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有理数を使った演算の性質

この記事では概要を説明します アクションプロパティ有理数 。まず、他のすべてのプロパティの基礎となる基本プロパティが発表されます。この後、有理数を使用した演算の他の頻繁に使用されるプロパティをいくつか示します。

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列挙してみましょう 有理数を使った演算の基本的な性質(a、b、c は任意の有理数です):

加算 a+b=b+a の可換性。
加算 (a+b)+c=a+(b+c) の組み合わせの性質。
加算 - ゼロによる中立要素の存在。どの数値との加算でもこの数値は変化しません、つまり、a+0=a です。
すべての有理数 a に対して、a+(-a)=0 となる反対の数 -a が存在します。
有理数の乗算 a・b=b・a の可換性。
乗算の組み合わせの性質 (a・b)・c=a・(b・c) 。
乗算の中立要素の存在は、どの数によってもこの数が変化しない単位、つまり a・1=a の乗算です。
非ゼロの有理数 a ごとに、 a・a -1 =1 となる逆数 a -1 が存在します。
最後に、有理数の加算と乗算は、加算に対する乗算の分配特性 a・(b+c)=a・b+a・c によって関連付けられます。

有理数を使用した演算のリストされたプロパティは基本的なものであり、他のすべてのプロパティはそれらから取得できます。

その他の重要な特性

有理数を使用した演算の 9 つのリストされた基本プロパティに加えて、非常に広く使用されているプロパティが多数あります。あげましょう簡単な概要.

プロパティから始めましょう。プロパティは次のような文字を使用して記述されます。 a・(−b)=−(a・b)または、乗算の可換性のおかげで、次のようになります。 (−a) b=−(a b)。異なる符号を持つ有理数を乗算するための規則は、この性質から直接得られます。その証明もこの記事で説明されています。この性質は、「プラスとマイナスを掛けるとマイナス、マイナスとプラスを掛けるとマイナスになる」というルールを説明します。

ここ次の物件: (−a)・(−b)=a・b。これは、負の有理数を乗算するための規則を意味します。この記事では、上記の等価性の証明も示します。この性質は、「マイナスかけるマイナスはプラスになる」という掛け算のルールに相当します。

間違いなく、任意の有理数 a にゼロを掛けることに注目する価値があります。 a・0=0または 0a=0。この性質を証明しましょう。任意の有理 d に対して 0=d+(−d) であることがわかっているため、 a・0=a・(d+(−d)) になります。分布プロパティにより、結果の式を a・d+a・(−d) として書き換えることができます。 a・(−d)=−(a・d) であるため、次のようになります。 a・d+a・(−d)=a・d+(−(a・d))。そこで、2 つの反対の数の和、つまり a・d と −(a・d) が得られ、それらの和は 0 となり、a・0=0 が等しいことが証明されます。

上では加算と乗算の特性のみを列挙し、減算と除算の特性については一言も言及していないことに簡単に気づくでしょう。これは、有理数のセットでは、減算と除算の動作がそれぞれ加算と乗算の逆関数として指定されているという事実によるものです。つまり、差分 a − b は和 a+(−b) であり、商 a:b は積 a・b−1 (b≠0) です。

減算と除算のこれらの定義、および加算と乗算の基本的な特性を考慮すると、有理数を使用した演算のあらゆる特性を証明できます。

例として、減算に対する乗算の分布特性を証明してみましょう: a・(b−c)=a・b−a・c。次の一連の等式が成り立ちます: a・(b−c)=a・(b+(−c))= a・b+a・(−c)=a・b+(−(a・c))=a・b−a・c、それが証拠です。

著作権は賢い学生による

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注意！スライドプレビューは情報提供のみを目的としており、プレゼンテーションのすべての機能を表しているわけではありません。興味があればこの作品、完全版をダウンロードしてください。

レッスンタイプ:コンピューター技術を使用して知識を一般化および体系化するレッスン。

レッスンの目標:

教育的:
- 「有理数を用いた演算の性質」というトピックに関する例や方程式を解くスキルを向上させます。
- 有理数に対して算術演算を実行する能力を強化します。
- 算術演算のプロパティを使用して有理数を使用した式を簡略化する能力をテストします。
- 理論的な内容を一般化および体系化します。
発達:
- 暗算スキルを開発する。
- 開発する論理的思考;
- 自分の考えを明確かつ明確に表現する能力を開発します。
- 口頭再現作業を行う過程で生徒の数学的スピーチを開発する理論資料;
- 生徒の視野を広げます。
教育的:
- 入手可能な情報を活用する能力を開発します。
- 主題に対する敬意を育む。
- 友達の話を聞く能力、相互援助、相互支援の感覚を養います。
- 生徒間の自制心と相互統制力の発達に貢献します。

装備と視認性:コンピューター、マルチメディアプロジェクター、スクリーン、インタラクティブプレゼンテーション、暗算用フラッシュカード、クレヨン .

