Графическая система уравнений. Графическое решение систем линейных уравнений
Графический способ решения систем уравнений
(9-й класс)
Учебник: Алгебра, 9 класс, под редакцией Теляковского С.А.
Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений, навыков.
Цели урока:
Образовательные: Выработать умение самостоятельно применять знания в комплексе, переносить их в новые условия, в том числе работать с компьютерной программой для построения графиков функции и нахождения количества корней в заданных уравнениях.
Развивающие : Формировать у учащихся умение выделять основные признаки, устанавливать сходства и различия. Обогащать словарный запас. Развивать речь, усложняя её смысловую функцию. Развивать логическое мышление, познавательный интерес, культуру графического построения, память, любознательность.
Воспитательные : Воспитывать чувство ответственности за результат своего труда. Учить сопереживать успехам и неудачам одноклассников.
Средства обучения : компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.
План урока:
Организационный момент. Домашнее задание – 2 мин.
Актуализация, повторение, коррекция знаний - 8 мин.
Изучение нового материала – 10 мин.
Практическая работа – 20 мин.
Подведение итогов – 4 мин.
Рефлексия – 1 мин.
ХОД УРОКА
Организационный момент – 2 мин.
Здравствуйте, ребята! Сегодня урок по важной теме: «Решение систем уравнений».
Нет таких областей знаний в точных науках, где бы ни применялась данная тема. Эпиграфом к нашему уроку являются следующие слова: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле ». (Аристотель)
Постановка темы, целей и задач урока.
Учитель сообщает классу о том, что на уроке будет изучаться и ставит задачу научиться решать системы уравнений с двумя переменными графическим способом.
Задание на дом (П.18 № 416, 418, 419 а).
Повторение теоретического материала – 8 мин.
А) Учитель математики: По готовым чертежам ответить на вопросы и обосновать свой ответ.
1). Найти график квадратичной функции D =0 (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3в).
2). Найти график обратно - пропорциональной функции при k >0 (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 3 a ).
3). Найти график окружности с центром O (-1; -5). (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 1б).
4). Найти график функции y =3x -2. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3б).
5). Найти график квадратичной функции D >0, a >0. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 1 a ).
Учитель математики: – Для того, что бы успешно решать системы уравнений, давайте вспомним:
1). Что называется системой уравнений? (Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям).
2). Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений, значит найти все решения или доказать, что решений нет).
3). Что называется решением системы уравнений? (Решением системы уравнений называют пару чисел (x; у), при которой все уравнения системы обращаются в верные равенства).
4) Выясните, является ли решением системы уравнений 
пара чисел: а) х = 1, у = 2;
(–)
б) х = 2, у = 4;
(+)
в) х = – 2, у = – 4?
(+)
III Новый материал – 10 мин.
П.18 учебника излагается методом беседы .
Учитель математики: В курсе алгебры 7 класса мы рассматривали системы уравнений первой степени. Теперь займёмся решением систем, составленных из уравнений первой и второй степени.
1.Что называется системой уравнений?
2.Что значит решить систему уравнений?
Мы знаем, что алгебраический способ позволяет находить точные решения системы, а графический способ позволяет наглядно увидеть, сколько корней имеет система и найти их приблизительно. Поэтому учиться решать системы уравнений второй степени мы продолжим на следующих уроках, а сегодня основной целью урока будет практическое применение компьютерной программы для построения графиков функции и нахождения количества корней систем уравнений.
IV . Практическая работа – 20 мин. Решение систем уравнений графическим способом. Определение корней уравнений. (Построение графика на компьютере.)
Задания выполняются учащимися на компьютерах. Решения проверяются во время работы.
y = 2x 2 + 5x +3
y = 4
y = -2x 2 +5х+3
y = -3x + 4
y = -2x 2 -5х-3
y = -4+2x
y = 4x 2 + 5x +3
y = 2
y = -4 x 2 +5х+3
y = -3x + 2
y = -4x 2 -5х-3
y = -2+2x
y = 4 x 2 + 5 x +5
y = 3
y = -4x 2 +5х+5
y = -x + 3
y = -4x 2 -5х-5
y = -2+3x
Перед Вами графики двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и её решение.
