偶数と奇数。偶数と奇数 34 偶数または奇数

整数は 2 で割り切れる場合を偶数と言います。それ以外の場合は奇数と呼ばれます。したがって、偶数は

そして奇数 -

偶数が 2 で割り切れることから、すべての偶数はの形式で記述できることがわかります。ここで、記号は任意の整数を示します。あるシンボル (この場合は文字など) が、指定されたオブジェクトのセット (この場合は整数のセット) の任意の要素を表すことができる場合、このシンボルの範囲が指定されたオブジェクトのセットであると言います。したがって、検討中のケースでは、すべての偶数はの形式で書くことができ、記号の範囲は整数のセットと一致します。たとえば、偶数 18、34、12、および -62 はの形式で、それぞれ 9、17、6、および -31 に等しくなります。という文字を使用する特別な理由はありません。偶数は等しい形式の整数であると言う代わりに、偶数は次の形式であると言うことができます。

2 つの偶数を加算すると、結果も偶数になります。この状況を次の例で説明します。

ただし、偶数の集合が加算の下で閉じられるという一般的な命題を証明するには、一連の例だけでは十分ではありません。そのような証明を行うために、一方の偶数をで表し、もう一方の偶数をで表します。これらの数字を追加すると、次のように書くことができます

金額はの形式で記載されます。このことから、これは 2 で割り切れることがわかります。次のように書くだけでは十分ではありません。

最後の式は偶数と同じ数の合計であるためです。言い換えれば、偶数の 2 倍もまた偶数 (実際には 4 で割り切れる) であることを証明しますが、任意の 2 つの偶数の合計が偶数であることを証明する必要があります。したがって、これらの数値が異なる可能性があることを示すために、ある偶数と別の偶数の表記を使用しました。

奇数を記述するにはどのような表記法を使用できますか? 奇数から 1 を引くと偶数になることに注意してください。したがって、この種のレコードは、フォームに奇数が書き込まれても一意ではないと主張できます。同様に、奇数に 1 を加算すると偶数が生成されることに気づくかもしれません。そして、これから、奇数は次のように書かれると結論付けるかもしれません。

同様に、奇数は or などの形式で記述されると言えます。

すべての奇数は、この式に整数を代入するという形式で書かれていると言えますか?

次の一連の数値が得られます。

これらの数値はそれぞれ奇数ですが、奇数をすべて網羅するわけではありません。たとえば、奇数の 5 はこの方法では書けません。したがって、形式の整数はすべて奇数ですが、すべての奇数がの形式であるということは真実ではありません。同様に、すべての偶数が、記号 k の範囲がすべての整数の集合である形式で記述されるということも真実ではありません。たとえば、6 は A として使用するどの整数とも等しくありません。ただし、この形式のすべての整数は偶数です。

これらのステートメント間の関係は、「すべての猫は動物である」と「すべての動物は猫である」というステートメント間の関係と同じです。最初のものは真実ですが、二番目のものは真実ではないことは明らかです。この関係については、「その後」、「そのときだけ」、「そのときだけ」というフレーズを含むステートメントの分析でさらに詳しく説明します (第 II 章の § 3 を参照)。

演習

次の記述のうち、どれが真実でどれが間違っていますか? (文字の範囲はすべての整数のセットであるとみなされます。)

1. すべての奇数は次のように表すことができます。

2. タイプ a) のすべての整数 (演習 1 を参照) は奇数です。 b)、c)、d)、e)、f) の形式の数字にも同じことが当てはまります。

3. すべての偶数は次のように表すことができます。

4. a) 型のすべての整数 (演習 3 を参照) は偶数です。 b)、c)、d)、および e) の形式の数字にも同じことが当てはまります。

問題を解決する際には、偶数 (奇数) の考慮事項がよく使用されます。数学の問題（初歩的なものと非常に「高度な」ものの両方）。この記事では、そのような問題を解決するためのアプローチについて説明します。

最も単純な例から始めて、最後の部分では、パリティの考慮が役立ついくつかの「オリンピック」タスクを検討します。

偶数と奇数。初期情報

この記事では主に自然数または整数について考えます。数値は 2 で割り切れる場合でも呼び出されることを思い出してください。つまり、任意の偶数 n は n = 2k (k は整数) として表すことができ、任意の奇数は n = 2k として表すことができます。 + 1 (または n = 2k - 1)。もちろん、ゼロは偶数とみなされます。

例1。数値 34 と 171 を 2k または 2k + 1 として表現します (k は整数)。

34 = 2 17 (34 は偶数); 171 = 2 85 + 1 (171 は奇数です)。

タスク 1。数値 68、133、-2246、および -8977 を 2k または 2k+1 として書き込みます (k は整数)。

タスク 2。 18 という数字を次のように想像してください: a) 2 つの偶数の合計、b) 2 つの奇数の合計。偶数と奇数を足すと18は得られますか?

