導関数の物理的な意味。 タスク！ 速度の微分値 加速度の微分値

導関数の物理的な意味。 数学の統一国家試験には、導関数の物理的意味の知識と理解を必要とする一連の問題が含まれています。 特に、ある点（物体）の運動法則が方程式で与えられ、その運動の瞬間、あるいは物体が運動してからの時間における速度を求める問題があります。一定の速度を獲得します。タスクは非常にシンプルで、1 つのアクションで解決できます。 それで：

座標軸に沿った質点 x (t) の運動法則が与えられるとします。ここで、x は移動点の座標、t は時間です。

特定の瞬間における速度は、時間に関する座標の導関数です。 これが導関数の機械的な意味です。

同様に、加速度は時間に対する速度の導関数です。

したがって、導関数の物理的な意味は速度です。 これには、移動速度、プロセスの変化速度 (細菌の増殖など)、作業速度などが考えられます (その他、多くの応用問題があります)。

さらに、微分表（九九と同じように知っておく必要があります）と微分の規則を知る必要があります。 具体的には、指定された問題を解決するには、最初の 6 つの導関数に関する知識が必要です (表を参照)。

タスクを考えてみましょう。

x (t) = t 2 – 7t – 20

ここで、x t は動きの開始から測定された秒単位の時間です。 時刻 t = 5 秒における速度 (メートル/秒) を求めます。

導関数の物理的な意味は速度 (移動速度、プロセスの変化率、作業速度など) です。

速度変化の法則を見つけてみましょう: v (t) = x'(t) = 2t – 7 m/s。

t = 5 では次のようになります。

答え: 3

自分で決めてください:

質点は、x (t) = 6t 2 – 48t + 17 の法則に従って直線的に移動します。ここで、 ×- 基準点からの距離 (メートル単位)、 t- 動きの開始から測定された秒単位の時間。 時刻 t = 9 秒における速度 (メートル/秒) を求めます。

質点は x (t) = 0.5t の法則に従って直線運動します 3 – 3t 2 + 2t、ここで ×t- 動きの開始から測定された秒単位の時間。 時刻 t = 6 秒における速度 (メートル/秒) を求めます。

質点は法則に従って直線運動する

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

どこ ×- 基準点からの距離 (メートル単位)、t- 動きの開始から測定された秒単位の時間。 時刻 t = 3 秒における速度 (メートル/秒) を求めます。

質点は法則に従って直線運動する

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

ここで、x は基準点からの距離 (メートル単位)、t は動きの開始から測定された時間 (秒単位) です。 どの時点 (秒) で、その速度は 6 m/s に等しくなりましたか?

速度変化の法則を見つけてみましょう。

どの時点かを調べるにはt速度が 3 m/s だった場合、次の方程式を解く必要があります。

答え: 3

自分で決めてください:

質点は、x (t) = t 2 – 13t + 23 の法則に従って直線的に移動します。ここで、 ×- 基準点からの距離 (メートル単位)、 t- 動きの開始から測定された秒単位の時間。 その速度が 3 m/s に等しかったのはどの時点 (秒単位) でしょうか?

質点は法則に従って直線運動する

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

どこ ×- 基準点からの距離 (メートル単位)、 t- 動きの開始から測定された秒単位の時間。 その速度が 2 m/s に等しかったのはどの時点 (秒単位) でしょうか?

統一国家試験ではこの種の課題だけに集中すべきではないことに注意してください。 まったく予期せず、提示された問題とは反対の問題が発生する可能性があります。 速度変化の法則が与えられ、問題は運動法則を見つけることになります。

ヒント: この場合、速度関数の積分を求める必要があります (これも 1 ステップの問題です)。 特定の時点での移動距離を求める必要がある場合は、結果の式に時間を代入して距離を計算する必要があります。 しかし、そのような問題も分析しますので、お見逃しなく！頑張ってね！

