乗算し、積では被乗数と同じ数の小数点以下の桁を右側のカンマで区切るだけで十分です。一緒に乗算器に入れます。

最後の例では、小数点以下 5 桁の積が生成されました。それほど高い精度が必要ない場合、小数点以下は四捨五入されます。四捨五入する場合は、整数の場合と同じルールを使用する必要があります。

§ 110. 表を使用した乗算。

小数の乗算は、テーブルを使用して実行できる場合があります。この目的のために、たとえば、前に説明した 2 桁の数値の乗算表を使用できます。

1) 53 に 1.5 を掛けます。

53 × 15 を掛けます。表では、この積は 795 に等しいです。積 53 × 15 が見つかりましたが、2 番目の係数は 10 分の 1 でした。これは、積を 10 倍減らす必要があることを意味します。

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 に 4.7 を掛けます。

まず、表で 53 × 47 の積を見つけます。これは 2,491 になります。しかし、被乗数と乗数を合計 100 倍にしたため、結果の積は本来の値よりも 100 倍大きくなります。したがって、この積を 100 分の 1 に減らす必要があります。

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 に 7.4 を掛けます。

まず、テーブル内で 53 x 74 の積を見つけます。しかし、被乗数を 100 倍、乗数を 10 倍にしたので、積は 1,000 倍になります。したがって、これを 1,000 分の 1 に減らす必要があります。

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. 小数の除算。

小数の割り算を次の順序で見ていきます。

1. 小数を整数で割ります。

1. 小数を整数で割ります。

1) 2.46 を 2 で割ります。

最初に整数を 2 で割ってから、10 分の 1、最後に 100 分の 1 で割りました。

2) 32.46 を 3 で割ります。

32,46: 3 = 10,82.

3 の 10 を 3 で割り、次に 2 単位を 3 で割り始めました。被除数 (2) の単位数は除数 (3) より小さいため、商に 0 を入力する必要がありました。さらに、残りを 10 分の 4 として、10 分の 24 を 3 で割ります。商の10分の8を受け取り、最後に100分の6を割りました。

3) 1.2345 を 5 で割ります。

1,2345: 5 = 0,2469.

ここでの商では、1 つの整数は 5 で割り切れないため、最初の位は 0 の整数になります。

4) 13.58 を 4 で割ります。

この例の特徴は、商の 100 分の 9 を受け取ったときに、100 分の 2 に等しい余りを発見し、この余りを 1,000 分の 1 に分割し、1,000 分の 20 を求めて割り算を完了したことです。

ルール。小数を整数で除算することは、整数を除算する場合と同じ方法で実行され、結果として得られる剰余は、より小さい小数に変換されます。割り算は余りがゼロになるまで続きます。

2. 小数を小数で割ります。

1) 2.46 を 0.2 で割ります。

小数を整数で割る方法はすでに知っています。考えてみましょう。この新しい分割のケースを以前の分割のケースに還元することは可能でしょうか? かつて私たちは、被除数と除数が同時に同じ回数だけ増減しても商は変化しないという、商の注目すべき性質について考えました。除数が整数であれば、与えられた数値を簡単に割り算できます。これを行うには、10 倍に増やせば十分であり、正しい商を取得するには、配当を同じ量、つまり 10 倍に増やす必要があります。次に、これらの数値の除算は、次の数値の除算に置き換えられます。

さらに、詳細を修正する必要はなくなります。

この分割を行ってみましょう:

