Vieta を使用して二次方程式の根を計算します。 オンライン計算機。 二次方程式を解く

ビエタの定理（より正確には、 定理の逆 Vieta) を使用すると、二次方程式を解く時間を短縮できます。 使い方を知る必要があるだけです。 ビエタの定理を使って二次方程式を解く方法を学ぶにはどうすればよいですか? 少し考えてみれば難しいことではありません。

ここでは、縮小二次方程式のビエタの定理による解についてのみ説明します。 二次方程式は、a、つまり x² の係数、 1に等しい。 ビエタの定理を使用して与えられない二次方程式を解くこともできますが、根の少なくとも 1 つは整数ではありません。 それらを推測するのはさらに困難です。

ビエタの定理の逆定理は次のように述べています: 数値 x1 と x2 が次のようなものである場合

x1 と x2 は二次方程式の根です

ビエタの定理を使用して二次方程式を解く場合、可能な選択肢は 4 つだけです。 推論の流れを覚えていれば、根全体をすばやく見つけることができます。

I. q が正の数の場合、

これは、根 x1 と x2 が同じ符号の数であることを意味します (同じ符号を持つ数値を乗算するだけで正の数が生成されるため)。

I.a. -p が正の数の場合、 (それぞれ、p<0), то оба корня x1 и x2 — 正の数(同じ符号の数値を加算して正の数値を得たため)。

I.b. -p の場合 — 負の数, (それぞれ、p>0)、両方の根は負の数です (同じ符号の数を加算すると、負の数が得られます)。

II. q が負の数の場合、

これは、根 x1 と x2 の符号が異なることを意味します (数値を乗算する場合、因数の符号が異なる場合にのみ負の数が得られます)。 この場合、x1+x2 は合計ではなく差になります (結局のところ、数値を加算する場合) さまざまな兆候大きい方から小さい方を引きます）。 したがって、x1+x2 は、根 x1 と x2 がどれだけ異なるか、つまり、一方の根が他方の根よりどれだけ大きいかを (絶対値で) 示します。

II.a. -p が正の数の場合、 (つまり、p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p が負の数の場合、 (p>0) の場合、大きい方の (モジュロ) 根は負の数になります。

例を用いてビエタの定理を使って二次方程式を解くことを考えてみましょう。

ビエタの定理を使用して、指定された二次方程式を解きます。

ここで、q=12>0 であるため、根 x1 と x2 は同じ符号の数になります。 それらの合計は -p=7>0 であるため、両方の根は正の数になります。 積が 12 に等しい整数を選択します。これらは、1 と 12、2 と 6、3 と 4 です。ペア 3 と 4 の合計は 7 です。これは、3 と 4 が方程式の根であることを意味します。

で この例では q=16>0、つまり根 x1 と x2 は同じ符号の数です。 それらの合計は -p=-10 です<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

ここで q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 の場合、大きいほうの数値が正になります。 したがって、根は 5 と -3 です。

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

ビエタの定理に進む前に、定義を紹介します。 次の形式の二次方程式 ײ + ピクセル + q= 0 を削減といいます。 この式では、先頭の係数は 1 に等しくなります。 たとえば、次の方程式 ײ - 3 ×- 4 = 0 が減ります。 次の形式の二次方程式 斧² + b × + c= 0 は、方程式の両辺を次で割ることによって減らすことができます。 あ≠ 0。たとえば、式 4 ײ + 4 ×— 3 = 0 を 4 で割ると、次の形式になります。 ײ + ×- 3/4 = 0。縮小二次方程式の根の公式を導き出しましょう。これには、一般的な二次方程式の根の公式を使用します。 斧² + bx + c = 0

縮小された方程式 ײ + ピクセル + q= 0 は次の一般式と一致します。 あ = 1, b = p, c = q.したがって、指定された二次方程式の場合、式は次の形式になります。

最後の式は、縮小二次方程式の根の式と呼ばれ、次の場合にこの式を使用すると特に便利です。 r- 偶数。 たとえば、方程式を解いてみましょう ײ — 14 × — 15 = 0