タスク 3。 24 という数字を次のように想像してください: a) 2 つの偶数の積、b) 偶数と奇数の積。 2つの奇数を掛けると24を得ることができますか?

偶数（奇数）の和、積、商

ステートメント 1。 2 つの偶数の和は偶数です。

証拠。数値 m と n を偶数とします。 r = m + n も偶数であることを証明しましょう。 m=2k、n=2p、ここで k と p は整数です。したがって、r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s となります。数値 k と p が整数の場合、それらの合計 s も整数になります。数値 r が 2 と整数の積として表現できることを証明しました。証明は完了です。

ステートメント 2。 2 つの奇数の和は偶数です。それを自分で証明してください。

ステートメント 3。偶数と奇数の和は奇数になります。それを自分で証明してください。

ステートメント 4。 2 つの奇数の積は奇数です。

証拠。数値 m と n を奇数とします。数 r = m n も奇数であることを証明しましょう。
m = 2k + 1、n = 2p + 1、k と p は整数です。
次に、r = m n = (2k+1) (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1 となります。

数値 k と p が整数の場合、数値 s = 2kp + k + p も整数です。
数値 r は r = 2s + 1 として表すことができ、したがって奇数であることが証明されました。等。

ステートメント 5。 2 つの偶数の積は偶数です。それを自分で証明してください。

ステートメント6。偶数と奇数の積は偶数です。それを自分で証明してください。

そして、偶数を偶数で割ると（そうではありません）ゼロに等しい）？偶数か奇数か? 当然のことながら、明確な答えは出せません。たとえば、12 を 4 で割ると奇数の結果が得られ、32 を 4 で割ると偶数の結果が得られます。

すでに退屈している場合は、記事のパート 2 に進んでください。そうすれば、いつでも戻ってくることができます。これらすべての理論的構成が退屈でなければ、続けてみましょう。

実際、なぜ 2 つの数字だけを考慮しているのでしょうか? もっと大きく考えてみましょう！

ステートメント 7。任意の数の偶数の和は偶数です。

証拠。数値 M 1、M 2、...、M N を偶数とすると、2K 1、2K 2、...、2K N として表すことができます。ここで、K 1、K 2、...、K N は整数です。。

M 1 + M 2 + ... + M N = 2K 1 + 2K 2 + ... + 2K N = 2(K 1 + K 2 + ... + K N) = 2S、ここで S は整数です。パリティが証明されています。

ステートメント 8。偶数の奇数の和は偶数です。奇数の奇数の和は奇数です。それを自分で証明してください。

ステートメント9。製品が奇数になり得るのは、その要素がすべて奇数である場合のみです。それを自分で証明してください。

したがって、すべての項が偶数なので、合計 2+4+6+...+1022+1024 は偶数になります。合計 1+3+5+7+9 には 5 つの奇数項が含まれるため、奇数になります。積 2*3*4*...*1001*1002 は、最初の因数が偶数であるという理由だけで偶数になります。

タスク 4。次の式は偶数または奇数になります: a) 2+12+22+...+1002+1012+1022、b) 1+11+111+...+111111+1111111、c) 3*13*23 *..*10003*10013*10023、d) 2*3*4*...*12357891 ?

タスク5。すべての積であることを証明してください素数、1000000を超えないこともあります。それぞれが 100 より大きい任意の数の素数の積が奇数であることを証明します。思い出させてください自然数それ自身と 1 でのみ割り切れる場合、それは素数と呼ばれます。

そして再び和と積について

例 2。若い数学者ペティアは、2 つの整数の和とその積を加算しました。彼は 56792 という番号を取得したと主張しています。元の番号の少なくとも 1 つが奇数であることがわかっている場合、これは可能でしょうか?