したがって、2.46: 0.2 = 12.3 となります。

2) 1.25 を 1.6 で割ります。

約数 (1.6) を 10 倍に増やします。商が変わらないように配当を10倍にします。 12 の整数は 16 で割り切れないので、商に 0 を書き込み、10 分の 125 を 16 で割ると、商の 10 分の 7 が得られ、余りが 13 になります。 10 分の 13 を 0 を代入して 100 分の 1 に分割し、100 分の 130 を 16 で割ります。など、以下の点にご注意ください。

a) 特定の値に整数がない場合、その代わりにゼロの整数が書き込まれます。

b) 被除数の桁を剰余に加算した後、除数で割り切れない数が得られた場合、商にゼロが書き込まれます。

c) 被除数の最後の桁を削除しても除算が終了しない場合、剰余に 0 を加えて除算が続行されます。

d) 被除数が整数の場合、それを小数で割るとき、それにゼロを加えることによって増加します。

したがって、数値を小数で割るには、除数のカンマを破棄し、カンマを破棄したときに増加した除数の倍だけ被除数を増やし、ルールに従って除算を実行する必要があります。小数を整数で割ります。

§ 112. 近似商。

前の段落では、小数の割り算について説明しましたが、すべての例で割り算が完了しました。つまり、正確な商が得られました。しかし、ほとんどの場合、どこまで割り算を続けても、正確な商を求めることはできません。以下にそのようなケースの 1 つを示します。53 を 101 で割ります。

すでに商の 5 桁を受け取りましたが、割り算はまだ終わっていませんし、残りの数字は以前にすでに遭遇したことがある数字になり始めるため、割り算が終わる見込みはありません。商では、数字も繰り返されます。明らかに、7 の後には 5、その後は 2 などが延々と続きます。このような場合、割り算は中断され、商の最初の数桁に制限されます。このような商はと呼ばれます 近いもの。割り算を実行する方法を例を挙げて説明します。

25 を 3 で割る必要があるとします。明らかに、このような割り算からは、整数または小数として表される正確な商を得ることができません。したがって、近似商を求めます。

25: 3 = 8 余り 1

おおよその商は 8 です。もちろん、剰余 1 があるため、正確な商よりも小さくなります。正確な商を取得するには、1 に等しい剰余を 3 で割ることによって得られる分数を、見つかった近似商に加算する必要があります。、8まで。これは分数 1/3 になります。これは、正確な商が帯分数 8 1/3 として表現されることを意味します。 1/3 は固有分数、つまり分数なので、 1未満、その後、それを破棄して、許可しますエラー、どれの 1未満。商8は次のようになります。 1 までの近似商を不利な点とします。商に 8 の代わりに 9 を使用した場合、単位全体を加算するのではなく 2/3 を加算するため、1 未満の誤差も許容されます。そんな私的な意志 商を過剰と合わせて1以内に近似します。

次に別の例を見てみましょう。 27 を 8 で割る必要があるとします。ここでは整数として表現される正確な商が得られないため、近似商を探します。

27:8 = 3 余り 3。

ここで、誤差は 3/8 に等しく、1 未満です。これは、近似商 (3) が 1 と正確であることが判明しましたが、不利な点があることを意味します。割り算を続けましょう。余り 3 を 10 分の 1 に分割すると、10 分の 30 が得られます。それらを8で割ります。

商の10分の1の代わりに3が得られ、残りは10分の6になりました。数値を 3.3 に限定し、残りの 6 を切り捨てた場合、許容される誤差は 10 分の 1 未満になります。なぜ？なぜなら、10分の6を8で割った結果を3.3に加算すると、正確な商が得られるからです。この除算では 6/80 となり、10 分の 1 未満になります。 (確認してください!) したがって、商を 10 分の 1 に制限すると、商が見つかったと言えます。 10分の1まで正確（デメリットあり）。

割り算を続けて、別の小数点以下の桁を見つけてみましょう。これを行うには、10 分の 6 を 100 分の 6 に分割し、100 分の 60 を取得します。それらを8で割ります。

3 位の商は 7 で、残りは 100 分の 4 であることがわかりました。それらを破棄した場合、100 分の 4 を 8 で割った値は 100 分の 1 未満であるため、100 分の 1 未満の誤差は許容されます。このような場合、彼らは商が見つかったと言います。 100分の1まで正確（デメリットあり）。

今見ている例では、小数として表現された正確な商を取得できます。これを行うには、最後の余りである 100 分の 4 を 1000 分の 1 に分割し、8 で割れば十分です。

ただし、ほとんどの場合、正確な商を取得することは不可能であり、その近似値に限定する必要があります。次に、この例を見てみましょう。

40: 7 = 5,71428571...