それに応じて、方程式には 2 つの根があると書きます。

正の縮小二次方程式では、次の定理が成り立ちます。

ビエタの定理

もし × 1と × 2 - 方程式の根 ײ + ピクセル + q= 0 の場合、式は有効です。

× 1 + × 2 = — r

x 1 * x 2 = q、つまり、縮小された 2 次方程式の根の合計は、反対の符号が付いた 2 番目の係数に等しく、根の積は自由項に等しくなります。

上記の二次方程式の根の公式に基づいて、次のようになります。

これらの等式を追加すると、次のようになります。 × 1 + × 2 = —r.

二乗差の公式を使用してこれらの等式を乗算すると、次のようになります。

この場合、二次方程式に 2 つの同一の根があると仮定すると、ビエタの定理は判別式が 0 に等しい場合にも有効であることに注意してください。 × 1 = × 2 = — r/2.

方程式を解かずに ײ — 13 ×+ 30 = 0 根の和と積を求めます。 × 1と × 2. この方程式 D= 169 – 120 = 49 > 0 したがって、ビエタの定理が適用できます。 × 1 + × 2 = 13, × 1 * × 2 = 30. さらにいくつかの例を見てみましょう。 方程式の根の 1 つ ײ — ピクセル- 12 = 0 は等しい × 1 = 4. 係数を求める rそして2番目のルート ×この式の 2 です。 ビエタの定理より × 1 * × 2 =— 12, × 1 + × 2 = — r.なぜなら × 1 = 4、その後 4 × 2 = - 12、どこから × 2 = — 3, r = — (× 1 + × 2) = - (4 - 3) = - 1. 答えとして、2 番目の根を書き留めます。 × 2 = - 3、係数 p = — 1.

方程式を解かずに ײ + 2 ×- 4 = 0 の根の二乗和を求めてみましょう。 させて × 1と × 2 - 方程式の根。 ビエタの定理より × 1 + × 2 = — 2, × 1 * × 2 = — 4. なぜなら × 1㎡以上 × 2² = ( × 1 + × 2)² - 2 × 1 × 2その後 × 1㎡以上 × 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12。

方程式 3 の根の和と積を求めてみましょう。 ײ + 4 ×- 5 = 0。この方程式には 2 つの異なる根があります。 D= 16 + 4*3*5 > 0。方程式を解くには、ビエタの定理を使用します。 この定理は、与えられた二次方程式に対して証明されています。 そこで、この式を 3 で割ってみましょう。

したがって、根の合計は -4/3 に等しく、その積は -5/3 に等しくなります。

一般に、方程式の根は 斧² + b × + c= 0 は次の等式によって関連付けられます。 × 1 + × 2 = — b/a、x 1 * x 2 = c/a、これらの式を得るには、この二次方程式の両辺を次の式で割れば十分です。 あ ≠ 0 そして、結果として得られる縮小二次方程式にビエタの定理を適用します。 例を考えてみましょう。根が次のような縮小二次方程式を作成する必要があります。 × 1 = 3, × 2 = 4. なぜなら × 1 = 3, × 2 = 4 - 二次方程式の根 ײ + ピクセル + q= 0、その後、ビエタの定理により r = — (× 1 + × 2) = — 7, q = × 1 × 2 = 12。答えは次のように書きます。 ײ — 7 ×+ 12 = 0。いくつかの問題を解くとき、次の定理が使用されます。