解決。最初の数値を A と B として表します。明らかに、4 つのオプションが可能です。

A と B は偶数です (ただし、この場合は問題では考慮されません)。
AとBは奇数ですが、
Aは偶数、Bは奇数、
Aは奇数、Bは偶数です。

原則として、最後の 2 つのケースは問題なく組み合わせることができますが、私たちにとって、これは現時点では重要ではありません。前の段落で、和と積の等価性に関するすべてがわかりました。では、表を作ってみましょう。最初の 2 列は数値 A と B のパリティを示し、3 列目は和のパリティ、4 列目は積のパリティ、5 列目は最終数値のパリティを示します。

あ	B	A+B	AB	(A+B) + AB
H	H	H	H	H
N	N	H	N	N
H	N	N	H	N
N	H	N	H	N

すべての場合（最初の場合を除く）で、次のようになります。奇数結果！

ちなみに、私たちの若い友人のペティアは、偶数を取得したと主張しています。私たちはそれが不可能であることを証明しました。ペティアは間違っていました。

タスク6。若い数学者のマーシャは、2 つの整数の積とその合計を掛けました。彼女は、その番号は 89999719 であることが判明したと主張しています。マーシャは正しいでしょうか?

タスク 7。若い数学者ペティアは、2 つの整数を足すと 927、掛け算すると 6321 になったと主張しています。これは可能でしょうか? 答えを説明してください。

読者にとって、記事の最初の部分はかなり退屈で単調に見えるかもしれないことは承知しています。残念ながら、これらの「退屈な」基本概念なしには不可能です。次はもっと面白くなることを約束します。

奇数- 整数 共有されていません剰余なし: …、−3、−1、1、3、5、7、9、…

もし メートルが偶数の場合、次の形式で表すことができます。 $m = 2k$ 、奇数の場合は、次の形式で $m = 2 k + 1$ 、どこ $k \in \mathbb Z$ .

歴史と文化

数値のパリティの概念は古代から知られており、しばしば神秘的な意味を与えられていました。中国の宇宙論や自然哲学では、偶数は「陰」、奇数は「陽」の概念に対応します。

でさまざまな国贈る花の数にはさまざまな習慣があります。たとえば、アメリカ、ヨーロッパ、その他の一部の国では、東の国々偶数の花を贈ると幸せが訪れると信じられています。ロシアとCIS諸国では、死者の葬儀にのみ偶数の花を持参する習慣があります。ただし、花束にたくさんの花がある場合 (通常はそれ以上)、花の数の偶数または奇数は何の役割も果たしません。たとえば、女性に 12 個、14 個、16 個などの花や切り花の花束を贈ることはまったく問題ありません。ブッシュフラワー多くの芽を持っていますが、原則としてそれらはカウントされません。これは、他の機会に贈られる多数の花 (カット) に特に当てはまります。

練習する

より高いところでは教育機関教育プロセスのスケジュールが複雑な場合、偶数週と奇数週が使用されます。これらの週内では、トレーニングセッションのスケジュールが異なり、場合によっては開始時刻と終了時刻が異なります。この実践は、教室や校舎全体に負荷を均等に分散し、教室の負荷が低い分野（2 週間に 1 回）で授業のリズムを確保するために使用されます。

列車の時刻表では、進行方向 (直進または逆方向) に応じて、偶数と奇数の列車番号が使用されます。したがって、偶数/奇数は列車が各駅を通過する方向を表します。

月の偶数日と奇数日は、隔日で編成される列車のスケジュールに関連付けられる場合があります。

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注意事項

リンク

OEIS のシーケンス A005408: 奇数
OEIS のシーケンス A005843: 偶数
OEIS のシーケンス A179082: 10 進表記の桁の合計が偶数の偶数

偶数と奇数について説明する抜粋

「まあ、まあ」とアンドレイ王子はアルパティチに向き直り、「私が言ったように、すべてを話してください。」 - そして、隣で沈黙したベルクに何も答えず、馬に手を触れて路地へ乗り込んだ。

