sin x の導関数は何ですか? サインの導関数: (sin x)'。 高次導関数

表の最初の式を導出するときは、ある点での導関数の定義から進めます。 どこへ行きましょう ×– 任意の実数、つまり ×– 関数の定義領域からの任意の数値。 関数の増分と引数の増分の比率の限界を次のように書き留めてみましょう。

限界記号の下では、分子に微小な値が含まれておらず、正確にゼロが含まれているため、ゼロをゼロで割った不確実性ではない式が得られることに注意してください。 言い換えれば、定数関数の増分は常にゼロです。

したがって、 定数関数の導関数定義範囲全体を通じてゼロに等しい.

べき乗関数の導関数。

べき乗関数の導関数の公式は次の形式になります。 、ここで指数は p– 任意の実数。

まず自然指数の公式を証明しましょう。 p = 1、2、3、…

導関数の定義を使用します。 べき乗関数の増分と引数の増分との比率の限界を書き留めてみましょう。

分子の式を簡略化するために、ニュートンの二項公式に目を向けます。

したがって、

これは、自然指数のべき乗関数の導関数の公式を証明します。

指数関数の導関数。

次の定義に基づいて微分公式の導出を示します。

私たちは不確実性の段階に達しました。 これを拡張するには、新しい変数を導入します。 それから 。 最後の移行では、新しい対数底に移行するための式を使用しました。

元の制限に代入してみましょう。

2 番目の注目すべき限界を思い出すと、指数関数の導関数の公式にたどり着きます。

対数関数の導関数。

すべての対数関数の導関数の公式を証明しましょう。 ×定義のドメインとベースのすべての有効な値から ある対数 導関数の定義により、次のようになります。

お気づきのとおり、証明中に対数の特性を使用して変換が実行されました。 平等 2 番目の顕著な制限により、これは true です。

三角関数の導関数。

三角関数の導関数の公式を導出するには、いくつかの三角関数の公式と、最初の顕著な制限を思い出す必要があります。

サイン関数の導関数の定義により、次のようになります。 .

正弦の差の公式を使ってみましょう。

最初の注目すべき限界に目を向ける必要があります。

したがって、関数の導関数は、 罪×がある cosx.

コサインの導関数の公式もまったく同じ方法で証明されます。

したがって、関数の導関数は、 cosxがある –罪x.

実証済みの微分規則 (分数の導関数) を使用して、正接と余接の導関数の表の公式を導き出します。

双曲線関数の導関数。

微分の規則と、導関数の表からの指数関数の導関数の公式により、双曲線サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの導関数の公式を導き出すことができます。

逆関数の導関数。

プレゼンテーション中の混乱を避けるために、微分が実行される関数の引数、つまり関数の導関数を下付き文字で示します。 f(x)による ×.

では、定式化しましょう 逆関数の導関数を求めるためのルール。

機能を持たせましょう y = f(x)そして x = g(y)相互に反転し、それぞれ と の間隔で定義されます。 ある点に関数の有限非ゼロ導関数がある場合 f(x)、その時点で、逆関数の有限導関数が存在します。 g(y)、 そして 。 別の投稿で .

このルールはあらゆるものに対して再定式化できます。 ×間隔から、次の結果が得られます .

これらの式の妥当性を確認してみましょう。

自然対数の逆関数を求めてみましょう （ここ yは関数であり、 ×- 口論）。 この方程式を解くと、 ×、（ここで ×は関数であり、 y– 彼女の主張）。 つまり、 と相互逆関数。

デリバティブの表から、次のことがわかります。 そして .

逆関数の導関数を求める公式が同じ結果をもたらすことを確認してみましょう。

ご覧のとおり、デリバティブ表と同じ結果が得られました。

これで、逆三角関数の導関数の公式を証明する知識が得られました。

逆正弦の導関数から始めましょう。

。 次に、逆関数の導関数の公式を使用すると、次のようになります。

残っているのは、変換を実行することだけです。

逆正弦の範囲は間隔なので 、 それ (基本的な初等関数、そのプロパティおよびグラフに関するセクションを参照してください)。 したがって、検討しておりません。

したがって、 。 逆正弦導関数の定義範囲は区間です。 (-1; 1) .