ビエタの定理と逆の定理

もし数字が r, q, × 1 , × 2はそのようなものです × 1 + × 2 = — p、x 1 * x 2 = q、 それ ×1そして ×2- 方程式の根 ײ + ピクセル + q= 0. 左辺に代入 ײ + ピクセル + qの代わりに r表現 - （ × 1 + × 2) その代わりに q- 仕事 × 1 * × 2 。得られるものは次のとおりです。 ײ + ピクセル + q = ײ — ( × 1 + × 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2)。したがって、数値が r, q, × 1と × 2 はこれらの関係によって接続されているため、すべての ×平等が成り立つ ײ + ピクセル + q = (x - x 1) (x - x 2)、そこから次のことがわかります × 1と × 2 - 方程式の根 ײ + ピクセル + q= 0。ビエタの定理の逆定理を使用すると、選択によって二次方程式の根を見つけることができる場合があります。 例を見てみましょう。 ײ — 5 ×+ 6 = 0。ここでは r = — 5, q= 6. 2 つの数字を選択しましょう × 1と × 2 だから × 1 + × 2 = 5, × 1 * × 2 = 6. ビエタの定理の逆定理により、6 = 2 * 3、および 2 + 3 = 5 であることに注目すると、次のことが得られます。 × 1 = 2, × 2 = 3 - 方程式の根 ײ — 5 × + 6 = 0.

まず、定理自体を定式化しましょう。 x^2+b*x + c = 0 という形式の縮小二次方程式があるとします。この方程式には根 x1 と x2 が含まれているとします。 したがって、定理によれば、次のステートメントが有効になります。

1) 根 x1 と x2 の和は、係数 b の負の値と等しくなります。

2) これらの同じ根の積により、係数 c が得られます。

しかし、与えられた方程式は何でしょうか?

縮小二次方程式は、最高次数の係数が 1、つまり 1 に等しい二次方程式です。 これは、x^2 + b*x + c = 0 という形式の方程式です (方程式 a*x^2 + b*x + c = 0 は縮小されていません)。 言い換えれば、方程式を所定の形式にするためには、この方程式を最高累乗の係数 (a) で割る必要があります。 タスクは、この方程式を次の形式にすることです。

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0。

各方程式を最高次数の係数で割ると、次のようになります。

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0。

例からわかるように、分数を含む方程式も所定の形式に縮小できます。

ビエタの定理を使う

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

根を取得します: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

その結果、根が得られます: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

根が得られます: x1 = −1; x2 = −4。

ビエタの定理の意味

ビエタの定理を使用すると、二次方程式をほぼ数秒で解くことができます。 一見、かなり難しそうに思えますが、5 10 の方程式を解けば、すぐに根が見えてきます。

与えられた例と定理を使用すると、二次方程式の解法を大幅に簡略化できることは明らかです。この定理を使用すると、複雑な計算や判別式の計算を行わずに、実質的に二次方程式を解くことができるからです。計算が少なくなると、間違いが起こりにくくなりますが、これは重要です。

すべての例で、次の 2 つの重要な前提に基づいてこのルールを使用しました。

与えられた方程式、つまり 最高次数の係数は 1 に等しい (この条件は簡単に回避できます。方程式の非還元形式を使用できます。その場合、次のステートメントは有効になります x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ただし、通常、解決するのはさらに困難です:))

方程式に 2 つの異なる根がある場合。 不等式が真であり、判別式が厳密にゼロより大きいと仮定します。

したがって、ビエタの定理を使用して一般的な解アルゴリズムを作成できます。

ビエタの定理を用いた一般解法アルゴリズム

方程式が非還元形式で与えられた場合、二次方程式を還元形式に還元します。 以前に与えられたものとして提示した二次方程式の係数が (小数ではなく) 分数であることが判明した場合、この場合、方程式は判別式によって解く必要があります。

また、最初の方程式に戻ると「便利な」数値を扱うことができる場合もあります。

学校の代数コースで 2 次方程式を解く方法を研究するとき、結果として得られる根の性質が考慮されます。 それらは現在、ビエタの定理として知られています。 この記事では、その使用例を示します。

二次方程式

2 次方程式は、下の写真に示されている等式です。

ここで、記号 a、b、c は、検討中の方程式の係数と呼ばれる数値です。 等式を解くには、それを真にする x の値を見つける必要があります。

x の累乗の最大値は 2 であるため、一般的な場合の根の数も 2 であることに注意してください。

このタイプの等式を解く方法はいくつかあります。 この記事では、そのうちの 1 つである、いわゆるビエタ定理の使用について検討します。

ビエタの定理の定式化

16 世紀末、有名な数学者フランソワ ビエット (フランス) は、さまざまな二次方程式の根の性質を分析しているときに、それらの特定の組み合わせが特定の関係を満たすことに気づきました。 特に、これらの組み合わせはそれらの積と和になります。