軍隊はスモレンスクからの撤退を続けた。敵は彼らを追った。 8月10日、アンドレイ王子が指揮する連隊は幹線道路に沿って、はげ山に続く大通りを通過した。暑さと干ばつは3週間以上続きました。毎日、縮れた雲が空を横切り、時々太陽を遮りました。しかし夕方にはまた晴れてきて、太陽は赤茶色のもやの中に沈みました。重い夜露だけが地球をリフレッシュしました。根元に残ったパンが焦げてこぼれた。沼地は乾いています。牛たちは日に焼けた牧草地で食べ物を見つけることができず、飢えてうなり声を上げていました。夜と森の中だけはまだ露があり、涼しかったです。しかし、道路沿い、軍隊が行進する幹線道路沿い、たとえ夜であっても、森の中であっても、そのような涼しさはありませんでした。四分の一アルシン以上も押し上げられた道路の砂埃の上では、露は目立ちませんでした。夜が明けるとすぐに運動が始まりました。輸送船団と大砲は拠点に沿って静かに歩き、歩兵は一晩中冷えなかった柔らかく蒸れた熱い砂埃に足首まで浸かった。この砂塵の一部は足と車輪でこねられ、もう一部は上昇して軍の上空に雲のように立ち、目、髪、耳、鼻孔、そして最も重要なことに、これを移動する人々や動物の肺に突き刺さりました。道。太陽が高く昇るほど、塵の雲は高く上がり、この薄くて熱い塵を通して、雲に覆われていない太陽を単純な目で見ることができました。太陽は大きな深紅の球として現れました。風もなく、この静かな雰囲気の中で人々は息苦しくなっていました。人々は鼻や口にスカーフを巻いて歩いていました。村に到着すると、みんなは井戸に急ぎました。彼らは水を求めて争って、汚れるまで水を飲みました。
アンドレイ王子は連隊を指揮し、連隊の構造、国民の福祉、命令を受けて与える必要性が彼を占めました。スモレンスク火災とその放棄は、アンドレイ王子にとっての時代だった。敵に対する新たな恨みの感情が彼を悲しみを忘れさせた。彼は連隊の業務に全面的に専念し、部下や士官たちを気遣い、愛情深く接していた。連隊では彼を私たちの王子と呼び、誇りに思い、愛していました。しかし、彼が親切で柔和だったのは、連隊の兵士やティモキンなど、まったく新しい人々や異質な環境、彼の過去を知り理解できない人々に対してのみでした。しかし、杖から前の彼のものに遭遇するとすぐに、彼はすぐに再び逆立った。彼は怒り、嘲笑し、軽蔑するようになった。彼の記憶と過去を結びつけるものすべてが彼を反発させたので、彼はこの元の世界との関係において不公平にならないように、そして自分の義務を果たそうとだけ努めました。
確かに、アンドレイ王子にはすべてが暗く陰鬱な光の中に見えた――特に8月6日にスモレンスクを出発した後（彼の概念によれば、スモレンスクは守ることができたし、守るべきだった）、そして病気だった父親が逃げなければならなかった後は。モスクワに行き、彼が愛して築き、人が住んでいた禿げ山脈を略奪のために投げ捨てる。しかし、それにもかかわらず、連隊のおかげで、アンドレイ王子は完全に独立して別のことを考えることができました一般的な問題件名 - あなたの連隊について。 8月10日、彼の連隊がいた縦隊ははげ山に到着した。アンドレイ王子は２日前、父、息子、妹がモスクワへ出発したという知らせを受けた。アンドレイ王子ははげ山では何もすることがありませんでしたが、悲しみを和らげたいという特有の欲求から、はげ山に立ち寄るべきだと決心しました。
彼は馬に鞍を付けるよう命じ、移行期から馬に乗って父親の村に向かい、そこで生まれ、幼少期を過ごしました。数十人の女性たちがいつも話したり、ローラーを叩いたり、洗濯物をすすいだりしている池の横を車で通り過ぎたアンドレイ王子は、池には誰もいなくて、半分水で満たされた引き裂かれたいかだが池の真ん中に横向きに浮かんでいることに気づいた。池。アンドレイ王子は車で門番小屋まで行きました。石造りの入り口の門には誰もおらず、扉は施錠されていなかった。庭の小道はすでに草が生い茂り、子牛や馬がイギリスの公園を歩き回っていました。アンドレイ王子は温室まで車で行きました。ガラスは割れ、浴槽の木々は倒れ、枯れた木もあった。彼は庭師のタラスに声をかけた。誰も反応しませんでした。展示会場に向かう温室を歩いていると、木彫りの柵がすべて壊れ、梅の実が枝から引きちぎられているのが見えた。老人（アンドレイ王子は子供の頃に門で彼を見ていた）が緑のベンチに座って靱皮靴を編んでいた。
彼は聴覚障害があり、アンドレイ王子の入場が聞こえませんでした。彼は老王子が好んで座っていたベンチに座っており、その近くには折れて乾いたマグノリアの枝に棒がぶら下がっていました。
アンドレイ王子は家まで車で行きました。古い庭にあったシナノキの木が数本切り倒され、バラの木の間にある家の前を一頭の丸毛の馬が子馬を連れて歩いていた。家は雨戸で板で塞がれていた。下の階の窓が一つ開いていました。庭の少年はアンドレイ王子を見て、家に駆け込みました。
アルパティチは家族を送り出し、はげ山に一人で残った。彼は家に座って『ライヴ』を読んでいました。アンドレイ王子の到着を知った彼は、鼻に眼鏡をかけ、ボタンを留めて家を出て、急いで王子に近づき、何も言わずに泣き始め、アンドレイ王子の膝にキスをしました。