数値の末尾にあるドットは、除算が完了していないこと、つまり等価が近似であることを示します。通常、近似等価は次のように記述されます。

40: 7 = 5,71428571.

小数点以下 8 桁の商を計算しました。しかし、それほど高い精度が必要ない場合は、商の全体部分、つまり数値 5 (より正確には 6) のみに制限することができます。より正確にするには、10 分の 1 を考慮して商を 5.7 にするとよいでしょう。何らかの理由でこの精度が不十分な場合は、100 分の 1 で停止して 5.71 などを取得することもできます。個々の商を書き出して名前を付けてみましょう。

1 6 までの正確な最初の近似商。

2 番目の » » » を 10 分の 1 にします 5.7。

3 番目の » » » から 100 分の 5.71。

4 番目の » » » を 1,000 分の 5.714 にします。

したがって、たとえば小数点第 3 位 (つまり、1000 分の 1 まで) まで正確な近似商を求めるには、この符号が見つかったらすぐに除算を停止します。この場合、§ 40 に規定されている規則を覚えておく必要があります。

§ 113. パーセンテージに関する最も単純な問題。

小数について学習した後は、さらにパーセントの問題を解きます。

これらの問題は、分数部門で解決した問題と似ています。しかしここでは、分母を明示的に指定せずに、100 分の 1 を小数の形式で書きます。

まず第一に、普通の分数から分母が 100 の小数に簡単に移動できる必要があります。これを行うには、分子を分母で割る必要があります。

以下の表は、% (パーセント) 記号が付いた数値が分母 100 の小数にどのように置き換えられるかを示しています。

ここでいくつかの問題を考えてみましょう。

1. 指定された数値のパーセンテージを求める。

タスク1。 1つの村にはわずか1,600人しか住んでいません。学齢期の子供の数は総人口の 25% を占めます。この村には学齢期の子供が何人いますか?

この問題では、1,600 の 25%、つまり 0.25 を求める必要があります。この問題は、次の乗算によって解決されます。

1,600 0.25 = 400 (子供)。

したがって、1,600 の 25% は 400 です。

この課題を明確に理解するには、人口 100 人ごとに学齢期の子供が 25 人いることを思い出してください。したがって、学齢期の児童全員の数を求めるには、まず 1,600 という数字 (16) が何百であるかを調べ、次に 25 に百の数を掛けます (25 x 16 = 400)。このようにして、ソリューションの有効性を確認できます。

タスク2。貯蓄銀行は預金者に年間 2% のリターンを提供します。 a) 200 ルーブルをレジに預けた場合、預金者は 1 年間にいくらの収入を得ることができますか? b) 500ルーブル? c) 750ルーブル? d) 1000ルーブル?

4 つのケースすべてにおいて、問題を解決するには、示された量の 0.02 を計算する必要があります。つまり、これらの数値のそれぞれに 0.02 を掛ける必要があります。これをやってみましょう:

a) 200 0.02 = 4 (摩擦)、

b) 500 0.02 = 10 (摩擦)、

c) 750 0.02 = 15 (摩擦)、

d) 1,000 0.02 = 20 (摩擦)。

これらの各ケースは、次の考慮事項によって検証できます。貯蓄銀行は投資家に2%の収入、つまり貯蓄に預けた金額の0.02を与えます。金額が 100 ルーブルの場合、その 0.02 は 2 ルーブルになります。これは、100 ごとに投資家に 2 ルーブルがもたらされることを意味します。所得。したがって、検討した各ケースでは、指定された数が何百であるかを把握し、この百の数に 2 ルーブルを掛けるだけで十分です。例 a) には 200 があります。つまり、

2 2 = 4 (こする)。

例 d) には 1000 があります。つまり、

2 10 = 20 (摩擦)。

2. パーセンテージによって数値を見つける。

タスク1。同校はこの春に54人の生徒を卒業したが、これは全入学者数の6％に相当する。去年その学校には何人の生徒がいましたか?