– Какие из перечисленных систем можно решать с помощью данного рисунка?
– Были даны 4 системы, их нужно было соотнести с графиками. Сейчас задание обратное: есть графики , их нужно соотнести с системой.
Подведение итогов урока. Выставление оценок– 4 мин.
* Решение систем уравнений. (Задания со звёздочкой* .)
Уравнения для 1-й группы учащихся:
Уравнения для 2-й группы учащихся:
Уравнения для 3-й группы учащихся:
x y = 6
x 2 + y = 4
x 2 + y = 3
x - y + 1= 0
x 2 - y = 3
Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.
Первый способ решения
Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.
Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.
Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.
Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.
Решение по формуле
Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Значит, решения совпадают.
Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.
Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.
Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.
Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
АЛГЕБРА 9 КЛАСС
Графический способ
решения систем уравнений
1. Найдите по графику:
а) нули функции;
б) область значений функции;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
с) промежутки, в которых у ≤0, у≥0.
d ) наименьшее значение функции.
1.Из предложенных формул выберите ту формулу,
которая задает функцию, представленную на графике
а ) у = - 3х+1; б) у = 2х+1;
в) у =3х+1 .
Из предложенных формул выберите ту формулу, которая
задает функцию, представленную на графике
б) у = - 2x 2 ; в) у = x 2 +1.
а) у = х 2 ;
Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике.
б) у = 2 х 3 ; в) y =х 3
а) у= 0,5х 3 ;
Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике
а) у= 4/х; б) у= - 4/х;
Линейное уравнение с
одной переменной
ax=b
- Линейное уравнение с
двумя переменными
Уравнение с двумя переменными
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство
Уравнение
Выражаем у через х
3х+2у=6
2у-х 2 =0
Данной формулой задается …..
Графиком служит
2х+у=0
гипербола
квадратичная
функция
у= -1,5х+3
Линейная
функция
прямая
у=0,5 х 2
обратная
пропорц-ность
у= -2х
парабола
прямая, пр-я
через нач. коорд.
прямая
пропорц-ность
Эллипс
х 2 у= 4 (2-у),
у=8 /(х 2 +4)
Система уравнений и её решение
Определения
- Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
- Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
- Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет
Способ
подстановки
Способ
сложения
Методы решения систем уравнений
Способ
подстановки
Способ
сложения
Графический способ
решения систем уравнений
1.Выразить у через х в каждом уравнении.
2.Построить в одной системе координат график
каждого уравнения.
3.Выразить у через х в каждом уравнении.
4.Построить в одной системе координат график
каждого уравнения
5.Определить координаты точки пересечения
графиков.
6.Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)
Решение системы графическим способом
Выразим у
Построим график
первого уравнения
Построим график второго
уравнения -окружность с
центром в точке О(0;0) и
радиуса 2.
Решение системы графическим способом
Выразим у
Построим график
первого уравнения
Построим график второго
уравнения -окружность с
центром в точке О(0;0) и
радиуса 2.
х 2 +у 2 =4*
Система имеет 2 решения:
Ответ: (0;2), (-2;0)
1.Мы зарядку начинаем,
Наши руки разминаем,
Разминаем спину, плечи,
Чтоб сидеть нам было легче
2. Крутим-вертим головой.
Разминаем шею, стой!
Раз, два, три –наклон направо,
Раз, два, три- теперь налево.
3. А теперь остановись!
Поднимаем руки выше,
Вдох и выдох. Глубже дышим.
А теперь за парты сядем.
Рассмотрим следующие уравнения:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными .
График уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x 2 + y 2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.
У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.
Графический способ решения систем уравнения
Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.
Пример 1. Решить систему уравнений:
{ x 2 + y 2 = 25
{y = -x 2 + 2*x + 5.
Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.
Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.
Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:
A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).
Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое - точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.