宇宙には対立するもののペアが存在します。重要な要素彼女のデバイス。数秘学者が偶数 (1、3、5、7、9) と奇数 (2、4、6、8) の反対の対として考える主な性質は次のとおりです。

1 - 活動的、目的意識があり、横暴、無神経、主導的、主導権 2 - 受動的、受容的、弱い、同情的、従順 3 - 明るい、陽気、芸術的、成功者、容易に成功を収める 4 - 勤勉、退屈、自発性の欠如、不幸。勤勉でよく負ける 5 - 活動的、進取的、神経質、不安、セクシー 6 - シンプル、穏やか、家庭的、よく調整されている。母性愛 7 - 世界からの離脱。神秘主義、秘密8 - 世俗的な生活。物質的な成功または失敗 9 - 知的および精神的な完璧さ

奇数にはさらに顕著な特性があります。「1」のエネルギー、「3」の明るさと幸運、「5」の冒険的な機動力と多才さ、「7」の知恵、そして「9」の完璧さの次には、偶数はそれほど明るく見えません。宇宙には主に 10 の対極が存在します。これらのペアには、偶数 - 奇数、1 - 多、右 - 左、男性 - 女性、善 - 悪があります。 1、右、男性的、善は奇数に関連付けられていました。多く、左、女性的、そして悪 - 偶数のもの。奇数には特定の生成中間点がありますが、偶数にはその内部に隙間のような知覚的な穴があります。男根の奇数の男性的な性質は、偶数よりも強いという事実から生じます。偶数を半分に分割すると、真ん中には空っぽしか残りません。真ん中に点があるので、奇数を分割するのは簡単ではありません。偶数と奇数を組み合わせると、結果は常に奇数になるため、奇数が勝ちます。奇数には力強く厳しい男性的な性質があり、偶数には女性的で受動的で受容的な性質があるのはこのためです。奇数は 5 つあります。偶数の偶数は4です。奇数は太陽、電気、酸性、動的です。それらは用語です。それらは何かと組み合わされています。偶数は月、磁性、アルカリ性、静的です。それらは控除の対象となり、減額されます。偶数のペアのグループ (2 と 4、6 と 8) があるため、それらは動かないままです。奇数をグループ化すると、常に 1 つの数字がそのペア (1 と 3、5 と 7、9) なしで残ります。そのため、2 つの似た数字 (2 つの奇数または 2 つの偶数) は縁起が良くありません。

偶数 + 偶数 = 偶数 (静的) 2+2=4 偶数 + 奇数 = 奇数 (動的) 3+2=5 奇数 + 奇数 = 偶数 (静的) 3+3=6

フレンドリーな番号もあります。他の人は互いに反対します。数字間の関係は、それらを支配する惑星間の関係によって決まります (詳細は「数字の互換性」セクションを参照)。 2 つの友好的な数字が接触した場合、その協力はあまり生産的ではありません。友達のように、彼らはリラックスしますが、何も起こりません。しかし、敵対的な数字が同じ組み合わせの場合、お互いに警戒を強いられ、積極的な行動を取るよう奨励し合います。だからこの二人はもっと仕事をすることになる。この場合、敵対的な数字が実際には友人であることが判明し、友人が本当の敵であることが判明し、進歩が遅れます。中立的な番号は非アクティブなままです。これらはサポートを提供したり、活動を引き起こしたり抑制したりするものではありません。

スピリチュアルな数秘術において、偶数と奇数は何を意味しますか。勉強する上ではとても重要な話題！偶数は本質的に奇数とどう違うのでしょうか?