まずこのタスクの意味を明確にしましょう。この学校は 54 人の生徒を卒業しました。これは全生徒数の 6%、つまり学校の全生徒の 100 分の 6 (0.06) に相当します。これは、数値 (54) と分数 (0.06) で表される生徒の部分がわかっており、この分数から全体の数を見つける必要があることを意味します。したがって、私たちの前には、分数から数値を見つけるという通常のタスクがあります(§90、段落6)。このタイプの問題は、割り算によって解決されます。

つまり、その学校にはわずか900人の生徒がいたということになります。

逆問題を解くことでこのような問題をチェックすると便利です。つまり、問題を解いた後、少なくとも頭の中で、最初のタイプの問題 (指定された数値のパーセンテージを求める) を解く必要があります。見つかった数値を取得します ( 900) を与えられ、解決された問題で示されている割合を見つけます。つまり、次のようになります。

900 0,06 = 54.

タスク2。一家は月に食費に780ルーブルを費やしており、これは父親の月収の65％に相当する。彼の月給を決めてください。

このタスクは前のタスクと同じ意味を持ちます。これは月収の一部をルーブル (780 ルーブル) で表しており、この部分が総収入の 65%、つまり 0.65 であることを示しています。そして、あなたが探しているのはすべての収益です。

780: 0,65 = 1 200.

したがって、必要な収入は1200ルーブルです。

3. 数値の割合を求める。

タスク1。学校図書館にはわずか6,000冊の本しかありません。その中には数学に関する書籍が 1,200 冊あります。図書館の蔵書総数に占める数学書の割合は何パーセントですか?

私たちはすでにこの種の問題 (§97) を検討しており、2 つの数値のパーセンテージを計算するには、これらの数値の比を求めて 100 を掛ける必要があるという結論に達しました。

この問題では、数値 1,200 と 6,000 の割合を求める必要があります。

まずそれらの比率を求めて、それを 100 倍してみましょう。

したがって、1,200 と 6,000 という数字の割合は 20 です。つまり、数学の本は全書籍の合計数の 20% を占めます。

確認するには、逆問題を解いてみましょう: 6,000 の 20% を求めます。

6 000 0,2 = 1 200.

タスク2。この発電所には200トンの石炭を受け入れる必要がある。すでに80トンが納入されていますが、石炭の何パーセントが工場に納入されていますか？

この問題は、ある数値 (80) が別の数値 (200) の何パーセントであるかを尋ねます。これらの数値の比率は 80/200 になります。これを 100 倍してみましょう。

これは石炭の 40% が納品されたことを意味します。

学校では、これらの行動は単純なものから複雑なものまで勉強されます。したがって、簡単な例を使用して、これらの操作を実行するアルゴリズムを完全に理解することが不可欠です。これにより、後で小数を列に分割する際に問題がなくなります。結局のところ、これはそのようなタスクの最も困難なバージョンです。

この主題は一貫した学習が必要です。ここでは知識のギャップは受け入れられません。すべての生徒はこの原則を 1 年生ですでに学ぶ必要があります。したがって、複数のレッスンを続けて欠席した場合は、自分でその内容をマスターする必要があります。そうしないと、後で数学だけでなく、それに関連する他の科目でも問題が発生します。

数学をうまく勉強するための 2 番目の前提条件は、足し算、引き算、掛け算をマスターした後でのみ、長い割り算の例に進むことです。

九九を習っていない子供にとって、割り算は難しいでしょう。ちなみに、ピタゴラス表を使って教えると良いでしょう。この場合、余分なものは何もなく、掛け算を学ぶのが簡単です。

自然数は列内でどのように乗算されるのでしょうか?