敬具、アレクサンダー・クルチツキーク。

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

これまで、導関数の概念を関数のグラフの幾何学的表現と関連付けてきました。 ただし、導関数の概念の役割を、特定の曲線の接線の傾きを決定するタスクに限定するのは大きな間違いです。 科学的な観点から見てさらに重要なタスクは、任意の量の変化率を計算することです。 f(t)、時間の経過とともに変化します。 ニュートンが微分積分学に取り組んだのはこの側面からでした。 特に、ニュートンは、時間と移動粒子の位置を変数 (ニュートンの言葉では「流動体」) として考慮して、速度の現象を分析しようとしました。 粒子が x 軸に沿って移動するとき、関数が与えられているため、その動きは完全に定義されます。 x = f(t)、任意の時刻 t における粒子 x の位置を示します。 x軸に沿った一定速度bの「等速運動」は一次関数で決まる x = a + bt、ここで、 a は初期瞬間（ t = 0).

平面上の粒子の運動は 2 つの関数で記述されます。

x = f(t)、y = g(t)、

時間の関数としてその座標を決定します。 特に*、2つの一次関数は等速運動に対応します。

x = a + bt、y = c + dt、

ここで、b と d は一定速度の 2 つの「成分」であり、a と c は粒子の初期位置の座標です ( t = 0); 粒子の軌道は直線であり、その方程式は次のとおりです。

(x - a) d - (y - c) b = 0

は、上の 2 つの関係式から t を消去することで得られます。

粒子が重力のみの影響下で垂直面 x、y 内を移動する場合、その運動 (これは初等物理学で証明されています) は 2 つの方程式によって決定されます。

どこ a、b、c、dは初期瞬間の粒子の状態に応じた定数で、g は重力による加速度で、時間を秒単位、距離をメートル単位で測定した場合、約 9.81 に等しくなります。 与えられた 2 つの方程式から t を消去して得られる軌道は放物線です

ない限り b≠0; それ以外の場合、軌跡は垂直軸のセグメントになります。

粒子が特定の曲線に沿って強制的に移動する場合 (電車がレールに沿って移動するのと同じように)、その移動は円弧 s の長さに等しい関数 s (t) (時間 t の関数) によって決定できます。 、ある開始点 P 0 から時間 t における点 P の粒子の位置までこの曲線に沿って計算されます。 たとえば、単位円について話している場合、 x 2 + y 2 = 1、次に関数 s = ctこの円上で速度のある等速回転運動を決定します と.

* エクササイズ。 方程式で与えられる平面の動きの軌跡を描きます。 1) x = sin t、y = cos t; 2) x = sin 2t、y = cos 3t; 3) x = sin 2t、y = 2 sin 3t; 4) 上記の放物線運動において、粒子の初期位置 (t = 0) を座標原点に仮定し、考慮します。 b>0、d>0。 軌道の最高点の座標を見つけます。 軌道と x 軸の 2 次交点に対応する時間 t および x の値を見つけます。

ニュートンが自分自身に設定した最初の目標は、不均一に移動する粒子の速度を見つけることでした。 簡単にするために、関数で指定された特定の直線に沿った粒子の動きを考えてみましょう。 x = f(t)。 動きが均一、つまり一定の速度で実行される場合、この速度は、時間 t と t 1 の 2 つの瞬間と、対応する粒子の位置を取得することによって見つけることができます。 f(t)そして f(t1)そして態度を形成する

たとえば、t が時間単位で測定され、x がキロメートル単位で測定される場合、 t 1 - t = 1違い × 1 - ×は 1 時間で移動するキロ数になります。 v- 速度 (時速キロメートル単位)。 速度が一定量であると言うとき、それらは単に差の比率を意味します。

t と t 1 のどの値でも変化しません。 しかし、動きが不均一な場合 (たとえば、物体の自由落下で発生し、落下するにつれて速度が増加します)、関係式 (3) は瞬間 t での速度の値を与えませんが、は、通常、t から t 1 までの期間の平均速度と呼ばれるものを表します。 スピードを出すには 時刻tに、制限を計算する必要があります 平均速度 t 1 は t になる傾向があるためです。 したがって、ニュートンに従い、速度を次のように定義します。

