Μπορεί η συνεφαπτομένη να είναι μεγαλύτερη από 1. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες, οι διατυπώσεις και η παράγωγή τους. Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Σε αυτό το άρθρο θα ρίξουμε μια περιεκτική ματιά. Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισότητες που δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας και επιτρέπουν σε κάποιον να βρει οποιαδήποτε από αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω μιας γνωστής άλλης.

Ας απαριθμήσουμε αμέσως τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Ας τους γράψουμε σε έναν πίνακα και παρακάτω θα δώσουμε την έξοδο αυτών των τύπων και θα παρέχουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Σχέση μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου μιας γωνίας

Μερικές φορές δεν μιλούν για τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα, αλλά για ένα μοναδικό βασική τριγωνομετρική ταυτότηταείδος . Η εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι αρκετά απλή: οι ισότητες λαμβάνονται από την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα αφού διαιρεθούν και τα δύο μέρη της με και, αντίστοιχα, και τις ισότητες Και ακολουθήστε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα μιλήσουμε για αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες στις επόμενες παραγράφους.

Δηλαδή, είναι η ισότητα που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην οποία δόθηκε το όνομα της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.

Πριν αποδείξουμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα, δίνουμε τη διατύπωσή της: το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι πανομοιότυπα ίσο με ένα. Τώρα ας το αποδείξουμε.

Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά όταν μετατροπή τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επιτρέπει την αντικατάσταση του αθροίσματος των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας από ένα. Όχι λιγότερο συχνά, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται με την αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας.

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς

Ταυτότητες που συνδέουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οπτικής γωνίας και ακολουθήστε αμέσως από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Πράγματι, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y, το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη, δηλαδή, και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης προς την τεταγμένη, δηλαδή, .

Χάρη σε τέτοια προφανή των ταυτοτήτων και Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συχνά ορίζονται όχι μέσω της αναλογίας τετμημένης και τεταγμένης, αλλά μέσω της αναλογίας ημιτόνου και συνημιτονοειδούς. Άρα η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο αυτής της γωνίας και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του συνημιτονοειδούς προς το ημίτονο.

Καταλήγοντας στο σημείο αυτό, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι ταυτότητες και λαμβάνουν χώρα για όλες τις γωνίες στις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές. Άρα ο τύπος ισχύει για οποιαδήποτε , εκτός από (αλλιώς ο παρονομαστής θα έχει μηδέν, και δεν ορίσαμε διαίρεση με το μηδέν), και ο τύπος - για όλα , διαφορετικά από , όπου z είναι οποιοδήποτε .

Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Μια ακόμη πιο εμφανής τριγωνομετρική ταυτότητα από τις δύο προηγούμενες είναι η ταυτότητα που συνδέει την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας της μορφής . Είναι σαφές ότι ισχύει για οποιεσδήποτε άλλες γωνίες εκτός από το , διαφορετικά δεν ορίζονται είτε η εφαπτομένη είτε η συνεφαπτομένη.

Απόδειξη του τύπου πολύ απλό. Εξ ορισμού και από πού . Η απόδειξη θα μπορούσε να είχε γίνει λίγο διαφορετικά. Από , Οτι .

Άρα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι .

|BD| - μήκος τόξου κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.

Εφαπτομένη ( ταν α) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .
Συμεφαπτομένη ( ctg α) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .

Εφαπτομένη γραμμή

Οπου n- ολόκληρος.

Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.

Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tan x

Συνεφαπτομένη

Οπου n- ολόκληρος.

Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Γίνονται επίσης δεκτές οι ακόλουθες σημειώσεις:
;
;
.

Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x

Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Περιοδικότης

Συναρτήσεις y = tg xκαι y = ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.

Ισοτιμία

Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι περιττές.

Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες

Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (βλ. απόδειξη συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ολόκληρος).

	y= tg x	y= ctg x
Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια
Εύρος τιμών	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Αυξάνεται		-
Φθίνων	-
Ακρα	-	-
Μηδενικά, y = 0
Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0	y= 0	-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Εκφράσεις με χρήση ημιτόνου και συνημίτονου

; ;
; ;
;

Τύποι για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη από άθροισμα και διαφορά

Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα

Προϊόν των εφαπτομένων

Τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων

Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών

Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων

;
;

Παράγωγα

; .

.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης:
.
Εξαγωγή τύπων για την εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >

Ολοκληρώματα

Επεκτάσεις σειράς

Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους, . Αυτό παράγει τους ακόλουθους τύπους.

Στο .

στο .
Οπου Bn- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
Οπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο του Laplace:

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες συναρτήσεις της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.

Arctagent, arctg

, Οπου n- ολόκληρος.

Arccotangent, arcctg

, Οπου n- ολόκληρος.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Επιστήμονες και Μηχανικούς, 2012.

Δείτε επίσης:

Αυτό το άρθρο περιέχει πίνακες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Αρχικά, θα παρέχουμε έναν πίνακα με τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή έναν πίνακα ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων γωνιών 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 μοιρών ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πακτίνιο). Μετά από αυτό, θα δώσουμε έναν πίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων, καθώς και έναν πίνακα εφαπτομένων και συνεφαπτομένων του V. M. Bradis και θα δείξουμε πώς να χρησιμοποιείτε αυτούς τους πίνακες κατά την εύρεση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πίνακας ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, ... μοιρών

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
• Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn και άλλοι. Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
• Bradis V. M.Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες: Για γενική εκπαίδευση. εγχειρίδιο εγκαταστάσεις. - 2η έκδ. - M.: Bustard, 1999.- 96 σελ.: ill. ISBN 5-7107-2667-2