ビエタの定理は次のことを確立します。二次方程式の根を合計すると、反対の符号をとった一次係数と二次係数の比が得られ、それらを乗算すると、自由項と二次係数の比が得られます。 。

方程式の一般的な形式がこの記事の前のセクションの写真に示されているように記述される場合、この定理は数学的には 2 つの等式の形式で記述できます。

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 × r 2 = c / a。

ここで、r 1 、r 2 は問題の方程式の根の値です。

上記の 2 つの等式を使用して、さまざまな数学的問題を解決できます。 解決策を含む例でのビエタの定理の使用については、この記事の次のセクションで説明します。

二次方程式のビエタの定理の定式化と証明。 ビエタの逆定理。 3次方程式および任意次数の方程式に対するビエタの定理。

二次方程式

ビエタの定理

縮小二次方程式の根を と で表します。
(1) .
このとき、根の合計は、反対の符号をとった の係数に等しくなります。 根の積は自由項に等しくなります。
;
.

複数ルートに関する注意事項

方程式 (1) の判別式が 0 の場合、この方程式の根は 1 つになります。 ただし、面倒な定式化を避けるために、この場合、方程式 (1) には 2 つの倍数根、または等しい根があることが一般に受け入れられています。
.

証明１

方程式 (1) の根を求めてみましょう。 これを行うには、二次方程式の根の公式を適用します。
;
;
.

根の合計を求めます。
.

積を見つけるには、次の式を適用します。
.
それから

.

定理は証明されました。

証明2

数値が二次方程式 (1) の根である場合、
.
括弧を開けます。

.
したがって、方程式 (1) は次の形式になります。
.
(1) と比較すると、次のことがわかります。
;
.

定理は証明されました。

ビエタの逆定理

任意の数を入れてみましょう。 そして、 と は二次方程式の根です
,
どこ
(2) ;
(3) .

ビエタの逆定理の証明

二次方程式を考えてみましょう
(1) .
if と 、そして と が式 (1) の根であることを証明する必要があります。

(2)と(3)を(1)に代入してみましょう。
.
方程式の左側の項をグループ化します。
;
;
(4) .

(4)に代入してみましょう。
;
.

(4)に代入してみましょう。
;
.
方程式が成り立ちます。 つまり、この数値は式 (1) の根です。

定理は証明されました。

完全な二次方程式のビエタの定理

ここで完全な二次方程式を考えてみましょう
(5) ,
ここで、 と は数値です。 さらに。

式 (5) を次のように割ってみましょう。
.
つまり、与えられた方程式が得られました
,
どこ ; 。

この場合、完全な 2 次方程式に対する Vieta の定理は次の形式になります。

完全な二次方程式の根を と で表します。
.
次に、根の和と積は次の式で求められます。
;
.

3次方程式のビエタの定理

同様の方法で、3次方程式の根間の接続を確立できます。 三次方程式を考えてみましょう
(6) ,
ここで、 、 、 、は数値です。 さらに。
この方程式を次のように割ってみましょう。
(7) ,
どこ 、 、 。
、 、を方程式 (7) (および方程式 (6)) の根とします。 それから

.

式 (7) と比較すると、次のことがわかります。
;
;
.

n次方程式のビエタの定理

同様に、n 次の方程式の根 、 、 ... 、 の間の接続を見つけることができます。
.

n 次方程式のビエタの定理は次の形式になります。
;
;
;

.

これらの式を取得するには、次のように方程式を書きます。
.
次に、 、 、 、 ... の係数を等しくして、自由項を比較します。

使用した文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。
CM。 ニコルスキー、M.K. Potapov 他、代数: 一般教育機関の 8 年生用教科書、モスクワ、教育、2006 年。