言い換えれば、速度は時間に対する移動距離 (直線上の粒子の座標) の導関数、または時間に対する経路の「瞬間的な変化率」です。 平均変化率は式(3)で求められます。

速度そのものの変化率呼ばれた 加速度。加速度は単に微分の微分です。 通常、記号 f"(t) で表され、次のように呼ばれます。 二次導関数関数 f (t) から。

代数は寛大です。 彼女はしばしば求められた以上のものを与えます。

J.ダランベール

学際的なつながりは教育上の条件であり、学校で科学の基礎を深く包括的に習得するための手段です。
さらに、生徒の科学的知識を向上させ、論理的思考と創造力を養うのにも役立ちます。 学際的なつながりを導入することで、教材の重複学習が排除され、時間が節約され、学生の一般的な教育スキルの開発に有利な条件が生まれます。
物理コースで学際的なつながりを確立すると、ポリテクニックや実践的なトレーニングの効果が高まります。
数学を教える際には、動機付けの側面が非常に重要です。 数学の問題は、それが目の前に現れ、物理現象や技術的な問題を考慮した後に定式化される場合に、生徒にとってよりよく認識されます。
教師が数学の進歩における実践の役割や、物理学の研究と技術の発展における数学の重要性についてどれだけ語っても、物理学が数学の発展にどのような影響を与えるのか、数学がどのように役立つのかを示さなければ、問題を解決する練習をしなければ、唯物論的な世界観の発展は深刻なダメージを受けるでしょう。 しかし、数学が問題解決にどのように役立つかを示すためには、方法論的な目的で発明されたものではなく、実際の人間の活動のさまざまな分野で実際に発生する問題が必要です。

履歴情報

微分積分は、17 世紀末に次の 2 つの問題に基づいてニュートンとライプニッツによって作成されました。

• 任意の線の接線を見つけることについて。
• 任意の運動法則の下で速度を見つけることについて。

さらに以前、導関数の概念はイタリアの数学者ニコロ・タルターリア (約 1500 ～ 1557 年) の作品の中で出会いました。接線は銃の傾斜角の問題を研究する過程でここに登場しました。発射体の射程距離。

17 世紀には、G. ガリレオの運動に関する教えに基づいて、微分の運動学の概念が積極的に開発されました。

有名な科学者ガリレオ・ガリレイは、数学における導関数の役割について論文全体を捧げています。 デカルト、フランスの数学者ロベルヴァル、イギリスの科学者L. グレゴリーの著作には、さまざまな表現が見られ始めました。 ロピタル、ベルヌーイ、ラグランジュ、オイラー、ガウスは、微分積分の研究に多大な貢献をしました。

物理学における導関数のいくつかの応用

デリバティブ- 微分の基本概念、特徴付け 関数の変化率.

決定したそのような制限が存在する場合、引数の増分がゼロになる傾向があるため、関数の増分とその引数の増分との比率の制限として。

したがって、

したがって、関数の導関数を計算するには、 f(x)時点で ×0定義上、次のものが必要です。

この方式が使用されるいくつかの物理的問題を考えてみましょう。

瞬間速度の問題。 導関数の機械的意味

移動速度がどのように決定されたかを思い出してみましょう。 素材点は座標線に沿って移動します。 この点の x 座標は既知の関数です x(t)時間 t.からの期間にわたって t0に t0+ 点の変位は x(t 0 + ) – x(t 0) –その平均速度は次のとおりです。 .
通常、動きの性質上、値が小さい場合、平均速度は実質的に変化しません。 動きは高い精度で均一であると考えることができます。 言い換えれば、平均速度の値は、瞬間速度と呼ばれる明確に定義された値になる傾向があります。 v(t 0)ある時点での重要な点 t0.