レッスンの構成:

レッスンの進行状況

I. 組織化の瞬間

II. レッスンのトピックと目的を伝える

生徒のレッスンに対する準備状況を確認します。レッスンの目的と計画を生徒に伝えます。

– 私たちのレッスンのテーマ：「有理数を伴う作用の性質」、そしてレッスンのモットーを合唱して読んでください。

確かに、知識の道は平坦ではありません。
しかし、私たちは知っています学生時代,
答えよりも謎の方が多いのですが、
そして検索に制限はありません！

そして今日の授業では、友好的かつ積極的に数学新聞を作成します。私が編集長になり、皆さんが校正者になります。この言葉の意味をどう理解しますか？
他の人をテストするには、「有理数による演算の性質」というテーマに関する知識を体系化する必要があります。

そして私たちの新聞は「Rational Numbers」と呼ばれています。タタール語に翻訳すると？
あなたは英語が得意だと聞きましたが、英語ではこの新聞は何と呼ばれるのでしょうか？
新聞のレイアウトを紹介します。このレイアウトは次のセクションで構成されています。「合唱で読む」 彼らは尋ねます - 私たちは答えます», « その日のニュース», « プロジェクトのオークション», « 現在のレポート», « あなたは知っていますか...？".

Ⅲ．参考知識の更新

口頭での仕事:

最初のセクションでは 「彼らは尋ねます - 私たちは答えます」特派員が手紙で送ってきた情報の正確性を確認する必要があります。注意深く見て、この情報を確認するために覚えておく必要があるルールを教えてください。

1. 負の数を追加するためのルール:

「2 つの負の数値を加算するには、次の手順を実行する必要があります。1) それらのモジュールを追加し、2) 結果の数値の前にマイナス記号を置きます。」

2. 数値を除算するルールさまざまな兆候:

「異なる符号で数値を除算する場合は、次のことを行う必要があります。1) 被除数の係数を除数の係数で割る、2) 結果の数値の前にマイナス記号を置きます。」

3. 2 つの負の数を乗算するルール:

「2 つの負の数を掛けるには、その絶対値を掛ける必要があります。」

4. 異なる符号を持つ数値を乗算するためのルール:

「符号の異なる 2 つの数値を乗算するには、これらの数値の絶対値を乗算し、結果の数値の前にマイナス記号を付ける必要があります。」

5. 負の数を除算する規則負の数:

「負の数を負の数で割るには、被除数の係数を除数の係数で割る必要があります。」

6. 符号の異なる数字を加算するルール:

「符号の異なる 2 つの数値を加算するには、1) 項の大きいモジュールから小さい方を減算し、2) 得られた数値の前にモジュールが大きい項の符号を置く必要があります。

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

- よくやった、よくやった。

IV. 被覆材の補強

– それではセクションに移ります 「今日のニュース」このセクションを完了するには、数値に関する知識を体系化する必要があります。
– どのような数字を知っていますか? (自然、分数、有理)
– どのような数値が合理的であると考えられますか? (正、負、0)
– 有理数のどんな性質を知っていますか? (可換、結合、分配、1 倍、0 倍)
- それでは次に進みましょう書かれた作品。私たちはノートを開いて、数、授業の課題、「有理数による演算の性質」というテーマを書き留めました。
これらのプロパティを使用して式を簡略化します。

A) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1.5 + x – 20 = – 21.5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1.7 + 3.6 – x = 5.3 – x
E) – x + a + 6.1 – a + 2.8 – 8.8 = – x + 0.1

– そして、次の例では、説明とともにさらに合理的な決定を下す必要があります。

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

1961/04/12 – あなたが受け取った答えは何かを物語っていますか?
50年前の1961年4月12日、ユーリ・ガガーリンは宇宙に飛び立ちました。ザインスク市にも独自の宇宙の歴史があります。1961 年 3 月 9 日、降下モジュール No.1 宇宙船ボストーク4号は、人間のダミー人形、犬、その他の小動物を乗せて、ザインスキー地区スタリー・トクマク村近くに軟着陸した。そしてこの出来事を記念して、私たちの地域に記念碑が建てられます。現在、市には競争委員会が設置されている。コンテストに参加しているプロジェクトは 3 つあり、それらは画面上の目の前にあります。そして今度はプロジェクトのオークションを開催します。
あなたのお気に入りのプロジェクトに投票してください。あなたの投票が決定的なものになるかもしれません。

V. 体育分

――拍手や足踏みで意見を表明しますね。リハーサルしましょう！拍手3つとスタンプ3つ。
- もう一度試してみましょう。それで投票が始まります:

– レイアウトNo.1に投票します
– レイアウトNo.2に投票します
– レイアウトNo.3に投票します
- それでは、すべてのレイアウトをまとめてみましょう。
– レイアウトNo.獲得…ありがとうございます、投票を記録しました（レイズ）携帯電話それを子供たちに見せて）それを集計委員会に渡します。
- よくやった、ありがとう。そして、今後も同様に重要です - 現在のレポート。

VI. 国家試験の準備

カテゴリ内 「近況報告」生徒が 9 年生の最終試験の課題を解決するのに協力を求める手紙を受け取りました。全員が自主的に課題やテストを解決する必要があります。<付録 1 > テーブルの上:

1. 方程式を解きます。

a) (x + 3)(x – 6) = 0

1) x = 3、x = – 6
2) x = – 3、x = – 6
3) x = – 3、x = 6

数値の概念は、定量的な観点からオブジェクトを特徴付ける抽象化を指します。原始社会においても、人々は物を数える必要があったため、数字の表記が登場しました。後にそれらは科学としての数学の基礎となりました。

数学的な概念を扱うには、まずどのような種類の数字があるかを想像する必要があります。数値には主にいくつかの種類があります。これ：

1. 自然 - オブジェクトに番号を付けるときに得られるもの (自然な数え方)。それらのセットは N で示されます。

2. 整数 (その集合は文字 Z で示されます)。これには、自然数、その反対数、負の整数、およびゼロが含まれます。

3. 有理数 (文字 Q)。これらは、分子が整数に等しく、分母が自然数に等しい分数として表現できるものです。すべては全体的であり、合理的であると分類されます。

4. 実数 (文字 R で指定されます)。それらには、合理的なものと、無理数。無理数とは、有理数からさまざまな演算（対数の計算、ルートの抽出など）を経て得られる数ですが、それ自体は有理数ではありません。

したがって、リストされたセットはいずれも以下のサブセットです。この論文は、いわゆる図の形式で説明されています。オイラー円。デザインは、複数の同心円状の楕円形で構成され、それぞれの楕円形が他の楕円形の内側に配置されています。内側の最小の楕円 (面積) はセットを表します。自然数。それは完全に包含されており、整数のセットを象徴する領域を含み、さらにそれは有理数の領域内に含まれます。外側の最大の楕円は、他のすべての楕円を含み、配列を表します。

この記事では、有理数のセット、その性質と特徴について見ていきます。すでに述べたように、既存のすべての数値 (正、負、ゼロ) はこれらに属します。有理数は、次の特性を持つ無限級数を形成します。

このセットは順序付けされています。つまり、この系列から任意の数値のペアを取得することで、どちらが大きいかを常に知ることができます。

このような数値の任意のペアを使用すると、常にそれらの間に少なくとももう 1 つ配置でき、その結果、それらの一連の全体を配置できます。したがって、有理数は無限級数を表します。

このような数値に対する四則演算はすべて可能であり、その結果は常に特定の数値 (これも有理数) になります。例外は 0 (ゼロ) による除算です。これは不可能です。

任意の有理数は次のように表すことができます。小数。これらの分数は、有限または無限周期のいずれかになります。

有理集合に属する 2 つの数値を比較するには、次の点に注意する必要があります。

どれでも正数ゼロより大きい。

負の数は常にゼロより小さくなります。

2 つの負の有理数を比較する場合、絶対値 (法) が小さい方が大きくなります。

有理数を使った演算はどのように行われるのでしょうか?

同じ符号を持つ 2 つの数値を加算するには、それらの絶対値を加算し、合計の前に置く必要があります。一般的な記号。異なる符号を持つ数値を加算するには、次のようになります。より大きな価値小さい方を減算し、絶対値が大きい方の符号を入れます。

ある有理数を別の有理数から減算するには、2 番目の逆の数を最初の数値に加算するだけで十分です。 2 つの数値を乗算するには、それらの絶対値を乗算する必要があります。得られる結果は、因子の符号が同じであれば正となり、異なる場合には負となります。

除算も同様の方法で実行されます。つまり、絶対値の商が求められ、被除数と除数の符号が一致する場合は結果の前に「+」記号が付き、一致する場合は「-」記号が付きます。それらは一致しません。

有理数のべき乗は、互いに等しい複数の因数の積のように見えます。

このレッスンでは、数値を使った演算の基本的な特性を思い出します。基本的な性質を復習するだけでなく、それを有理数に適用する方法も学びます。例題を解くことで得た知識をすべて統合します。

数値を使った演算の基本的なプロパティ:

最初の 2 つのプロパティは加算のプロパティであり、次の 2 つは乗算のプロパティです。 5 番目のプロパティは両方の操作に適用されます。

これらのプロパティには新しいものは何もありません。これらは自然数と整数の両方に有効でした。これらは有理数にも当てはまり、次に学習する数値 (無理数など) にも当てはまります。

順列のプロパティ:

項や因子を並べ替えても結果は変わりません。

組み合わせのプロパティ:, .

