Все формулы нахождения площадей. Как найти площадь геометрических фигур
Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
где S - площадь треугольника,
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
Формулы площади квадрата
- Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. - Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.S = 1 2 2
где S - Площадь квадрата,
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма - Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.a · b · sin α
где S - Площадь параллелограмма,
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S - Площадь ромба,
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,
Все формулы площади плоских фигур
Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
а - нижнее основание
b - верхнее основание
с - равные боковые стороны
α - угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности
R- радиус вписанной окружности
D- диаметр вписанной окружности
O- центр вписанной окружности
H- высота трапеции
α, β - углы трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d- диагональ трапеции
α,β- углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
c- боковая сторона
m- средняя линия трапеции
α, β - углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании,
(S):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
a - нижнее основание
b - верхнее основание
h - высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
a, b, c- стороны треугольника
α, β, γ- противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
Формула площади правильного многоугольника
a - сторона многоугольника
n - количество сторон
Площадь правильного многоугольника, (S):
Формула (Герона) площади треугольника через полупериметр (S):
Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.
a - сторона треугольника
h – высота
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?
b - основание треугольника
a - равные стороны
h – высота
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
a - нижнее основание
b - верхнее основание
c , d - боковые стороны
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
a - боковые стороны трапеции
c - нижнее основание
b - верхнее основание
d - диагональ
h - высота
Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)
найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.
a, b - стороны треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника (R):
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
a - сторона шестиугольника
Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Радиус вписанной окружности в ромб
r - радиус вписанной окружности
a - сторона ромба
D, d - диагонали
h - высота ромба
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
с - нижнее основание
b - верхнее основание
a - боковые стороны
h - высота
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
a, b - катеты треугольника
с - гипотенуза
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
a, b - стороны треугольника
Доказать, что площадь вписанного четырёхугольника равна
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
где р - полупериметр и а, b, с и d - стороны четырёхугольника.
Доказать, что площадь вписанного в круг четырёхугольника равна
1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d - стороны четырёхугольника и α - угол между сторонами а и b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Читайте подробнее на FB.ru:
Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:
где р – полупериметр четырёхугольника.
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты
а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле
Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:
Формула Пика
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.
Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:
где - площадь, r – число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.
Эту формулу называют «формула Пика» - по имени математика, открывшего её в 1899 году.
Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы - такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма - а также простые приёмы, о которых мы расскажем.
Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!
Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.
1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём - разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь - как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .
Ответ: .
2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .
Ответ: .
3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора - части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.