逆余弦の場合、すべてがまったく同じ方法で行われます。

逆正接の導関数を求めてみましょう。

逆関数については、 .

結果の式を簡素化するために、逆正接を逆余弦で表現してみましょう。

させて arctgx = z、 それから

したがって、

逆余接の導関数も同様の方法で求められます。

サイン - sin(x) の導関数の公式の証明と導出が示されます。 sin 2x、sin の 2 乗および 3 乗の導関数を計算する例。 n次正弦の導関数の公式の導出。

コンテンツ

以下も参照してください。 サインとコサイン - プロパティ、グラフ、数式

変数 x に関する x のサインからの導関数は、x のコサインに等しくなります。
(sin x)′ = cos x.

証拠

サインの導関数の公式を導出するには、導関数の定義を使用します。
.

この制限を見つけるには、既知の法則、プロパティ、ルールに還元するような方法で式を変換する必要があります。 これを行うには、4 つのプロパティを知る必要があります。
1) 最初の顕著な制限の意味は次のとおりです。
(1) ;
2) コサイン関数の連続性:
(2) ;
3) 三角関数の公式。 次の式が必要になります。
(3) ;
4) 関数の極限の算術特性:
と の場合、
(4) .

これらのルールを制限に適用してみましょう。 まず代数式を変形します
.
これを行うには、次の式を適用します。
(3) .
私たちの場合
;
;
;
;
.

。
.

それから
.

では、置換をしてみましょう。

.

で 、 。 最初の顕著な制限 (1) を適用してみましょう。

同じ置換を行って、連続性の特性 (2) を使用してみましょう。

上記で計算された制限が存在するため、プロパティ (4) を適用します。
サインの導関数の公式は証明されました。 例サインを含む関数の導関数を求める簡単な例を見てみましょう。 次の関数の導関数を見つけます。 y = sin 2x; y =.

罪2×

そしてy = 罪3×.

例1
の導関数を求めます
罪2倍
.
まず、最も単純な部分の導関数を見つけてみましょう。

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2。

申請します。

ここ 。
(sin 2x)' = 2 cos 2x。 例.

例 2
.
正弦二乗の導関数を求めます。
.
y =

.
まず、最も単純な部分の導関数を見つけてみましょう。

元の関数をよりわかりやすい形式に書き直してみましょう。
.

最も単純な部分の導関数を見つけてみましょう。

複素関数の導関数に公式を適用します。
(sin 2x)' = 2 cos 2x。 y = sin 2x; y =.

三角関数の公式の 1 つを適用できます。 それから

例 3 サインの 3 乗の導関数を求めます。高次導関数
.

次の導関数に注意してください。

.
まず、最も単純な部分の導関数を見つけてみましょう。

罪× サインの 3 乗の導関数を求めます。一次は次のように正弦を使って表現できます。
(5) .

複素関数の導関数の公式を使用して 2 次導関数を求めてみましょう。

今ではその違いに気づくことができます

引数が だけ増加します。

この場合、n 階導関数は次の形式になります。
.
これを数学的帰納法を使って証明してみましょう。

.
まず、最も単純な部分の導関数を見つけてみましょう。
については式(5)が成り立つことはすでに確認済みです。
.
式 (5) が特定の値に対して有効であると仮定します。

これから、式 (5) が について満たされることを証明しましょう。

式 (5) を次の場所に書きましょう。

複素関数を微分するための規則を使用して、この方程式を微分します。

そこで次のことがわかりました。を代入すると、この式は (5) の形になります。 べき乗関数 y = x p (x p) " = p x p - 1	指数関数y = 斧 (a x) " = a x ln a 特に、a = e我々は持っています y = e x (e x) " = e x
対数関数 (log a x) " = 1 x ln a 特に、a = e我々は持っています y = 対数 x (ln x) " = 1 x	三角関数 (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
逆三角関数 (ar c sin x) " = 1 1 - x 2 (ar c cos x) " = - 1 1 - x 2 (ar c t g x) " = 1 1 + x 2 (ar c c t g x) " = - 1 1 + x 2	双曲線関数 (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