複数の数値の加算または乗算は、任意の順序で行うことができます。

分布特性:.

このプロパティは、加算と乗算の両方の演算を接続します。また、左から右に読む場合は、括弧の開き規則と呼ばれます。裏- 共通因数を括弧の外に出すルール。

次の 2 つのプロパティについて説明します。 中立的な要素加算と乗算の場合: 0 を加算したり 1 を乗算しても、元の数値は変わりません。

説明するさらに 2 つのプロパティ 対称要素加算と乗算では、反対の数の合計はゼロになります。仕事逆数 1に等しい。

次のプロパティ: 。数値にゼロを乗算すると、結果は常にゼロになります。

最後に説明するプロパティは次のとおりです。

数値にを掛けると、次のようになります。反対の数字。この物件には特別な特徴があります。考慮された他のすべてのプロパティは、他のプロパティを使用して証明できませんでした。同じ性質は、以前のものを使用して証明できます。

乗算

数値にを掛けると、反対の数値が得られることを証明してみましょう。このために、分布プロパティを使用します: 。

これはどんな数字にも当てはまります。数値の代わりにとを代入してみましょう。

左側の括弧内は、互いに反対の数値の合計です。それらの合計はゼロです (そのような性質があります)。今は左側です。右側では、次の結果が得られます。 .

これで、左側にゼロが表示され、右側に 2 つの数値の合計が表示されます。しかし、2 つの数値の合計がゼロの場合、これらの数値は相互に反対になります。しかし、この数字には反対の数字が 1 つだけあります。つまり、これは次のとおりです。

性質が証明されました。

このような性質は、以前の性質を使用して証明できるものと呼ばれます。定理

ここに減算と除算のプロパティがないのはなぜですか? たとえば、減算の分配プロパティを次のように書くことができます。

しかし、それ以来:

任意の数値の減算は、その数値を反対の数値に置き換えることによって、加算と等価に書くことができます。

除算は、その逆数による乗算として書くことができます。

これは、加算と乗算の性質が減算と除算にも適用できることを意味します。その結果、記憶する必要があるプロパティのリストが短くなります。

私たちが検討したすべての性質は、有理数の性質に限定されるわけではありません。他の数、たとえば無理数の数も、これらすべての規則に従います。たとえば、その反対の数の合計はゼロです: 。

ここからは実践的な部分に進み、いくつかの例を解決していきます。

人生における有理数

定量的に記述でき、何らかの数値で指定できる物体の性質は、と呼ばれます。 価値観：長さ、重さ、温度、量。

同じ量は、整数と小数、正または負の両方で表すことができます。

たとえば、あなたの身長はmです - 小数。しかし、これは cm に等しいと言えます。これはすでに整数です (図 1)。

米。 1.イラスト例

別の例。マイナス温度摂氏スケールではケルビンスケールでは正になります (図 2)。

米。 2.イラスト例

家の壁を建てるとき、一人で幅と高さをメートル単位で測ることができます。彼は端数を生産します。彼は、それ以降のすべての計算を分数 (有理数) を使用して実行します。別の人は、幅と高さのレンガの数をすべて測定できます。整数値のみを受け取ったので、整数を使用して計算を実行します。

量自体は整数でも分数でも、負でも正でもありません。しかし、量の値を表す数値はすでにかなり具体的です (たとえば、負や分数など)。測定スケールにより異なります。そして、実際の量から数学的モデルに移行するときは、特定の種類の数値を扱います。

加算から始めましょう。用語は都合のよい方法で並べ替えることができ、アクションは任意の順序で実行できます。異なる符号の項が同じ桁で終わる場合、最初にそれらの項を使用して演算を実行すると便利です。これを行うには、用語を交換しましょう。例えば：

共通分数同じ分母簡単に折りたためます。

反対の数字を足すとゼロになります。小数点の末尾が同じ数字は引き算が簡単です。これらのプロパティと加算の交換法則を使用すると、たとえば次の式の値を簡単に計算できます。

補数の小数点の末尾を持つ数値は簡単に加算できます。整数部と小数部を使用する場合帯分数別々に作業するのに便利です。これらのプロパティは、次の式の値を計算するときに使用します。

乗算に進みましょう。掛け算が簡単な数値のペアがあります。可換性の性質を使用すると、因子が隣接するように並べ替えることができます。製品内のマイナスの数をすぐに数えることができ、結果の符号について結論を引き出すことができます。

次の例を考えてみましょう。

要因からすればゼロに等しいの場合、積はゼロに等しくなります。例: 。

逆数の積は 1 に等しく、1 を掛けても積の値は変わりません。次の例を考えてみましょう。

分配プロパティを使用した例を見てみましょう。括弧を開けば、それぞれの掛け算が簡単になります。

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