それで、

しかし定義上、
したがって、その瞬間の瞬間速度は t0

同様に推論すると、時間に対する速度の導関数が加速度であることがわかります。

物体の熱容量の問題

重さ 1 g の物体の温度が 0 度から 20 度まで上昇する場合 t度、体は一定量の熱を提供する必要があります Q。 手段、 Q温度機能があります t、身体が加熱されるまで: Q = Q(t)。 体温を上げてみましょう t0に t.この暖房に消費される熱量は、 に等しい。 比率は、温度が1度変化したときに、体を1度温めるのに必要な平均熱量である。 度。 この比率は、特定の物体の平均熱容量と呼ばれ、次のように表されます。 水から.
なぜなら 平均熱容量では、任意の温度 T での熱容量がわかりません。その場合、特定の温度での熱容量の概念が導入されます。 t0（この時点で t0).
温度における熱容量 t0(特定の点での) を限界と呼びます

棒の線密度の問題

不均一なロッドを考えてみましょう。

このようなロッドの場合、その長さに応じた質量の変化率について疑問が生じます。

平均線密度 ロッドの質量はその長さの関数です ×.

したがって、特定の点における不均一なロッドの線密度は次のように決定されます。

同様の問題を考慮することで、多くの物理プロセスについて同様の結論を得ることができます。 それらの一部を表に示します。

関数	式	結論
m(t) – 消費された燃料の質量の時間依存性。		デリバティブ 時間の経過とともに大衆がある スピード燃費。
T(t) – 加熱された物体の温度の時間依存性。		デリバティブ 経時的な温度がある スピード体の加熱。
m(t) – 放射性物質の崩壊時の質量の時間依存性。		デリバティブ 時間の経過に伴う放射性物質の質量がある スピード放射性崩壊。
q(t) – 導体を流れる電気量の時間依存性		デリバティブ 時間の経過に伴う電力量がある 現在の強さ.
A(t) – 作業時間への依存性		デリバティブ 時間通りに働くがある 力.

実践的なタスク:

大砲から発射された発射体は、x(t) = – 4t 2 + 13t (m) の法則に従って移動します。 3 秒後の発射体の速度を求めます。

時間 t = 0 秒から始まり、導体を流れる電気量は次の式で与えられます。 q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Kul) 5 秒後の電流の強さを求めます。

1 kg の水を 0 ℃から 2 ℃まで加熱するのに必要な熱量 Q (J) は、式 Q(t) = t + 0.00002t 2 + 0.0000003t 3 で求められます。 t = 100°の場合の水の熱容量を計算します。

物体は x(t) = 3 + 2t + t 2 (m) の法則に従って直線運動します。 1 秒と 3 秒の時点での速度と加速度を求めます。

t = 3 秒で、法則 x(t) = t 2 – 4t 4 (m) に従って移動する質量 m の点に作用する力 F の大きさを求めます。

質量が m = 0.5 kg の物体は、x(t) = 2t 2 + t – 3 (m) の法則に従って直線運動します。 動き始めてから 7 秒後の体の運動エネルギーを求めます。

結論

さらに多くの技術的問題を指摘することができ、その解決のためには、対応する関数の変化率を見つけることも必要です。
たとえば、回転体の角速度、加熱時の物体の線膨張係数、特定の時点での化学反応の速度を求めます。
関数の変化率の計算、言い換えれば、引数の増分に対する関数の増分の比率の制限の計算につながる問題が豊富であるため、後者の傾向がある場合、ゼロまで下げるには、任意の関数のそのような制限を分離し、その基本特性を研究する必要があることが判明しました。 この制限はと呼ばれました 関数の導関数。

そこで、多数の例を使用して、さまざまな物理プロセスが数学的問題を使用してどのように記述されるか、解決策の分析によってどのようにプロセスの経過についての結論と予測が導き出せるかを示しました。
もちろん、この種の例の数は膨大であり、興味のある学生はそのかなりの部分にアクセスできます。

「音楽は魂を高揚させたり、落ち着かせたりしますが、
絵画は目にも楽しいものですが、
詩は感情を目覚めさせるものであり、
哲学とは心の欲求を満たすことであり、
エンジニアリングは人々の生活の物質的な側面を改善することです。
そして数学はこれらすべての目標を達成することができます。」

アメリカの数学者はこう言った モーリス・クライン.