指定されたテーブルの式がどのように得られたかを分析してみましょう。言い換えれば、関数の種類ごとに微分式の導出を証明してみましょう。

定数の導関数

証拠1

この式を導き出すために、ある点における関数の導関数の定義を基礎とします。 x 0 = x を使用します。ここで、 ×任意の実数の値を受け取ります。つまり、 ×は関数 f (x) = C の定義域からの任意の数値です。 関数の増分と引数の増分の比率の限界を Δ x → 0 として書き留めてみましょう。

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

0 ∆ x という式は限界記号に該当することに注意してください。 分子には微小な値が含まれておらず、正確にゼロが含まれているため、これは「ゼロをゼロで割った」不確実性ではありません。 言い換えれば、定数関数の増分は常にゼロです。

したがって、定数関数 f (x) = C の導関数は、定義領域全体を通じてゼロに等しくなります。

例1

定数関数は次のとおりです。

f 1 (x) = 3、f 2 (x) = a、a ∈ R、f 3 (x) = 4。 13 7 22 、 f 4 (x) = 0 、 f 5 (x) = - 8 7

解決

与えられた条件を説明しましょう。 最初の関数では、自然数 3 の微分が見られます。 次の例では、次の導関数を取得する必要があります。 あ、 どこ あ- 任意の実数。 3 番目の例では、無理数 4 の導関数が得られます。 13 7 22、4 番目はゼロの導関数です (ゼロは整数です)。 最後に、5 番目のケースでは、有理分数の導関数 - 8 7 が得られます。

答え：与えられた関数の導関数は、実数に対してゼロになります。 ×(定義領域全体にわたって)

f 1 " (x) = (3) " = 0 、 f 2 " (x) = (a) " = 0 、 a ∈ R 、 f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 、 f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

べき乗関数の導関数

べき乗関数とその導関数の式に移りましょう。この式の形式は次のとおりです: (x p) " = p x p - 1、ここで指数は pは任意の実数です。

証拠2

指数が自然数の場合の式の証明は次のとおりです。 p = 1、2、3、…

ここでも導関数の定義に依存します。 べき乗関数の増分と引数の増分との比率の限界を書き留めてみましょう。

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

分子の式を簡略化するために、ニュートンの二項公式を使用します。

(x + Δ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · Δ x + C p 2 · x p - 2 · (Δ x) 2 + . 。 。 + + C p p - 1 · x · (Δ x) p - 1 + C p p · (Δ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · Δ x + C p 2 · x p - 2 · (Δ x) 2 + . 。 。 + C p p - 1 x (Δ x) p - 1 + C p p (Δ x) p

したがって：

(x p) " = lim Δ x → 0 Δ (x p) Δ x = lim Δ x → 0 (x + Δ x) p - x p Δ x = = lim Δ x → 0 (C p 1 x p - 1 Δ x + C p 2 · x p - 2 · (Δ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (Δ x) p - 1 + C p p · (Δ x) p) Δ x = = lim Δ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 Δ x + . + C p p - 1 x (Δ x) p - 2 + C p p (Δ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

これで、指数が自然数の場合のべき乗関数の導関数の公式が証明されました。

証拠3

場合の証拠を提供するため p-ゼロ以外の実数の場合は、対数導関数を使用します (ここでは、対数関数の導関数との違いを理解する必要があります)。 より完全に理解するには、対数関数の導関数を研究し、陰関数の導関数と複素関数の導関数をさらに理解することをお勧めします。

2 つのケースを考えてみましょう。 ×ポジティブで、いつ ×ネガティブ。

したがって、x > 0です。 次に、 x p > 0 となります。 等式 y = x p を底 e に対数化し、対数の性質を適用してみましょう。

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

この段階で、暗黙的に指定された関数を取得しました。 その導関数を定義しましょう。

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

次に、次の場合を考えます。 × –負の数。

インジケーターが pが偶数の場合、べき乗関数は x に対して定義されます< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

次に、x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

もし pが奇数の場合、べき乗関数は x に対して定義されます< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

最後の遷移は、次のような事実により可能です。 pが奇数の場合、 p-1したがって、負の場合は偶数またはゼロ (p = 1 の場合) ×等式 (- x) p - 1 = x p - 1 は真です。