割り算と掛け算の列の例を解くのが難しい場合は、掛け算から問題を解き始める必要があります。除算は乗算の逆演算であるため、次のようになります。

2 つの数値を掛ける前に、それらを注意深く見る必要があります。桁数が多い（長い）ものを選択し、最初に書き留めます。 2枚目をその下に置きます。また、対応するカテゴリの番号は同じカテゴリに属している必要があります。つまり、最初の数値の右端の桁が 2 番目の数値の右端の桁よりも上にある必要があります。
右から順に、下の数値の右端の桁と上の数値の各桁を掛けます。答えを線の下に書き、最後の桁が乗算した数字の下になるようにします。
下の数字の別の桁でも同じことを繰り返します。ただし、乗算の結果は左に 1 桁シフトする必要があります。この場合、最後の桁は乗算された桁より小さくなります。

2 番目の因数の数値がなくなるまで、この乗算を 1 列で続けます。次に、折りたたむ必要があります。これがあなたが探している答えになります。

小数の乗算アルゴリズム

まず、与えられた分数は小数ではなく自然分数であると想像する必要があります。つまり、それらからカンマを削除し、前の例で説明したように続行します。

違いは、答えを書き留めたときに始まります。このとき、両方の分数の小数点以下の数字をすべて数える必要があります。これはまさに、回答の終わりから数えてカンマを入れる必要がある数です。

このアルゴリズムは、0.25 x 0.33 の例を使用して説明すると便利です。

割り算の学習はどこから始めればよいでしょうか?

長い除算の例を解く前に、長い除算の例に現れる数値の名前を覚えておく必要があります。そのうちの最初のもの (分割されたもの) は分割可能です。 2 番目の (除算) は除数です。答えはプライベートです。

この後、日常の簡単な例を使って、この数学的演算の本質を説明します。たとえば、お菓子が 10 個ある場合、お父さんとお母さんに均等に分けるのは簡単です。しかし、両親や兄弟にプレゼントする必要がある場合はどうすればよいでしょうか?

その後、割り算のルールに慣れ、具体的な例を使用してマスターすることができます。最初は単純なものから、その後、より複雑なものに進みます。

数値を列に分割するアルゴリズム

まず、1桁の数で割り切れる自然数の手順を示します。また、複数桁の約数や小数の基礎にもなります。その場合にのみ小さな変更を加える必要がありますが、それについては後ほど説明します。

長い除算を行う前に、被除数と除数がどこにあるのかを把握する必要があります。
配当金を書きます。その右側には仕切りがあります。
最後の角の近くの左と下に角を描きます。
不完全被除数、つまり除算の最小値となる数を決定します。通常は 1 桁、最大 2 桁で構成されます。
答えの最初に書かれる番号を選択してください。これは、除数が被除数に適合する回数である必要があります。
この数値に除数を掛けた結果を書き留めます。
不完全配当の下に書きます。減算を実行します。
すでに分割されている部分の後の最初の桁を余りに加算します。
答えの番号をもう一度選択してください。
掛け算と引き算を繰り返します。剰余がゼロで被除数が終了した場合、この例は終了です。それ以外の場合は、数値を削除し、数値を選択し、乗算し、減算する手順を繰り返します。

約数が複数の桁がある場合、長い割り算を解決するにはどうすればよいですか?