丁数

偶数は 2 で割り切れる数であることはよく知られています。つまり、2、4、6、8、10、12、14、16、18 などの数字です。

偶数は何に対して何を意味しますか? 2で割ることの数秘術的な本質は何ですか? しかし重要なのは、2 で割り切れるすべての数値は 2 の性質を持っているということです。

それにはいくつかの意味があります。まず、これは数秘術において最も「人間らしい」数字です。つまり、2という数字は、人間の弱さ、欠点、利点の全範囲を反映しています。より正確には、社会で一般的に長所と短所、「正しさ」と「不正確さ」であると考えられているものを反映しています。

そして、これらの「正しさ」と「不正確さ」というラベルは、私たちの限られた世界観を反映しているため、2 は数秘術において最も限定された、最も「愚かな」数字であると考えられる権利があります。このことから、偶数は、2 で割り切れない奇数に比べて、はるかに「頭が固く」単純であることが明らかです。

ただし、これは偶数が奇数よりも悪いという意味ではありません。それらはただ異なっていて、異なった形態を反映しているだけです人間の存在奇数との比較における意識。スピリチュアルな数秘術における偶数は常に、通常の、物質的な、「地上の」論理の法則に従います。なぜ？

なぜなら、2 つのもう 1 つの意味は、標準的な論理的思考だからです。そして、スピリチュアルな数秘術におけるすべての偶数は、何らかの形で、現実を認識するための特定の論理的規則の影響を受けます。

基本的な例として、石が投げ上げられると、石は一定の高さになると地面に激突します。これが偶数の「考え方」です。そして、奇数の数字は、石が宇宙に飛び去ることを容易に示唆します。さもなければ、それは到着せず、空中のどこかで立ち往生するでしょう...長い間、何世紀にもわたって。あるいは、そのまま溶けてしまいます！仮説が非論理的であればあるほど、奇数に近づきます。

奇数

奇数とは、2 で割り切れない数字です。1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21 などです。スピリチュアルな数秘術の観点から見ると、奇数は物質的なものではなく、スピリチュアルな論理の影響を受けます。

ところで、これは考えの材料になります。なぜ生きている人の花束の花の数は、死んだ人の場合でも奇数なのでしょうか...それは物質的な論理（「はい/いいえ」の枠組み内の論理）によるものですか？）人間の魂に比べて死んでいるのでしょうか？

物質的な論理と精神的な論理の目に見える偶然の一致は非常に頻繁に起こります。しかし、これに騙されないでください。精神の論理、つまり奇数の論理は、人間の存在と意識の外部の物理的なレベルでは決して完全には追跡できません。

たとえば、愛の数を考えてみましょう。私たちはことあるごとに愛について話します。私たちはそれを告白し、それについて夢を見、自分や他の人の人生をそれで飾ります。

しかし、私たちは愛について本当に何を知っているのでしょうか? 宇宙のあらゆる領域に浸透する、そのすべてに浸透する愛について。温かさと同じくらい冷たさ、優しさと同じくらい多くの憎しみがあることに、どうやって同意し、受け入れることができるでしょうか?! 私たちは、これらの矛盾こそが愛の最高の創造的な本質を構成していることに気づくことができるでしょうか?!

逆説性は奇数の重要な性質の 1 つです。で奇数の解釈私たちは理解しなければなりません：人にとってそう見えるものは、必ずしも実際に存在するとは限りません。しかし同時に、誰かにとって何かがそう見えるなら、それはすでに存在しているということです。食べるさまざまなレベル存在、そして幻想もその一つです...

ちなみに、心の成熟は逆説を認識する能力によって特徴付けられます。したがって、奇数を説明する場合は、偶数を説明する場合よりも少し多くの頭脳が必要になります。