参考文献 :

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2. Vilenkin N.Ya.、Shibasov A.P.数学の教科書のページの裏。 – M: 啓蒙、1996 年。
3. ドブロホトワ M.A.、サフォノフ A.N.。 関数、その限界、導関数。 – M: 啓蒙、1969 年。
4. コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.代数と数学的解析の始まり。 – M: 教育、2010 年。
5. コロソフ A.A.数学に関する課外読書のための本。 – M: ウチュペギズ、1963 年。
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7. ヤコブレフ G.N.専門学校向けの数学。

代数と解析の始まり、パート 1 - M: Nauka、1987 年。

指定された曲線の接線の傾きを決定します。 科学的な観点からすると、さらに重要なタスクは、時間の経過とともに変化する量の変化率を計算することです。 ニュートンが微分積分学に取り組んだのはこの側面からでした。 特に、ニュートンは、時間と移動する粒子の位置を変数 (ニュートンの言葉では「流動体」) として考慮することにより、速度の現象を分析しようとしました。 粒子が x 軸に沿って移動する場合、任意の時刻 t における粒子 x の位置を示す関数が与えられるため、その移動は完全に定義されます。 x 軸に沿った一定速度の「等速運動」は、初期瞬間における粒子の位置を a とする一次関数によって決定されます。

平面上の粒子の運動は 2 つの関数で記述されます。

時間の関数としてその座標を決定します。 特に、2 つの一次関数は等速運動に対応します。

ここで、一定速度の 2 つの「成分」、a と c は粒子の初期位置の座標です (粒子の軌道は直線であり、方程式は次のとおりです)。

は上記の 2 つの関係を消去することで得られます。

粒子が重力のみの影響下で垂直面 x、y 内を移動する場合、その運動 (これは初等物理学で証明されています) は 2 つの方程式によって決定されます。

ここで、 は初期瞬間の粒子の状態に応じた定数であり、時間を秒単位、距離をメートル単位で測定した場合、重力による加速度は約 9.81 です。 この２つの方程式を消去して得られる軌道は放物線です

それ以外の場合、軌跡は垂直軸のセグメントになります。

粒子が特定の曲線に沿って強制的に移動する場合 (電車がレールの上を移動するのと同じように)、その動きは関数 (時間の関数で、特定の曲線に沿って計算された円弧の長さに等しい) によって決定できます。たとえば、単位円について話している場合、関数は速度 c でのこの円上の等速回転運動を決定します。

エクササイズ。 方程式で与えられる平面運動の軌道を描きます。上記の放物線運動では、粒子の初期位置 (座標の原点にある) を想定し、軌道の最高点の座標を求めます。対応する時間と x 値を求めます。軌道と軸の二次交点まで

ニュートンが自分自身に設定した最初の目標は、不均一に移動する粒子の速度を見つけることでした。 簡単にするために、関数で指定された特定の直線に沿った粒子の動きを考えてみましょう。動きが均一である場合、つまり一定の速度で実行される場合、この速度は 2 つの時間と粒子の対応する位置と比率を計算する

たとえば、時間単位で測定した場合、 ; キロメートル単位の場合、その差は 1 時間に移動するキロメートル数、つまり速度 (時速キロメートル) になります。 速度が一定量であると言うとき、それらは単に差の比率を意味します。

しかし、動きが不均一な場合 (たとえば、物体の自由落下で発生し、落下するにつれて速度が増加します)、関係式 (3) は の値を与えません。瞬間の速度であり、一般に から までの時間間隔における平均速度と呼ばれるものを表します。 瞬間の速度を取得するには、平均の限界を計算する必要があります。

テンディング時の速度 したがって、ニュートンとともに速度を次のように定義します。

言い換えれば、速度は時間に対する「移動経路」(直線上の粒子の座標)、または時間に対する経路の「瞬間的な変化率」の導関数です。式(3)で求められる平均変化率。

速度そのものの変化率を加速度といいます。 加速度は単に微分の微分です。 通常、 記号で表され、関数の二次導関数と呼ばれます。

ガリレオは、物体の自由落下中に時間の経過とともに移動する垂直距離 x が次の式で表されることに気づきました。