アルゴリズム自体は上記で説明したものと完全に一致します。差は不完全被除数の桁数になります。それらは少なくとも 2 つあるはずですが、それらが除数より小さいことが判明した場合は、最初の 3 桁を操作する必要があります。

この区分にはもう 1 つニュアンスがあります。実際には、余りとそれに加算される数は、約数で割り切れないことがあります。次に、別の番号を順番に追加する必要があります。しかし、答えはゼロでなければなりません。 3 桁の数値を列に分割する場合は、2 桁以上を削除する必要がある場合があります。次に、答えに含まれるゼロの数が、削除された桁数より 1 つ少ない必要があるというルールが導入されます。

この除算は、12082: 863 の例を使用して検討できます。

その中の不完全な配当は、数字 1208 であることがわかります。数字 863 は、その中に 1 回だけ配置されています。したがって、答えは 1 であるはずで、1208 の下には 863 と書きます。
引いた余りは 345 です。
これに数値 2 を追加する必要があります。
数字 3452 には 863 が 4 回含まれています。
答えとして 4 つを書き留める必要があります。さらに、4 を掛けると、これはまさに得られる数です。
減算後の余りはゼロです。つまり分割が完了する。

この例の答えは 14 です。

配当金がゼロになったらどうなるでしょうか？

それともいくつかのゼロでしょうか？この場合、剰余はゼロですが、被除数には依然としてゼロが含まれています。絶望する必要はありません。すべては思っているよりも簡単です。割り切れずに残っているすべてのゼロを単純に答えに追加するだけで十分です。

たとえば、400 を 5 で割る必要があります。不完全な被除数は 40 です。5 は 8 回適合します。これは、答えを 8 と書く必要があることを意味します。引くと余りは残りません。つまり、除算は完了しましたが、被除数にはゼロが残ります。回答に追加する必要があります。したがって、400 を 5 で割ると 80 となります。

小数を割り算する必要がある場合はどうすればよいでしょうか?

繰り返しますが、この数値は、整数部分と小数部分を区切るカンマがなければ、自然数のように見えます。これは、小数部の列への分割が上記で説明したものと同様であることを示唆しています。

唯一の違いはセミコロンです。小数部の最初の桁を削除したらすぐに答えに入力することになっています。これを別の言い方で言うと、次のようになります。部分全体の分割が完了したら、カンマを入れて、さらに解決策を続けます。

小数を使用した長い除算の例を解くときは、小数点の後の部分に任意の数のゼロを追加できることを覚えておく必要があります。場合によっては、数字を完成させるためにこれが必要になることがあります。

2 つの小数の割り算

複雑に思えるかもしれません。しかし、それは最初だけです。結局のところ、分数の列を自然数で割る方法はすでに明らかです。これは、この例をすでによく知られた形式に縮小する必要があることを意味します。

やり方は簡単です。両方の分数を 10、100、1,000、または 10,000 倍する必要があります。問題で必要な場合は、おそらく 100 万倍する必要があります。乗数は、除数の小数部分にゼロがいくつあるかに基づいて選択されることになっています。つまり、結果として、分数を自然数で割る必要があります。

そしてこれは最悪のシナリオになります。結局のところ、この演算による被除数が整数になる可能性があります。次に、分数の列除算を使用した例の解決策は、最も単純なオプション、つまり自然数を使用した演算に集約されます。

例として、28.4 を 3.2 で割ります。

2 番目の数値は小数点以下 1 桁しかないため、最初に 10 を掛ける必要があります。掛けると284と32になります。
彼らは別れるはずだ。また、整数は 284 × 32 です。
答えとして選択された最初の数字は 8 です。これを掛けると 256 が得られます。余りは 28 です。
全体の分割が終了したため、回答にはカンマが必要です。
剰余 0 まで削除します。
もう一度8を取ります。
余り: 24. これにさらに 0 を加えます。
次に、7 を取る必要があります。
乗算の結果は 224 で、余りは 16 です。
さらに 0 を取り除きます。それぞれ 5 つ取り、ちょうど 160 になります。余りは 0 です。

分割が完了しました。例 28.4:3.2 の結果は 8.875 です。

約数が 10、100、0.1、または 0.01 の場合はどうなるでしょうか?