したがって、任意の実数 p に対するべき乗関数の導関数の公式を証明しました。

例 2

与えられた関数:

f 1 (x) = 1 x 2 3 、f 2 (x) = x 2 - 1 4 、f 3 (x) = 1 x log 7 12

それらの導関数を決定します。

解決

次数の特性に基づいて、指定された関数の一部を表形式 y = x p に変換し、次の式を使用します。

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

指数関数の導関数

証明4

この定義を基礎として使用して導関数式を導き出しましょう。

(a x) " = lim Δ x → 0 a x + Δ x - a x Δ x = lim Δ x → 0 a x (a Δ x - 1) Δ x = a x lim Δ x → 0 a Δ x - 1 Δ x = 0 0

不確実性が生じました。 これを拡張するには、新しい変数 z = a ∆ x - 1 (z → 0 as ∆ x → 0) を書きましょう。 この場合、 a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a となります。 最後の遷移では、新しい対数底への遷移の公式が使用されました。

元の制限に代入してみましょう。

(a x) " = a x · lim Δ x → 0 a Δ x - 1 Δ x = a x · ln a · lim Δ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim Δ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

2 番目の顕著な制限を思い出して、指数関数の導関数の公式を取得しましょう。

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

例 3

指数関数は次のように与えられます。

f 1 (x) = 2 3 x 、f 2 (x) = 5 3 x 、f 3 (x) = 1 (e) x

それらの派生物を見つける必要があります。

解決

指数関数の微分と対数の性質の公式を使用します。

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

対数関数の導関数

証拠5

任意の対数関数の導関数の公式の証明を提供しましょう。 ×定義の領域と対数の底 a の許容値。 導関数の定義に基づいて、次のようになります。

(log a x) " = lim Δ x → 0 log a (x + Δ x) - log a x Δ x = lim Δ x → 0 log a x + Δ x x Δ x = = lim Δ x → 0 1 Δ x log a 1 + Δ x x = lim Δ x → 0 log a 1 + Δ x x 1 Δ x = = lim Δ x → 0 log a 1 + Δ x x 1 Δ x · x x = lim Δ x → 0 1 x · log a 1 + Δ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

示された一連の等式から、変換が対数の特性に基づいていることは明らかです。 2 番目の顕著な制限に従って、等式 lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e が真になります。

例 4

対数関数は次のように与えられます。

f 1 (x) = log ln 3 x 、f 2 (x) = ln x

それらの導関数を計算する必要があります。

解決

導出された式を適用してみましょう。

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

したがって、自然対数の導関数は次の値で割られます。 ×.

三角関数の導関数

証明6

いくつかの三角関数の公式と最初の素晴らしい極限を使用して、三角関数の導関数の公式を導き出しましょう。

サイン関数の導関数の定義によれば、次のようになります。

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

サインの差の公式を使用すると、次のアクションを実行できるようになります。

(sin x) " = lim Δ x → 0 sin (x + Δ x) - sin x Δ x = = lim Δ x → 0 2 sin x + Δ x - x 2 cos x + Δ x + x 2 Δ x = = lim Δ x → 0 sin Δ x 2 ・ cos x + Δ x 2 Δ x 2 = = cos x + 0 2 ・ lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2

最後に、最初の素晴らしい制限を使用します。

sin " x = cos x + 0 2 · lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 = cos x

したがって、関数の導関数は、 罪×意思 cosx.

コサインの導関数の公式も証明します。

cos " x = lim Δ x → 0 cos (x + Δ x) - cos x Δ x = = lim Δ x → 0 - 2 sin x + Δ x - x 2 sin x + Δ x + x 2 Δ x = = - lim Δ x → 0 sin Δ x 2 sin x + Δ x 2 Δ x 2 = = - sin x + 0 2 lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 = - sin x

それらの。 関数 cos x の導関数は次のようになります。 – 罪x.

微分規則に基づいて、タンジェントとコタンジェントの導関数の公式を導き出します。

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

逆三角関数の導関数

逆関数の導関数に関するセクションでは、逆正弦、逆余弦、逆正接、逆余接の導関数の公式の証明に関する包括的な情報が提供されるため、ここでは内容を複製しません。

双曲線関数の導関数

証拠7

微分規則と指数関数の導関数の公式を使用して、双曲線サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの導関数の公式を導出できます。

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x th " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c th " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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