乗算と同様に、ここでも長い除算は必要ありません。カンマを目的の方向に特定の桁数だけ移動するだけで十分です。さらに、この原理を使用すると、整数と小数の両方を含む例を解くことができます。

したがって、10、100、または 1,000 で割る必要がある場合、除数にゼロが含まれるのと同じ桁数だけ小数点が左に移動します。つまり、数値が 100 で割り切れる場合、小数点は 2 桁左に移動する必要があります。被除数が自然数の場合、カンマが最後にあるものとみなされます。

このアクションでは、数値に 0.1、0.01、または 0.001 を乗算した場合と同じ結果が得られます。これらの例では、カンマも小数部の長さに等しい桁数だけ左に移動されます。

0.1 で割るとき (など)、または 10 で掛けるとき (など)、小数点は 1 桁 (ゼロの数や小数部分の長さに応じて 2 桁、3 桁) だけ右に移動する必要があります。

被除数で指定される桁数が十分でない可能性があることに注意してください。その後、欠落したゼロを左側 (全体の部分) または右側 (小数点の後) に追加できます。

周期分数の割り算

この場合、列に分割しても正確な答えは得られません。ピリオドの付いた分数に遭遇した場合の例を解決するにはどうすればよいですか? ここで普通の分数に進む必要があります。そして、以前に学習したルールに従ってそれらを分割します。

たとえば、0.(3) を 0.6 で割る必要があります。最初の部分は周期的です。これは分数 3/9 に変換され、約分すると 1/3 になります。 2 番目の小数は最後の小数です。いつものように、6/10 と書くとさらに簡単です。これは 3/5 に等しいです。普通の分数の割り算のルールでは、割り算を乗算に、約数を逆数に置き換える必要があります。つまり、この例は 1/3 と 5/3 を乗算することになります。答えは5/9になります。

例に異なる分数が含まれている場合...

その場合、いくつかの解決策が考えられます。まず、公用分数を小数に変換してみます。次に、上記のアルゴリズムを使用して 2 つの小数を除算します。

第 2 に、最後の小数はすべて公用分数として書くことができます。しかし、これは常に便利であるとは限りません。ほとんどの場合、そのような端数は膨大になることが判明します。そしてその答えは面倒だ。したがって、最初のアプローチがより好ましいと考えられます。

あなたの子供が小数の割り算を理解できないように見えても、それは彼が数学ができないと考える理由にはなりません。

おそらく、彼らは単にこれがどのように行われたかを彼に明確に説明しなかっただけでしょう。私たちは子供を助け、分数や演算についてできるだけ簡単に、ほとんど遊び心のある方法で子供に教える必要があります。そしてそのためには、私たち自身が何かを思い出す必要があります。

分数式は、整数以外の数値について話すときに使用されます。分数が 1 より小さい場合は、何かの一部を表し、それより大きい場合は、複数の部分全体と別の部分を表します。分数は 2 つの値で表されます。分母は数値がいくつの等しい部分に分割されるかを説明し、分子はその部分の数を示します。

パイを4等分して、そのうちの1つを近所の人にあげたとします。分母は 4 になります。分子は何を記述したいかによって異なります。近所の人にいくらあげたかといえば分子は 1、いくら残ったかといえば 3 です。

円の例では、分母は 4 で、「1 日は 1 週間の 1/7」という式では 7 です。分母が任意の分数式は公用分数です。

数学者も他の人々と同じように、自分の生活を楽にしようと努めています。そしてそれが、小数の分数が発明された理由です。これらでは、分母は 10 または 10 の倍数の数値 (100、1000、10,000 など) に等しく、次のように記述されます。数値の整数部分はカンマで小数部分から区切られます。たとえば、5.1 は整数の 5 と 10 分の 1 であり、7.86 は整数の 7 と 100 分の 86 です。

小さなリトリートは子供のためではなく、あなた自身のためです。私たちの国では、小数部分をカンマで区切るのが慣例です。海外では確立された伝統に従って、ドットで区切るのが通例です。したがって、外国のテキストで同様のマークアップを見つけても、驚かないでください。